Quelques relations fondamentales entre solutions de l'équation biconfluente de heun

Résumé On établit trois relations fondamentales existant entre certaines solutions de l'équation biconfluente de l'équation de Heun. Ces trois relations constituent une généralisation de trois relations bien connues dans le cas des fonctions confluentes de Kummer; l'une apparait dans [11] et les deux autres peuvent être attribuées à Gordon [5] et à Meixner [9].On caractérise certaines constantes fondamentales non élémentaires à l'aide d'une intégrale notée J (, , , ) qui généralise la fonction eulérienne gamma.En particularisant certains paramètres on obtient de façon naturelle des résultats connus.     

Les contraintes normales et les spectres de relaxation dans les systèmes polymères

Résumé Ce mémoire considère les relations entre les contraintes normales qui naissent au cours des déformations de cisaillement des systèmes polymères fluides (effetWeissenberg) et leurs spectres de relaxation. Les auteurs montrent que la croissance des contraintes tangentielles et leur relaxation évoluent plus rapidement que celles des contraintes normales. Une formule qui a été établie de déterminer le spectre de relaxation en fonction des variations des contraintes normales en régime transitoire de de déformation. Il a été démontré que le coefficient des contraintes normales dans le domaine linéaire est identique à la déformabilité (compliance) d'équilibre. Cette conclusion est confirmée par plusieurs résultats expérimentaux. Il découle de là l'applicabilité de la formule deLodge qui donne une relation entre les contraintes et les déformations élastiques dans le domaine linéaire de comportement méchanique des systèmes visco-élastiques. Les auteurs examinent les relations entre les contraintes et la vitesse de cisaillement et entre le module dynamique et la fréquence aussi bien dans les domaines linéaire et non linéaire.     

Influence of interfacial tension gradients on thermal convection in two superposed immiscible liquid layers

This paper considers mainly the theoretical aspect of thermal convection in two superposed immiscible (or partially miscible) fluid layers in a rectangular cavity with differentially heated end walls. We develop a model valid for layers whose lateral extent is much larger than depth, deriving the horizontal velocity profile in each layer as a function of the various parameters such as expansion coefficients, viscosities, depth of each layer, and the interfacial tension gradient along the interface. Results are discussed, taking into account the results of experiments that we presented recently [1].

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Résumé Cet article étudie les aspects théoriques de la convection thermique dans deux couches fluides non miscibles (ou partiellement miscibles), superposées et contenues dans une cavité rectangulaire dont les parois latérales sont maintenues à des températures différentes. Nous développons un modèle valide pour des couches dont les dimensions latérales sont beaucoup plus grandes que leur épaisseur et déduisons le profil horizontal de vitesse dans chaque couche, en fonction des nombreux paramètres du problème, à savoir les coefficients de dilatation, les viscosités et les épaisseurs des deux couches, et le gradient de tension interfaciale le long de l'interface. Les résultats sont discutés en prenant en considération les expériences existantes que nous avons présentées récemment [1].

     

Examen de l'état de fatigue statique et dynamique d'un matériau par tomodensitométrie

Résumé L'observation par tomodensitométrie de la section transversale d'une poutre soumise à un moment de flexion met en évidence d'une part une zône isodensitométrique stable correspondant à la concentration des contraintes, d'autre part un décalage très net du maximum de la répartition densitométrique par histogramme pouvant être interprêté comme une certaine hétérogénéité. Ces phénomènes existent pour tous les matériaux que nous avons testés: plexiglass, nylon, rilsan, delrin. En fatigue dynamique, après 20 × 10⁶ cycles, l'histogramme comparatif révèle un décalage encore plus significatif que dans le cas statique; tout ceci apporte ainsi un élément positif à la nouvelle utilisation de cet appareil médical.

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Summary Observation by scanner of the cross section of a beam submitted to a bending moment gives evidence of a stable isodensitometric area in agreement with the concentration of stresses, as well as of a very sharp displacement of the maximum of the densitometric distribution by histogram which can be expounded as a certain heterogeneity. These phenomena exist for all materials we have studied: plexiglass, nylon, rilsan, delrin. In the case of dynamic fatigue, after 20 × 10⁶ cycles, the comparative histogram shows a displacement more significant than in the static case and gives in this way a positive argumentation to the new use of this medical apparatus.

