Influence of interfacial tension gradients on thermal convection in two superposed immiscible liquid layers

This paper considers mainly the theoretical aspect of thermal convection in two superposed immiscible (or partially miscible) fluid layers in a rectangular cavity with differentially heated end walls. We develop a model valid for layers whose lateral extent is much larger than depth, deriving the horizontal velocity profile in each layer as a function of the various parameters such as expansion coefficients, viscosities, depth of each layer, and the interfacial tension gradient along the interface. Results are discussed, taking into account the results of experiments that we presented recently [1].

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Résumé Cet article étudie les aspects théoriques de la convection thermique dans deux couches fluides non miscibles (ou partiellement miscibles), superposées et contenues dans une cavité rectangulaire dont les parois latérales sont maintenues à des températures différentes. Nous développons un modèle valide pour des couches dont les dimensions latérales sont beaucoup plus grandes que leur épaisseur et déduisons le profil horizontal de vitesse dans chaque couche, en fonction des nombreux paramètres du problème, à savoir les coefficients de dilatation, les viscosités et les épaisseurs des deux couches, et le gradient de tension interfaciale le long de l'interface. Les résultats sont discutés en prenant en considération les expériences existantes que nous avons présentées récemment [1].

     

Stirring phenomena in centrifugal casting of pipes

In the centrifugal horizontal casting of steel pipes, the normally used rotational speed results in an acceleration of 100 times gravity within the liquid metal layer. Due to such centrifugal forces liquid metal seems to have a body rotation. However metallurgical analysis of pipes show spatial variations in solidification structure which can only originate from recirculating flows. The present study is concerned with the analysis of such stirring motions. Both theoretical and experimental approaches are presented.

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Résumé Dans le procédé d'élaboration par coulée centrifuge horizontale de tubes d'acier, la vitesse de rotation utilisée conduit à une accélération de 100 g dans le métal liquide. A cause des forces centrifuges qui en résultent, le métal semble animé d'une rotation en bloc. Cependant, des analyses métallurgiques effectuées sur des tubes ainsi élaborés montrent des variations spatiales de la structure de solidification dont l'origine est la présence d'écoulements de recirculation. La présente étude concerne l'analyse de ces écoulements. Les résultats de ces deux approaches, théorique et expérimentale, sont présentés.

     

General variational methods for waves in elastic composites

General variational theorems in which the displacement, the stress, and the strain in one case, and the displacement and the stress in another case, are given independent variations, and which include appropriate general bondary and discontinuity conditions, are developed with a view toward the application to harmonic waves in elastic composites with periodic structures. The one-dimensional case is first developed in detail, and in order to demonstrate the effectiveness of the results, especially their accuracy in providing the dispersion curve, waves propagating normal to layers in a layered composite are discussed, and numerical results are presented; see Tables I and II. Then the general three-dimensional case is considered, and the results are applied to waves propagating normal to the fibers in a fiber-reinforced composite.

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Résumé Les théorèmes généraux variationels, dans lesquels on varie indépendemment le déplacement, la contrainte et la déformation, dans le premier cas, et le déplacement et la contrainte, dans le second cas, et qui fournissent de même les conditions aux limites et les conditions de discontinuité, sont dévelopés dans le but d'application aux ondes harmoniques dans les matériaux composites à structure périodique. Le cas d'une seule dimension est d'abord exposé en détail, et pour démontrer l'efficacité des résultats, en particulier la précision avec laquelle la courbe de dispersion peut être determinée, le cas d'ondes se propageant normalement aux couches du matériel composite est discuté et des résultats numériques sont présentés (voir Tables I et II). Par suite, le cas géneral en trois dimensions est considéré et les résultats sont appliqués aux ondes qui se propagent normalement aux fibres dans un matériel renforcé par fibres.

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This work was partly completed while the author was at the University of California, San Diego, La Jolla, California, as a consultant to Grant AF-AFOSR 70-1957, sponsored by the Air Force Office of Aerospace Research, United States Air Force, Washington, D.C.     

Classical elastodynamics as a linear symmetric hyperbolic system

The existence, uniqueness, differentiability and data dependence of solutions of initial-boundary value problems in classical elastodynamics are treated by applying the theory of first-order symmetric hyperbolic systems. Sharp results on the differentiability of solutions are obtained in terms of body force, initial data and boundary conditions.

