The problem of interaction between a misfitting inclusion and a crack in an infinite elastic medium

The problem of interaction between a curvilinear crack (or a system of such cracks) and a misfitting inclusion of arbitrary shape (or a system of such inclusions) inside an infinite isotropic elastic medium of the same material as the inclusion was solved by using the complex potential technique and reducing the problem to a complex Cauchy type singular integral equation along the crack only (or the system of cracks).

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Résumé Le problème de l'influence mutuelle d'une fissure curviligne (ou d'un système de telles fissures) et une inclusion malajustée de forme arbitraire (ou un système de telles inclusions) dans un milieu infini élastique isotrope du même matériau que l'inclusion a été résolu en utilisant la technique des potentiels complexes et en réduisant ainsi le probléme à une équation intégrale singulière complexe du type Cauchy seulement le long de la fissure (ou du système des fissures).

     

Loss of contact between an elastic layer and half-space

The plane problem of smooth contact between an elastic layer and a half-space is analyzed. The layer is pressed against the half-space by a uniform load applied over its entire surface except for one region of finite length. The solution is given as the sum of solutions to two plane problems, one of which is known a priori. The analysis of the other problem leads to an inhomogeneous Fredholm integral equation for an auxiliary function that is related to the contact pressure. The boundedness of the contact stress at the end of the contact is used to determine the region of separation. The integral equation is solved numerically and the relevant physical quantities are computed and presented in the form of curves.

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Résumé On analyse le problème du contact glissant entre une couche élastique et un demi-espace. La couche est pressée sur le demi-espace par une charge uniforme appliquée à sa surface entière, à l'exception d'une région de longueur finie. La solution est donnée comme une somme des solutions de deux problèmes plans, dont l'une est connue à priori. L'analyse de l'autre est amené à une équation intégrale non-homogène de Fredholm pour une fonction auxiliaire qui dépend de la pression de contact. Le fait que la pression du contact ne peu pas être infinie aux extrémités du contact est utilisé pour déterminer la région de séparation. L'équation intégrale est résolue de façon numérique et les quantités physiques importantes sont calculées et présentées en forme des courbes.

     

Some consequences of the inequality conditions in contact and crack problems

The importance of the inequalities and related side conditions that must be incorporated in contact and crack problems is emphasized and the ensuing consequences explored. An asymptotic analysis of the transitions from slip to separation, stick to slip, and stick to separation is carried out. The inequalities in contact problems make the contact pressure continuous for all levels of friction. They also make a direct transition from stick to separation impossible, unless the combination of materials is special. The inequalities in crack problems are less stringent, but they preclude certain singularities that appear to have flourished in the literature previously.

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Résumé On appuie sur l'importance d'inéquations et d'autres conditions auxiliaires qui doivent être comprises dans les problèmes de contact et de fissure, et on en explore les conséquences. On emploie une analyse asympotique sur les transitions entre les zones glissement-décollement, adhérence-glussement et adhérence-décollement. Il s'ensuit que la contrainte normale du contact doit être continue pour toutes les valeurs du frottement. De plus, la transition directe adhérence-décollement est impossible, à moin que la combinaison des matériaux ne soit exceptionelle. Les inéquations dans les problèmes de fissure sont moins fortes, mais elles sont cependant suffisantes pour empêcher l'existence de certaines singularités qui apparaissent souvent dans les études précedentes.

     

Les contraintes normales et les spectres de relaxation dans les systèmes polymères

Résumé Ce mémoire considère les relations entre les contraintes normales qui naissent au cours des déformations de cisaillement des systèmes polymères fluides (effetWeissenberg) et leurs spectres de relaxation. Les auteurs montrent que la croissance des contraintes tangentielles et leur relaxation évoluent plus rapidement que celles des contraintes normales. Une formule qui a été établie de déterminer le spectre de relaxation en fonction des variations des contraintes normales en régime transitoire de de déformation. Il a été démontré que le coefficient des contraintes normales dans le domaine linéaire est identique à la déformabilité (compliance) d'équilibre. Cette conclusion est confirmée par plusieurs résultats expérimentaux. Il découle de là l'applicabilité de la formule deLodge qui donne une relation entre les contraintes et les déformations élastiques dans le domaine linéaire de comportement méchanique des systèmes visco-élastiques. Les auteurs examinent les relations entre les contraintes et la vitesse de cisaillement et entre le module dynamique et la fréquence aussi bien dans les domaines linéaire et non linéaire.     