Avec 11 figures     

Note sur les vitesses critiques d'un arbre muni de disques

Conclusions Les démonstrations que nous avons été amené à développer au sujet du problème particulier des vitesses critiques, s'adaptent sans plus à une large classe de problèmes aux valeurs propres [6]. C'est plutôt comme illustration d'une théorie générale à un cas simple, qu'il faut considérer les développements précédents; ce n'est que le n 14 qui est particulier au problème traité.Au point de vue physique, l'introduction de disques, comme d'ailleurs de façon générale l'introduction de masses concentrées dans un système continu quelconque, ne modifie pas l'aspect qualitatif; aussi il n'est pas étonnant que nous retrouvions les propriétés des vitesses critiques d'arbres continus [1], [2].Au point de vue mathématique par contre, une nette séparation est généralement faite entre les systèmes continus et les systèmes discrets; les premiers sont souvent considérés comme un cas limite des seconds. Du point de vue de l'esthétique des démonstrations, il est cependant satisfaisant de traiter simultanément les deux cas.A cette fin une première méthode consiste à traiter l'équation différentielle à laquelle sont jointes les conditions aux limites, et les conditions de discontinuité de certaines dérivées aux endroits de masses concentrées. C'est particulièrement dans cette voie qu'on constate que les démonstrations ne sont pas une simple généralisation du cas continu [6]. Une autre méthode consiste à traiter les problèmes aux valeurs propres sous forme d'équation intégrale [3]. Une large classe de problèmes peut ainsi être traitée, en introduisant un noyau réel symétrique, grâce à des changements de variables et de fonctions analogues à ceux du n 4.La théorie des équations intégrales à noyaux symétriques est immédiatement applicable. La théorie est également développée pour le cas de noyaux complexes hermitiques: K(s, t)=K(t, s). Le problème que nous avons traité est un peu différent puisque nous avons introduit un noyau complexe symétrique. Il est remarquable que les résultats sont également valables dans ce cas.La méthode des itérations et la détermination de bornes supérieures et inférieures peuvent être aisément transposées. Pour ces questions, nous renvoyons le lecteur à [6].     

Operator method for solving the plane elasticity problem for a strip with periodic cuts

In the present paper, we use the conformal mapping z/c = ζ?2a sin ζ (a, c?const, ζ = u + iv) of the strip {|v| ≤ v ₀, |u| < ∞} onto the domain D, which is a strip with symmetric periodic cuts. For the domain D, in the orthogonal system of isometric coordinates u, v, we solve the plane elasticity problem. We seek the biharmonic function in the form F = C ψ ₀ + S ψ*₀ + x(C ψ ₁ ? S ψ ₂) + y(C ψ ₂ + S ψ ₁), where C(v) and S(v) are the operator functions described in [1] and ψ ₀(u), …, ψ ₂(u) are the desired functions. The boundary conditions for the function F posed for v = ±v ₀ are equivalent to two operator equations for ψ ₁(u) and ψ ₂(u) and to two ordinary differential equations of first order for ψ ₀(u) and ψ*₀(u) [2]. By finding the functions ψ _j (u) in the form of trigonometric series with indeterminate coefficients and by solving the operator equations, we obtain infinite systems of linear equations for the unknown coefficients. We present an efficient method for solving these systems, which is based on studying stable recursive relations. In the present paper, we give an example of analysis of a specific strip (a = 1/4, v ₀ = 1) loaded on the boundary v = v ₀ by a normal load of intensity p. We find the particular solutions corresponding to the extension of the strip by the longitudinal force X ^∞ and to the transverse and pure bending of the strip due to the transverse force Y ^∞ and the constant moment M ^∞, respectively. We also present the graphs of normal and tangential stresses in the transverse cross-section x = 0 and study the stress concentration effect near the cut bottom.     

