可逆整数阵的一种标准形及其应用

消元法是线性代数最基本的计算方法，特别在解方程、矩阵求逆、求秩、向量组相关分析中都是不可或缺的，教材中的例题和习题都是整数，消元法解题时多出现分数，使计算量增大而得不出结果，给教和学都带来困难。针对这个问题，给出可逆整数阵的一种标准形，并用之给出整数阵求逆和伴随阵的方法，可避免分数运算，使消元法的运用变得简单可行．     

逆用等比数列各项和证一类分式不等式

一类分式不等式证明常见于数学竞赛题及问题征解题 .它的特点是不等式式子一边各项形如 ｍ2ｍ±ｎ或 ｎｍ±ｎ的形式 .如果变换为 ａ1 -ｑ(0 <ｑ<1 )形式后 ,则可逆用等比数列各项和公式 ,再用均值不等式 ∑ｎｉ=1ａｍｉ ≥(∑ｎｉ=1ａｉ) ｍｎｍ- 1 可得这一类分式不等式的简单证法 ,且思路单一 ,操作方便 ,现举例加以说明例 1　已知ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+,且ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ =1 ,求证 :ｘ1 21 -ｘ1 +ｘ2 21 -ｘ2 +… +ｘｎ21 -ｘｎ ≥ 1ｎ- 1 (《数学通报》1 993 (7)问题 845 )证明　因为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ∈Ｒ+,且ｘ1 +ｘ2 +… +…     

一道微分方程题目的多种解法

同济大学数学教研室编高等数学 (第四版 )下册 P40 7有一题目 :求方程的通解。学生普遍感到有些困难。下面给出几种解法。y′+x =x2 +y ( 1 )　　解　方法一　令 x2 +y-x=u,则 yx2 +y+x=u,y=u( x2 +y+x) ,两边对 x求导 ,得 dydx= ( x2 +y+x) dudx+u(2 x+dydx2 x2 +y+1 )。代入 ( 1 ) ,得 dudx+u2 ( u+x) =0 ,或udx +2 ( u +x) du =0 ( 2 )易见有积分因子 μ=u,引用之 ,解得 2 u3 +3 xu2 =c1。换回原变量 ,得 ( 1 )的通解为 ( x2 +y) 3 =x3 +32 xy+c.其中 c=c12 为任意常数。方法二　令 u=x2 +yx ,则 x2 +y =ux,两边对 x求导 ,得2 x+dydx2 x…     

一次源于教材例题的探究

[例题]如图1，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0．7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．     

反思"定比分点法"的一个流行误解

拓展“定比分点”的功能，用来处理一类不等关系（特别是连不等式a≤b≤c）问题，在中学数学界俗称“定比分点法”．比如，课本例题中的真分数不等式；b〉a〉0，m〉0推出a/b〈a＋m/b＋m.     

例说一个计数模型的应用

问题 1将n个相同的球和(m-1)(m-1≥1)根相同的木条排成一行，问排法有多少种?     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析重点 :1)椭圆的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质 (包括 :范围、长轴、短轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线 ) .2 )双曲线的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质(包括 :范围、实轴、虚轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线 ) ,等轴双曲线 .3)直线与椭圆或双曲线相交所成弦的中点轨迹问题 .4 )待定系数法、运动变化的思想 ,数形结合的思想的应用 .难点 :曲线方程的探求过程 ,利用定义解题 ,几何性质及应用 ,已知方程画曲线 ,讨论对称性和曲线中参数的范围 ,与渐近线有关的双曲线问题的讨论等 .典型的方法与…     

一个换算公式的启示

文 [2 ]在文 [1 ]的基础上给出如下一个换算公式 .定理　ＡＢ是过圆锥曲线焦点Ｆ的弦 ,其长度为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )｜ 1 +ｋ2 -ｅ2 ｜ 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ± 2ｅｐ- 1 .在该定理的启示下 ,笔者进一步探究 ,得到一个类似的公式 ,现说明如下 .ＡＢ是经过横向型圆锥曲线顶点 (指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点 )Ａ的弦 ,其长度为ｄ ,斜率为ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ=2ｅｐ 1…     

探求椭圆面积公式的另一种方法

关于椭圆面积公式的探求有多种方法 ,不少的刊物上曾刊登过相关的研究文章 ,本文给出另一种探求方法 .图 1如图 1所示 ,设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,Ak(xk,yk) (k=1 ,2 ,3,...n)是椭圆上的n个点 ,A1 A2 ...An 是椭圆的内接n边形 ,当n→∞时 ,｜AkAk+1 ｜max =ln → 0 ,则 x2 ka2 + y2 kb2 =1 ,由此得x2 k + abyk2 =a2 ,可见 ,点Bk xk,abyk (k =1 ,2 ,3...n)是圆x2 +y2 =a2 上的n个点 ,且这n个点在圆上的排列顺序与点Ak(k=1 ,2 ,3...n)在椭圆上的排列顺序相同 ,所以 ,B1 B2 ...Bn 是圆x2 +y2 =a2 的内接n边形 .连接OA1 ,OA2…