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Liexistence, l'unicité, la differentiabilité et la dépendence aux données de la solution de problemes aux conditions initiales aux limites dans le cas de l'elastodynamique classique est traitéc en utilisant la theorie des systemes symmétrique hyperbolique de premier ordre. Des résultats finis sont obtenus pour la differentiabilité des solutions, ces resultats dependent des forces de volume, des données initiales et des conditions aux limites.

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Assistant Professor.

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Professor     

Comportements compares des sols et des roches

Résumé Les sols et les roches sont des corps dont le comportement rhéologique est régi par les liaisons de contact entre les éléments qui les constituent. On peut schématiser ces structures en disant que dans les sols, les contacts sont ponctuels entre les grains alors qu'ils ont lieu sur les surfaces que forment les fissures entre les blocs pour les massifs rocheux. Au cours des déformations qui précèdent la rupture, des glissements se produisent le long de surfaces irrégulières et les mouvements sont accompagnés d'une variation de volume, qui est positive pour les roches et les sables denses, et négative pour les sables lâches et la plupart des argiles. Les roches présentent un effet d'échelle: les caractéristiques mécaniques de la rupture sont des fonctions décroissantes de la dimension de la zone soumise aux contraintes et ceci est lié à l'hétérogénéité de la fissuration. Cet effet n'apparaît pas dans les sols, mais dans un champ de contraintes hétérogène, comme celui qui existe sous un poinçon, un phénomène analogue se produit pour les sables denses. On peut l'expliquer par l'hétérogénéité introduite dans le milieu par la création d'une ligne de glissement isolée.

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Summary Rheological behaviour of soils and rocks is determined by contact forces between constitutive elements. For soils, the contacts are punctual. For rocks they occur along the surfaces of cracks or joints. During the deformation before the failure, sliding movements occur along irregularly shaped surfaces with a volume change, which is positive for rocks and dense sands, negative for loose sands and most of clays. Size effect in rocks is due to cracks heterogeneity: mechanical characteristics at failure decrease with increasing size of specimens. This effect does not exist in soils, but in a heterogeneous stress field a similar phenomenon appears in dense sands. It is connected with the heterogeneity induced by the creation of an isolated slip line.

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Avec 9 figures     

On uniqueness for the traction problem in finite elasticity

In many problems of interest the (Cauchy) surface traction is given as a function of position on the deformed surface. A class of loadings sufficiently general to include these problems is considered, and within the context of the fraction problem in finite elasticity, a number of uniqueness results are established. This work extends results obtained for the mixed problem by Gurtin and Spector.

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Resumé Dans plusieurs proble\`mes interessants la traction surfacique de Cauchy est donnée comme une fonction de la position dans la surface deformée. Une telle classe des charges, suffisamment géerale, est considerée et un nombre des résultats d'unicité est établit dans le cadre du probleme de traction de l'elasticité non linéaire. Cet ouure prolonge des résultats pour le proble\`me mixte obtenus par Gurtin et Spector.

     

Maximum principles and pointwise error estimates for torsion of shells of revolution

This paper is concerned with the question of assessing the quality of approximate thin shell solutions for the problem of axisymmetric torsion of elastic shells of revolution, an issue previously considered by Ho and Knowles [1]. In both works, the objective is to obtain pointwise estimates, based on the three-dimensional theory of elasticity, for the errors involved in using an approximate shell theory.The mathematical problem is that of obtaining explicit pointwise gradient estimates for the solutions of homogeneous and nonhomogeneous second-order uniformly elliptic equations, an issue of interest beyond the present context. In contrast to arguments using energy inequalities, here we apply a technique based on maximum principles for such equations.The particular examples of cylindrical, spherical and conical shells of revolution are discussed in detail. In the former two cases, it is shown that the shell theory solution is in fact an exact elasticity solution in the Saint-Venant sense. Asymptotic error estimates for general shells of revolution are also given.