Maximum principles and pointwise error estimates for torsion of shells of revolution

This paper is concerned with the question of assessing the quality of approximate thin shell solutions for the problem of axisymmetric torsion of elastic shells of revolution, an issue previously considered by Ho and Knowles [1]. In both works, the objective is to obtain pointwise estimates, based on the three-dimensional theory of elasticity, for the errors involved in using an approximate shell theory.The mathematical problem is that of obtaining explicit pointwise gradient estimates for the solutions of homogeneous and nonhomogeneous second-order uniformly elliptic equations, an issue of interest beyond the present context. In contrast to arguments using energy inequalities, here we apply a technique based on maximum principles for such equations.The particular examples of cylindrical, spherical and conical shells of revolution are discussed in detail. In the former two cases, it is shown that the shell theory solution is in fact an exact elasticity solution in the Saint-Venant sense. Asymptotic error estimates for general shells of revolution are also given.

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Résumé L'étude çi-dessous traite de la qualité de l'approximation des coques minces appliquée aux problèmes de torsion asymétrique des coques élastiques de révolution, problème déjà considéré par Ho et Knowles [1].L'objectif des deux études est d'évaluer en chaque point, par la théorie de l'élasticité en trois limensions, les erreurs conséquentes à l'utilisation de la théorie de l'approximation des coques.Le problème mathématique consiste à obtenir une estimation explicite en chaque point des gradients pour les solutions d'équations elliptiques uniformes du deuxième ordre, homogènes et non-homogènes, problème d'un interêt qui dépasse le présent contexte. Nous utilisons ici une technique basée sur le principe du maximum pour de telles équations, par contraste avec les raissonnements utilisant des thegalités énergétiques.Les exemples particuliers des coques de révolution cylindriques, sphériques et coniques sont discutés en détail. Dans les deux premiers cas, nous montrons que la solution par la théorie des coques est en fait une solution exacte dans le sens de Saint-Venant. Des estimations asymptotiques des erreurs dans le cas de coques de révolution plus générales sont également données.

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Paper presented at the 6th Canadian Congress of Applied Mechanics (CANCAM 77), The University British Columbia, Vancouver, May 30–June 3, 1977.     

The Decay Rate and Higher Approximation of Mild Solutions to the Navier�CStokes Equations

In this paper, we consider v(t) = u(t) − e ^tΔ u ₀, where u(t) is the mild solution of the Navier–Stokes equations with the initial data u₀ ? L²(\mathbb Rⁿ)?Lⁿ(\mathbb Rⁿ){u_0\in L^2({\mathbb R}^n)\cap L^n({\mathbb R}^n)} . We shall show that the L ² norm of D ^β v(t) decays like t^{-\frac |b|-1 2-\frac n4}{t^{-\frac {|\beta|-1} {2}-\frac n4}} for |β| ≥ 0. Moreover, we will find the asymptotic profile u ₁(t) such that the L ² norm of D ^β (v(t) − u ₁(t)) decays faster for 3 ≤ n ≤ 5 and |β| ≥ 0. Besides, higher-order asymptotics of v(t) are deduced under some assumptions.     

Finite element approximation of a two-point boundary-value problem in nonlinear elasticity

In this paper finite element approximations of a one-dimensional nonlinear boundary-value problem in finite elasticity are considered. Under reasonable conditions on the form of the constitutive equations, it is shown that optimal rates of convergence can be obtained inW ₂ ¹. A criterion for the monotonicity of the stress operator is established. In addition,L _p -estimates are also derived. A numerical example is included in which results are obtained that confirm some of the theoretical estimates.

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Résumé On considère ici l'approximation par éléments finis pour le problème à limite, non linéare, à une dimension, d'élasticité finie. Sous les conditions raisonnables sur la forme des équations constitutives, c'est montré que l'on peut obtenir les taux optimaux de convergence dansW ₂ ¹. On établit un critère pour la monotonicité de l'opérateur constraint. D'ailleurs, on conduit aussiL _p -estimations. Un exemple numérique qui confirme quelques des estimations théoriques est inclus comme résultat.