Note sur les vitesses critiques d'un arbre muni de disques

Conclusions Les démonstrations que nous avons été amené à développer au sujet du problème particulier des vitesses critiques, s'adaptent sans plus à une large classe de problèmes aux valeurs propres [6]. C'est plutôt comme illustration d'une théorie générale à un cas simple, qu'il faut considérer les développements précédents; ce n'est que le n 14 qui est particulier au problème traité.Au point de vue physique, l'introduction de disques, comme d'ailleurs de façon générale l'introduction de masses concentrées dans un système continu quelconque, ne modifie pas l'aspect qualitatif; aussi il n'est pas étonnant que nous retrouvions les propriétés des vitesses critiques d'arbres continus [1], [2].Au point de vue mathématique par contre, une nette séparation est généralement faite entre les systèmes continus et les systèmes discrets; les premiers sont souvent considérés comme un cas limite des seconds. Du point de vue de l'esthétique des démonstrations, il est cependant satisfaisant de traiter simultanément les deux cas.A cette fin une première méthode consiste à traiter l'équation différentielle à laquelle sont jointes les conditions aux limites, et les conditions de discontinuité de certaines dérivées aux endroits de masses concentrées. C'est particulièrement dans cette voie qu'on constate que les démonstrations ne sont pas une simple généralisation du cas continu [6]. Une autre méthode consiste à traiter les problèmes aux valeurs propres sous forme d'équation intégrale [3]. Une large classe de problèmes peut ainsi être traitée, en introduisant un noyau réel symétrique, grâce à des changements de variables et de fonctions analogues à ceux du n 4.La théorie des équations intégrales à noyaux symétriques est immédiatement applicable. La théorie est également développée pour le cas de noyaux complexes hermitiques: K(s, t)=K(t, s). Le problème que nous avons traité est un peu différent puisque nous avons introduit un noyau complexe symétrique. Il est remarquable que les résultats sont également valables dans ce cas.La méthode des itérations et la détermination de bornes supérieures et inférieures peuvent être aisément transposées. Pour ces questions, nous renvoyons le lecteur à [6].     

Fracture and contact problems for and elastic wedge

The paper deals with the plane elastostatic contact problem for an infinite elastic wedge of arbitrary angle. The medium is loaded through a frictionless rigid wedge of a given symmetric profile. Using the Mellin transform formulation the mixed boundary value problem is reduced to a singular integral equation with the contact stress as the unknown function. With the application of the results to the fracture of the medium in mind, the main emphasis in the study has been on the investigation of the singular nature of the stress state around the apex of the wedge and on the determination of the contact pressure.

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Résumé Dans cet essai le problème plan élastostatique de contact pour un coin élastique d'angle arbitraire est étudié. Le milieu est chargé à travers un coin rigide de profil symétrique sans friction. En utilisant la transformation de Mellin le problème de valeurs limites mixtes, est réduit à une équation intégrale singulière où l'effort de contact est la fonction inconnue. Avec l'application des résultats de la rupture du milieu, l'étude est concentrée principalement sur l'investigation de la nature singulière de l'état d'effort autour du sommet du coin et sur la détermination de la pression de contact.

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This work was supported by NSF under the Grant GK 42771X and by NASA under the Grant NGR 39-007-011.     