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Résumé L'étude çi-dessous traite de la qualité de l'approximation des coques minces appliquée aux problèmes de torsion asymétrique des coques élastiques de révolution, problème déjà considéré par Ho et Knowles [1].L'objectif des deux études est d'évaluer en chaque point, par la théorie de l'élasticité en trois limensions, les erreurs conséquentes à l'utilisation de la théorie de l'approximation des coques.Le problème mathématique consiste à obtenir une estimation explicite en chaque point des gradients pour les solutions d'équations elliptiques uniformes du deuxième ordre, homogènes et non-homogènes, problème d'un interêt qui dépasse le présent contexte. Nous utilisons ici une technique basée sur le principe du maximum pour de telles équations, par contraste avec les raissonnements utilisant des thegalités énergétiques.Les exemples particuliers des coques de révolution cylindriques, sphériques et coniques sont discutés en détail. Dans les deux premiers cas, nous montrons que la solution par la théorie des coques est en fait une solution exacte dans le sens de Saint-Venant. Des estimations asymptotiques des erreurs dans le cas de coques de révolution plus générales sont également données.

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Paper presented at the 6th Canadian Congress of Applied Mechanics (CANCAM 77), The University British Columbia, Vancouver, May 30–June 3, 1977.     

Elasticity,piezoelectricity and crystal lattice dynamics

A review of some recent developments in the area between the dynamical theory of crystal lattices, in the harmonic approximation, and the classical, linear theories of elasticity and piezoelectricity.

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Résumé Un examen de quelques évolutions récentes dans le champ entre la théorie dynamique des réseaux cristallins (upproximation harmonique) et les théories classiques, linéaires, de l'élasticité et de la piézoélectricité.

     

Surface and interfacial waves of arbitrary form in isotropic elastic media

A method due to Friedlander of accommodating disturbances of arbitrary form into the theory of surface waves in a semi-infinite isotropic elastic body is extended and shown to yield a simple closed form solution for the displacement field. An analogous treatment of interfacial waves of arbitrary form at a plane contact discontinuity separating different isotropic elastic materials is also given.

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Résumé On développe une méthode, conçue par Friedlander, qui fait entrer les perturbations de forme arbitraire dans la théorie des ondes de surface dans un corps élastique isotropique semi-infini, et on montre qu'elle permet d'obtenir une solution simple et exacte pour le champ de déplacement. Les ondes de forme arbitraire qui existent dans le plan à la frontière de materiaux élastiques isotropiques differents sont traitées de façon analogue.

     

On uniqueness in finite elasticity with general loading

In many problems of interest the (Cauchy) surface traction is given as a function of position on the deformed surface. A class of loadings sufficiently general to include these problems is considered and within the context of finite elasticity a number of uniqueness results are established. A key ingredient is the result of Gurtin and Spector that uniqueness holds in any convex, stable set of deformations.

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Résumé Dans plusieurs problémes interessants la traction surfacique de Cauchy est donnée comme une fonction de la position dans la surface deformée. Une telle classe des charges, suffisamment générale, est considerée et un nombre des résultats d'unicité et établit dans le cadre d'élasticité non linéaire. Le résultat de Gurtin et Spector (unicité est valable sur un ensemble stable et convexe queleonque des déformations) est utilisé.

     

On rheological relations

Summary A number of rheological relations are discussed with emphasis on non-linear visco-elastic behaviour and in particular the BKZ elastic fluid theory. Comparison with experimental data is discussed where possible and some examples of such comparison are given.

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Résumé Un nombre de relations rhéologiques sont analysées en mettant l'emphase sur le comportement viscoélastique non-linéaire et en particulier la théorie des fluides élastiques BKZ. Chaque fois qu'il est possible, une comparaison avec des résultats experimentaux est faite et discutée et quelques exemples de ces comparaisons sont donnés.

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With 2 figures     

On Saint-Venant's principle in plane anisotropic elasticity

Methods involving energy-decay inequalities are applied in investigating Saint-Venant's principle for the planproblem of linear elastostatics for a wide class of anisotropic media. A lower bound (in terms of the elastic constants) is obtained for the rate of exponential decay of stresses and this is compared with the known result for the isotropic case.