     

Effect of friction on the interface crack loaded in shear

The conventional formulation used in the past for problems involving interface cracks leads to a physical contradiction: The two sides of the crack are assumed to be free of tractions in the formulation, but the crack faces are seen to overlap after the solution is constructed. This unsatisfactory feature can be eliminated by introducing contact zones at the tips of an interface crack. The present article investigates the effect of friction in the contact zones for loads that start from zero and are increased monotonically. As an application, shear loading is considered, and the problem is reduced to a singular integral equation with a Cauchy-type kernel which is solved numerically. The results show that one of the contact zones is large and that friction affects the global nature of the stress fields. The results worked out include also the stress intensity factors, crack opening displacement, and the pressure distribution in the larger contact zone.

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Résumé La formulation habituelle utilisée dans le passé pour des problèmes de fissures interfaciales conduit à une contradiction physique: Les deux lèvres de la fissure doivent être libres de contraintes, mais la solution peut impliquer une interpénétration des bords. Il est possible d'éliminer cette contradiction physique en introduisant des zones de contact aux pointes de la fissure. Le présent article étudie l'effet du frottement dans les zones de contact pour des charges croissantes à partir de zero. Comme application, on considère une charge de cisaillement et le problème se réduit à une équation intégrale singulière avec un noyau de type Cauchy. Cette équation est résolue numériquement. Les résultats montrent que l'une des zones de contact est grande et que le frottement modifie l'ensemble du champ de contraintes. On a aussi obtenu les facteurs d'intensité de contraintes, l'ouverture de la fissure et la distribution du pression dans la plus grande zone de contact.

     

Singular perturbation of boundary value problem for a vector fourth order nonlinear differential equation

We study the vector boundary value problem with boundary perturbations: ε~2y~((4))=f(x,y,y″,ε, μ) ( μ<χ<1-μ) y(χ,ε,μ)l_(χ-μ)= A_1(ε,μ), y(χ,ε,μ)l_(χ-1-μ)=B_1(ε,μ) y″(χ,ε,μ)l_(χ-μ)=A_2(ε,μ),y″(χ,ε,μ)l_(χ-1-μ)=B_2(ε,μ)where yf, A_j and B_j (j=1,2) are n-dimensional vector functions and ε,μ are two small positive parameters. This vector boundary value problem does not appear to have been studied, although the scalar boundary value problem has been treated. Under appropriate assumptions, using the method of differential inequalities we find a solution of the vector boundary value problem and obtain the uniformly valid asymptotic expansions.     

On the first boundary value problem for the classical theory of elasticity in a three-dimensional domain with a singular boundary

An existence and uniqueness theorem is proved for the first boundary value problem of classical elasticity, relating to a broad class of three-dimensional domains whose boundaries may have edges and vertexes.The qualitative properties, up to the boundary, of the solution are investigated.

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Résumé On démontre un théorème d'existence et unicité pour le premier problème de valeurs au contour de l'élasticité classique, concernant une large classe de domaines de l'éspace à trois dimensions, avec des frontières présentant des arètes et des sommets.On étudie les propriétés qualitatives, jusque'au contour, de la solution.

     

The elastic sphere under arbitrary concentrated surface loads

The elastostatic problem of a sphere subject to a concentrated surface load of arbitrary direction which is equilibrated in a very simple manner by a distribution of surface tractions is solved. Particular attention is placed in the analysis of the singularity at the point of application of the concentrated load.The solution obtained provides a means for reducing problems pertaining to a sphere under arbitrary concentrated and distributed loads to a regular second boundary-value problem for the sphere. For illustration the problem of a sphere acted by two equal, opposite and collinear loads applied at two arbitrary surface points is treated.The paper also contains an exposition and an essential extension of an integration scheme developed by Almansi. Thus, an explicit integral representation of the displacements in an elastic sphere in terms of a vector valued harmonic potential which coincides on the surface with the tractions is obtained.

