第二十二届国际数学竞赛试题及解答

第二十二届国际中学生数学竞赛于1980年7月在卢森堡举行。我们拟了一份解答,不妥之处期望读者批评指正。 1.设Q是全体有理数的集合,求所有适合下列条件的从Q到Q的函数f:     

第二十七届国际数学奥林匹克竞赛的一道题目的命题经过

第二十七届国际中学生数学奥林匹克竞赛于1986年7月在波兰的首都华沙举行。我国中学生为国争光,得到了三个一等奖,与美国同是夺得一等奖最多的国家。我国代表队的总分名列第四,这真是使全国人民都感到高兴的消息。与此同时,我国提出的四个题目中,有一个被选中作为本届竞赛的题目。在由各个参赛国提出的众多赛题中,有一题能被选中,这也是一件荣耀的事。须知,各国代表团的领队们都是经验丰富的数学专家,他们对于题目的趣味性和科学性是有高度鉴别能力的。我们先把这个题目写在下面。在平面上给定三点A、B、C,一个人从同一平面上的二点P出发,直线行进到A,向左转60°之后     

高维单形上Bernstein多项式的凸性定理的逆定理

设f是m维单形D上的连续函数,Bⁿ(f;x)是f的n次Bernstein多项式。本文证明:对于D的内点Q,如果恒有Bⁿ(f,Q)≥Bⁿ⁺¹(f,Q),则Q不可能是f的非平凡极大值点。由此推出,若f在D上是逐块线性函数,则Bⁿ(f,x)≥Bⁿ⁺¹(f,x)(对一切正整数n和任一x∈D)蕴含f是D上的凸函数。     

样条变差缩减算子迭代极限的一个简单证明

一、引言在[1]和[2]中,胡莹生、徐叔贤利用 Markov 链终极条件概率的有关结果,确定了一类变差缩减算子的迭代极限.本文采用作者在[3]中使用的技巧,利用多项式样条的若干基本知识,不但简单地得出了[1,2]的结果,并且给出了迭代收敛速度的估计.对于等距分划的三次样条,所给的误差估计在某种意义上是最好的.     

三次样条函数连续性方程的新推导

一、引言　三次样条函数的连续性条件可以通过节点上的一阶导数 m_i 或者二阶导数 M_i 所适合的线性方程组表示出来,它们分别被称为 m-关系式及 M-关系式.这两种关系式通常由不同的基函数推导出来,因此需要做两次独立的计算,见文献[1],[2]及[3].本文指出,应用 Bernstein 基函数及有关的导数公式,可经一次计算同时得出这两种关系式.本文不假定读者具有任何关于样条函数的知识.     

关于三次样条函数的两点注记

关于样条函数的理论和应用,近年来,在国内一些数学刊物上已有详细介绍.本文主要做了两件事:1.采用 Hermite 插值基函数推出三次样条的两种节点关系式;2.讨论了端点条件对于样条函数的影响,特别地,改进了[3]文的结果.     

用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性常微分方程

众所周知 ,对于常系数高阶非齐次线性常微分方程y(n) + a1 y(n-1 ) +… + an-1 y′+ any=f( x) , ( 1)只要求出与 ( 1)相应的齐次线性常微分方程y(n) + a1 y(n-1 ) +… + an-1 y′+ any=0 ( 2 )的特征方程λn+ a1 λn-1 +… + an-1 λ+ an=0 ( 3)的特征根 λ1 ,λ2 ,… ,λs,它们的重数分别为 n1 ,n2 ,… ,ns ∑ ni=n ,此时 ,齐次线性常微分方程 ( 2 )的一个基本解组为eλ1x,xeλ1x,… ,xn1-1 eλ1x;… ;eλsx,xeλsx ,… ,xns-1 eλsx ,( 4)并且再求出非齐次线性常微分方程 ( 1)的一个特解 ,则我们就能求出非齐次方程 ( 1)的通解 .有许多方…     

A Simple Proof for a Theorem of Kelisky and Rivlin

Theorem (Kelisky and Rivlin) Let f(x) be a function defined in [0,1] and B_n(f(x))=sum from k=o to n (f(k/s)(?)x~k(1-x)~(n-k)) be the nth Bernstein polynomial of f(x). Then lim B~l(f(x))=f(0)+(f(1)-f(0))x. Proof We can assume f(0)=0, Let φ_i(x) and ψ_i(x)(i=1,2,…,n) be Bernstein basis polynomials and Bezier basis polynomials respectively. Let n×n matrices     

关于Bézier方法的数学基础

1.引言 1974年,在美国犹他(Utah)大学召开了第一次国际性的计算机辅助几何设计(简称CAGD)会议,并出版了会议论文集。会议的中心论题,是讨论Coons曲面、Bezier曲面和样条函数方法在CAGD中的应用。大多数与会者都提到了Coons和Bezier的开创性的工作,公认他们的方法在CAGD方面起了基本而重要的作用。事实上,Coons方法和Bezier方法在现代CAGD中是使用最广的两种方法,并驾齐驱而各有千秋。