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Résumé Par une méthode applicable à un très grand nombre de milieu anisotropique, l'auteur utilise les inégalités concernant la décroissance de l'énergie dans le cas d'un problème plan et dans l'hypothèse de conditions élastostatiques linéaires, l'auteur précise la validité du principe de Saint-Venant dans le cadre de ses applications. Une limite inférieure (en fonction des constantes élastiques) de la décroissance exponentielle des contraintes est mise en évidence et comparée aux résultats obtenus en milieux isotropes.

     

Apport des analyses rheologiques dans l'étude d'émulsions multiples H/L/H

Resume L'objectif de ce travail a consisté principalement à démontrer l'intérêt et le caractère polyvalent des analyses rhéologiques dans l'étude des émulsions multiples H/L/H. En utilisant la grande diversité des tests rhéologiques, il a été possible de charactériser la structure de l'émulsion multiple, d'étudier sa stabilité dans le temps et sous l'effet d'un cisaillement, et encore de charactériser une cinétique de liberation par gonflement puis rupture des globules.

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The main goal of this paper consisted in demonstrating the interest and the versatile nature of the rheological analysis for studying W/O/W multiple émulsions. Using a significant variety of rheological tests, it was possible to characterize the multiple Emulsion structure, to follow its evolution produced by aging or by shear, and to characterize swelling-rupture release kinetics.

     

Line integral representations for the traction problem of the elastic halfspace and their application to a study of the singular effects of load jumps

Line-integral representations for the solution of the elastostatic traction boundary-value problem of the half space are derived for the case of polyharmonic surface loading. For load regions of essentially arbitrary shape, bearing uniform tractions, these line-integral representations are applied to the analysis of the stress singularities present at the edges of the load region.

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Resume On dérive des représentations par intégrales curvilignes de la solution du problème aux conditions limites de traction élasto-statique dans le demi espace.On applique, pour des régions de charge de forme essentiellement arbitraire, ces représentations par intégrales curvilignes à l'analyse des singularités de tension qui apparaissent aux bords de la région de charge.

     

Formation des gels d'agar et seuil d'écoulement

Résumé Les seuils de plasticité de gels d'agar a différentes concentrations ont été déterminés par différentes méthodes et comparé entre eux. Le seuil de contrainte qui apparaît au cours du refroidissement de la solution indique le début de la formation du réseau gélifié. II définit une température d'apparition du seuil de plasticite. La determination de cette temp6rature critique montre que la formation du gel est soumis aux conditions de refroidissement de la solution: le processus de gelification est accéléré par un refroidissement rapide des solutions et débute à une température plus basse. La formation du gel peut être suivie dans des conditions plus proches des réalités industrielles de fabrication de ces milieux.

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The yield stress of agar gels has been measured by different methods and the results compared. The yield stress which occurs during cooling of polymer solutions indicates the beginning of crystalline network formation. This point defines the temperature of plastic flow; its determination shows that the gel formation is subordinated to cooling conditions of the solution: the process of gelification is retarded by very fast cooling, and is induced at a lower temperature than occurs with slow cooling. We follow the formation of gels in conditions similar to those used in manufacturing processes.

     

Les contraintes normales et les spectres de relaxation dans les systèmes polymères

Résumé Ce mémoire considère les relations entre les contraintes normales qui naissent au cours des déformations de cisaillement des systèmes polymères fluides (effetWeissenberg) et leurs spectres de relaxation. Les auteurs montrent que la croissance des contraintes tangentielles et leur relaxation évoluent plus rapidement que celles des contraintes normales. Une formule qui a été établie de déterminer le spectre de relaxation en fonction des variations des contraintes normales en régime transitoire de de déformation. Il a été démontré que le coefficient des contraintes normales dans le domaine linéaire est identique à la déformabilité (compliance) d'équilibre. Cette conclusion est confirmée par plusieurs résultats expérimentaux. Il découle de là l'applicabilité de la formule deLodge qui donne une relation entre les contraintes et les déformations élastiques dans le domaine linéaire de comportement méchanique des systèmes visco-élastiques. Les auteurs examinent les relations entre les contraintes et la vitesse de cisaillement et entre le module dynamique et la fréquence aussi bien dans les domaines linéaire et non linéaire.     