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Résumé On présente la résolution du problème élastostatique d'une sphère soumise en surface à une charge ponctuelle de direction arbitraire équilibrée par une distribution trés simple de contraintes superficielles. On s'attache plus spécialement à l'analyse de la singularité au point d'application de la charge ponctuelle.La solution obtenue permet de réduire les problèmes d'une sphère soumise de manière quelconque à des charges ponctuelles et réparties, à un problème avec conditions aux limites régulières. A titre d'exemple, on traite le problème d'une sphère soumise à deux forces ponctuelles, co linéaires, égales et de sens opposé, appliquées en deux points arbitraires de la surface.L'article contient également une exposition et une extension d'un schéma d'intégration développé par Almansi. On obtient ainsi une représentation explicite, sous forme d'intégrale, des déplacements dans une sphère élastique, en termes de potentiel vecteur qui coïncide, à la surface, avec le champ de contraintes.

     

Similarity reductions and exact solutions of generalized Bretherton equation with time-dependent coefficients

In this paper, we apply Lie-group formalism to the generalized Bretherton equation with variable coefficients u _tt +α(t)u _xx +β(t)u _xxxx +δ(t)u ^m +θ(t)u ⁿ =0, to investigate the symmetries. We derive the infinitesimals and the admissible forms of the coefficients that admit the classical symmetry group. The ordinary differential equations deduced from the optimal system of subalgebras are further studied and some exact solutions are obtained.     

Thermal convection in superposed immiscible liquid layers

This paper deals with thermal convection in two superposed immiscible fluid layers in a rectangular cavity with differentially heated end walls. We have measured the horizontal velocity profiles in each layer as a function of elevation and we show the dominant rôle of interfacial tension effects. Experiments were conducted using Laser Doppler Anemometry; the system studied was water-heptanol.

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Résumé Cet article concerne la convection thermique dans deux couches fluides non miscibles, superposées et contenues dans une cavité rectangulaire dont les parois latérales sont maintenues à des températures différentes. Nous mesurons le profil horizontal de vitesse dans chaque couche, en fonction de la hauteur et nous montrons le rôle dominant des effects de tension interfaciale. Les résultats expérimentaux sont obtenus par anémométrie Laser Doppler sur le système eau-heptanol.

     

Homogeneous diffusion in ℝ with power-like nonlinear diffusivity

We study the nonnegative solutions of the initial-value problem u_t=(u^r|u_x|^p-1u_x)_x,u(x, 0)L ¹(), where p>0, r+p>0. The local velocity of propagation of the solutions is identified as V = -v_x| v_x|^p-1 where v =cu (with r +p - 1)/p and c (r +p/(r +p- 1)) is the nonlinear potential. Our main result is the a priori estimate (v_x|v_x|^p-1)_x-

Loss of contact between an elastic layer and half-space

The plane problem of smooth contact between an elastic layer and a half-space is analyzed. The layer is pressed against the half-space by a uniform load applied over its entire surface except for one region of finite length. The solution is given as the sum of solutions to two plane problems, one of which is known a priori. The analysis of the other problem leads to an inhomogeneous Fredholm integral equation for an auxiliary function that is related to the contact pressure. The boundedness of the contact stress at the end of the contact is used to determine the region of separation. The integral equation is solved numerically and the relevant physical quantities are computed and presented in the form of curves.

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Résumé On analyse le problème du contact glissant entre une couche élastique et un demi-espace. La couche est pressée sur le demi-espace par une charge uniforme appliquée à sa surface entière, à l'exception d'une région de longueur finie. La solution est donnée comme une somme des solutions de deux problèmes plans, dont l'une est connue à priori. L'analyse de l'autre est amené à une équation intégrale non-homogène de Fredholm pour une fonction auxiliaire qui dépend de la pression de contact. Le fait que la pression du contact ne peu pas être infinie aux extrémités du contact est utilisé pour déterminer la région de séparation. L'équation intégrale est résolue de façon numérique et les quantités physiques importantes sont calculées et présentées en forme des courbes.

