对一道不等式问题的初等证明及推广

福建仙游一中林新群老师在《中等数学》2 0 0 1年第 11期给出并证明了以下命题命题　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则ab+c+bc+a+ca+b≤ 1+23(1)林老师用导数的方法证明 (1)式 ,近来 ,贺斌老师用初等方法证明了 (1)式[1 ] (笔者在此时间同时也给出了与贺斌老师相似的证明 ) ,下面给出 (1)式的推广 .定理　设 x1 ∈ R-,i =1,2 ,… ,n(n≥2 ) ,且 x1 +x2 +… +xn=1,则∑ni=11- xi1+xi ≤ n - 2 +23(2 )当且仅当　 x1 ,x2 ,… ,xn 中有两个值相等 ,且都等于 12 ,其余各值都等于 0时 ,(2 )式取等号 .为证 (2 )式 ,先证明以下两个引理 .引理 1　…     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

平面内一个含参数的动点不等式

近年来,在我国初数界,对平面(或空间)内动点的几何不等式的研究取得了一系列优秀成果,其中江西的刘健先生,江苏的褚小光先生尤为突出.在这方面,笔者也曾试作过研究[1～10],也得到过一些结果.在此,笔者再给出一个含有参数的三角形内动点的几何不等式,由于参数可以取不同的值,因此可得到一系列关于三角形内动点的不等式.本文仅给出笔者研究的结果,即以下定理中(1)式.     

一个几何不等式的再加强

陈计老师在文[1]中给出了在△ABC中的一个不等式: sin~2A/2+sin~2b/2+sin~2c/2 ≤3~(1/2)/8(cscA+cscB+cscC)(1) 文中借用了Gerreten不等式给出了(1)的一种证明,本文将给出比(1)更强的不等式,并用两种不同的     

一个初等对称式的不等式

设a,,aZ,…,a.是,,个非负实数,记山柯西不等式,礼到,....J , 封 ︸1.艺·洲性式51二内 … a,=Ea工二宁二1)卜。一“月一“凡:=a la。 a一1存.二E十口,a.十a忿刀3十…十 0.口夕)‘.1(二、,(.但由于艺l一,x、、宕:二“一)》(:乞x ,l所以‘)“/了!.… 、.了 ‘.二 了‘、则称S,、S     

两个几何不等式简证

文[1]证明了以下两个几何不等式: (1)(mb-mc)2+(mc-ma)2+(ma-mb)2≥(1)/(4)[(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2]; (2)(hb-hc)2+(hc-ha)2+(ha-hb)2≤(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2.     

不等式研究成果集锦(7)

73.ma、mb、mc分别为△ ABC三边 a、b、c的中线 ,则　　　 ∑ maa ≤ ∑bc .∑a22 abc ,当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .(褚小光 .1999,1)74 .△ ABC三边为 a、b、c,ma、mb、mc,R,r,s分别为△ ABC的中线 ,外接圆半径 ,内切圆半径和半周长 .若△ ABC为锐角三角形 ,则∑ambmc≥ s4 ( 4 s2 - 2 1Rr 6r2 ) ,并由此推出以下各式 :( 1) ∑ambmc≥ 23s3;( 2 ) ∑a( mb mc) 2≥ ∑a .∑a2 ;( 3) ∑bcma ≥ 4 39s3. (褚小光 .1999,1)75.设△ ABC各角均小于 12 0°,F为△ ABC的Fermat点 .ta、tb、tc分别为△ ABC的角平分线 ,则34 ( …     

对三角形三线之和的一个猜想的证明

江苏褚小光先生于2009年3月7日在全国不等式研究网站上提出如下猜想. 　　在非钝角△ABC中,外接圆半径为R,BC为最小边,ma、wa、ha分别为BC边上的中线、角平分线、高线,则ma+wa+ha≥(9)/(2)R, ① 　　当且仅当△ABC为正三角形时(*)式取等号.……     

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

不等式研究成果集锦(17)

20 2　设 xi >0 ,i =1,2 ,… ,n,n≥ 2 ,∑ni= 1xi =1,记 Ek(x) =Ek(x1 ,x2 ,… ,xn) =∑1≤ i1 <… 0 )时 ,有Ek(1x1 - m,… ,1xn - m)≥ Ckn(n - m) k.(续铁权 .2 0 0 1,1)2 0 3　设 Ai >0 ,λk>0　 (i =1,2 ,… ,n;k = 1,2 ,… ,n) ,∑ni=1Ai ≤π,n∈ N.(1)若 0≤λ≤ 1,有C2n(1-λ21 λ2 ) 2 (λπ) 2 ≤ (n - 1 cosλπ) .∑nk= 1cos2 λAk - cosλπ(∑ni=1cosλAi) 2 ≤ C2n(λπ) 2 ,等号同时成立当且仅当λ=0 .(2 )若 0≤λ≤ 1,有4λ2 C2ncos2 λ2 π≤ (n - 1 cosλ…