Some remarks on Saint-Venant's principle for transversely isotropic composites

Recent work of the author on Saint-Venant's principle for plane deformation of an anisotropic elastic solid is used to investigate the behavior of a transversely isotropic medium, in the limit of small extensibility and compressibility. Such a model has been proposed in analysis of fiber-reinforced composites. Disagreement with Saint-Venant's principle is anticipated, confirming recent observations made by other authors in similar contexts.

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Résumé On utilise le travail récemment fait par l'auteur sur le principe de Saint-Venant dans le cas du problème plan d'un milieu élastique anisotropique, pour considerer le cas spécial d'un matériel à isotropie transversale, dans la limite de petites extensibilité et compressibilité. Un tel modèle a été proposé dans l'analyse des composites à fibers de renforcement. On s'attend à des prédictions en désaccord avec le principe de Saint-Venant, ce qui confirmerait ce que d'autres auteurs ont remarqué dans des contexts semblables.

     

Écoulements non permanents de fluides pseudoplastiques dans un «convergent-divergent»

Résumé Ce travail concerne l'étude d'écoulements permanents et non permanents de fluides pseudoplastiques modélisés par une loi puissance dans une conduite présentant un rétrécissement local de section de pente douce. On y évalue l'influence des caractéristiques rhéologiques, hydrodynamiques et géométriques sur les distributions de vitesses, de pressions et de contraintes pariétales au voisinage de la singularité.Trois méthodes complémentaires ont été employées: une méthode analytique de perturbations, une méthode numérique aux différences finies et une méthode expérimentale utilisant la vélocimétrie à Laser. Les résultats d'origines diverses obtenus sont confrontés et analysés.

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Steady and time dependent flows of inelastic pseudoplastic fluids through converging-diverging tubes have been studied both theoretically and experimentally. The velocity fields, the pressure distribution, and the wall stress have been obtained by using the finite difference technique and the method of asymptotic expansions. The velocity profiles along the converging-diverging tube have been determined by Laser-Doppler anemometry applied to aqueous solutions of high polymers. The influences of rheologic and hydrodynamic parameters have been analysed and compared.

     

Effect of friction on the interface crack loaded in shear

The conventional formulation used in the past for problems involving interface cracks leads to a physical contradiction: The two sides of the crack are assumed to be free of tractions in the formulation, but the crack faces are seen to overlap after the solution is constructed. This unsatisfactory feature can be eliminated by introducing contact zones at the tips of an interface crack. The present article investigates the effect of friction in the contact zones for loads that start from zero and are increased monotonically. As an application, shear loading is considered, and the problem is reduced to a singular integral equation with a Cauchy-type kernel which is solved numerically. The results show that one of the contact zones is large and that friction affects the global nature of the stress fields. The results worked out include also the stress intensity factors, crack opening displacement, and the pressure distribution in the larger contact zone.

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Résumé La formulation habituelle utilisée dans le passé pour des problèmes de fissures interfaciales conduit à une contradiction physique: Les deux lèvres de la fissure doivent être libres de contraintes, mais la solution peut impliquer une interpénétration des bords. Il est possible d'éliminer cette contradiction physique en introduisant des zones de contact aux pointes de la fissure. Le présent article étudie l'effet du frottement dans les zones de contact pour des charges croissantes à partir de zero. Comme application, on considère une charge de cisaillement et le problème se réduit à une équation intégrale singulière avec un noyau de type Cauchy. Cette équation est résolue numériquement. Les résultats montrent que l'une des zones de contact est grande et que le frottement modifie l'ensemble du champ de contraintes. On a aussi obtenu les facteurs d'intensité de contraintes, l'ouverture de la fissure et la distribution du pression dans la plus grande zone de contact.

     

Wave propagation in elastic membranes

The problem of wave propagation in linear elastic membranes is treated using the method of Hadamard. Speeds of propagation, wave shape and decay, as well as coupling effects, are obtained for longitudinal and transverse waves. Examples are considered which illustrate the features of the theory.

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Résumé On traite la problème de la propagation des ondes dans une membrane lineare et elastique, utilisant la mèthode de Hadamard. Les vitesses de la propagation, la forme del'onde, et les effets d'accouplement sont obtenus en cas des ondes longitudinales et transversales. Les exemples sont presentés qui demontrent les points essentiales de la theorie.

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This work was supported in part by funds from the National Research Council of Canada, under grant number A3805.