     

Etude du régime de mise en mouvement dans un viscosimètre de Couette à cylindres coaxiaux

Résumé L'utilisation du viscosimètre de Couette à cylindres coaxiaux pour l'évaluation des propriétés rhéologiques et l'établissement de la loi d'écoulement des fluides nécessite généralement la connaissance du taux des cisaillement en chaque point de l'entrefer et à tout instant. Cette quantité en général inconnue peut être approchée par des expressions mathématiques satisfaisantes pour l'écoulement à couple appliqué mais d'autant plus grossières qu'on s'éloigne du régime stationnaire pour l'écoulement à vitesse imposée. La plupart des approximations généralement utilisées sont obtenues sous l'hypothèse d'un fluide dont n'influence pas l'écoulement et pour un entrefer petit. Notre travail étudie la limite de validité de certaines approximations du taux de cisaillement pour l'écoulement transitoire à vitesse imposée. Dans le contexte de la mise an évidence des propriétés viscoélastiques de certains fluides nous avons choisi d'étudier l'écoulement de montée en vitesse plus utilisé que l'écoulement de relaxation sur l'exemple d'un fluide de type Maxwell. Nous montrons que le domaine de validité de ces approximations dépend, de la viscosité et la densité du fluide, de l'entrefer du dispositif et d'un temps caractéristique représentant la durée de la sollicitation imposée au fluide. L'influence de ces différents paramètres s'exprime par l'intermédiaire d'un nombre adimensionnel (Re) ayant la forme d'un nombre de Reynolds.

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The use of the Couette viscometer with coaxial cylinders for the evaluation of rheological properties and the establishment of behaviour laws of fluids, generally requires the knowledge of the shear rate at each instant and at any point in the gap. This quantity, which is generally unknown, can be approximated by simple mathematical expressions which are satisfactory for the applied torque flow but become less accurate as one moves away from the stationary state for the imposed speed flow. Most of the commonly used approximations are obtained under the assumption that the inertia of the fluid does not affect the flow and that the gap is small. In this work, we study the limit of the validity of certain approximations for the shear rate in an imposed speed transient flow on the example of a fluid of the Maxwell type. It is shown that the range of validity of these approximations depends on the viscosity and the density of the fluid, on the gap of the viscometer, and finally on a characteristic time representing the period under which an external perturbation is imposed to the fluid. The influence of these different parameters is expressed through a dimensionless number (Re) having the form of a Reynolds number.

     

The torsional oscillations of a rigid spherical inclusion embedded in an elastic stratum

In this paper we investigate the axisymmetric harmonic torsional vibrations of a rigid spherical inclusion, embedded centrally in an elastic stratum of finite thickness. For an infinite solid the problem has a simple closed form solution. Here the stratum problem is formulated as a Fredholm integral equation of the first kind, and a perturbation method employed to solve this equation approximately for large values of the ratio of sphere radius to stratum depth. Approximations are given for quantities of physical interest such as the stress distribution at the inclusion-elastic medium interface, and the stress couple on the sphere.

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Résumé Dans cette étude on recherche les vibrations axisymmétriques harmoniques et torsionales d'une inclusion sphérique et raide, située centralement dans une couche d'une épaisseur bornée. Pour un solide infini le problème a une solution élémentaire.On formule le problème de couche comme une équation intégrale de Fredholm de la première sorte. On se sert d'une méthode de perturbation pour résoudre cette équation d'une façon approximative pour les grandes valeurs de la proportion du rayon de la sphère contre la profondeur de la couche. Les approximations sont calculées pour la distribution d'effort employée sur l'inclusion et pour la couple de torsion employée sur la sphère.

     

Entropie du mélange liquide-vapeur d'un fluide thermo-capillaire

Résumé On considère un fluide visqueux thermo-capillaire. La capillarité, dans la théorie de Korteweg, est une contribution à l'énergie interne du fluide. L'équation d'état est telle que deux phases stables (vapeur et liquide) sont séparées par une zone d'instabilité (spinodale). On décrit un mélange liquide-vapeur en évolution au moyen d'un développement asymptotique. On montre qu'au niveau macroscopique, une grandeur thermo-dynamique supplémentaire apparaît, l'entropie de mélange, ainsi qu'une loi de conservation. Mémoire présenté par P.-L. Lions