On Saint-Venant's principle in plane anisotropic elasticity

Methods involving energy-decay inequalities are applied in investigating Saint-Venant's principle for the planproblem of linear elastostatics for a wide class of anisotropic media. A lower bound (in terms of the elastic constants) is obtained for the rate of exponential decay of stresses and this is compared with the known result for the isotropic case.

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Résumé Par une méthode applicable à un très grand nombre de milieu anisotropique, l'auteur utilise les inégalités concernant la décroissance de l'énergie dans le cas d'un problème plan et dans l'hypothèse de conditions élastostatiques linéaires, l'auteur précise la validité du principe de Saint-Venant dans le cadre de ses applications. Une limite inférieure (en fonction des constantes élastiques) de la décroissance exponentielle des contraintes est mise en évidence et comparée aux résultats obtenus en milieux isotropes.

     

The elastic sphere under arbitrary concentrated surface loads

The elastostatic problem of a sphere subject to a concentrated surface load of arbitrary direction which is equilibrated in a very simple manner by a distribution of surface tractions is solved. Particular attention is placed in the analysis of the singularity at the point of application of the concentrated load.The solution obtained provides a means for reducing problems pertaining to a sphere under arbitrary concentrated and distributed loads to a regular second boundary-value problem for the sphere. For illustration the problem of a sphere acted by two equal, opposite and collinear loads applied at two arbitrary surface points is treated.The paper also contains an exposition and an essential extension of an integration scheme developed by Almansi. Thus, an explicit integral representation of the displacements in an elastic sphere in terms of a vector valued harmonic potential which coincides on the surface with the tractions is obtained.

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Résumé On présente la résolution du problème élastostatique d'une sphère soumise en surface à une charge ponctuelle de direction arbitraire équilibrée par une distribution trés simple de contraintes superficielles. On s'attache plus spécialement à l'analyse de la singularité au point d'application de la charge ponctuelle.La solution obtenue permet de réduire les problèmes d'une sphère soumise de manière quelconque à des charges ponctuelles et réparties, à un problème avec conditions aux limites régulières. A titre d'exemple, on traite le problème d'une sphère soumise à deux forces ponctuelles, co linéaires, égales et de sens opposé, appliquées en deux points arbitraires de la surface.L'article contient également une exposition et une extension d'un schéma d'intégration développé par Almansi. On obtient ainsi une représentation explicite, sous forme d'intégrale, des déplacements dans une sphère élastique, en termes de potentiel vecteur qui coïncide, à la surface, avec le champ de contraintes.

     

Etude viscosimétrique des effets structuraux du cation calcium sur des solutions contenant l'anion alginate

Résumé Le comportement en viscosité sous différentes vitesses de cisaillement, à différentes températures, de solutions d'alginate de sodium à des concentrations variant entre 0,05% et 1%, auxquelles on a ajouté du chlorure de calcium en quantité variable, est qualitativement toujours le même; pour des quantités croissantes de chlorure de calcium, à concentration fixe en alginate de sodium, à une phase de dépression de la viscosité succède une phase de croissance très rapide, suivie à nouveau d'une phase de décroissance. Dans la première phase les variations de la viscositè avec la vitesse de cisaillement sont représentables par un modèle répondant à la Théorie d'Eyring; dans les phases suivantes l'écoulement est représenté par une loi du type =a^b avec b<0. Cette différence dans le mode d'écoulement tiendrait à l'apparition, à partir d'une concentration en chlorure de calcium suffisante, d'une structure tridimensionelle plus ou moins stable suivant la concentration en ions calcium.Discours prononcé lors du congrès annuel des rhéologues allemands à Berlin le 9 juin, 1966.     

Maximum principles and pointwise error estimates for torsion of shells of revolution

This paper is concerned with the question of assessing the quality of approximate thin shell solutions for the problem of axisymmetric torsion of elastic shells of revolution, an issue previously considered by Ho and Knowles [1]. In both works, the objective is to obtain pointwise estimates, based on the three-dimensional theory of elasticity, for the errors involved in using an approximate shell theory.The mathematical problem is that of obtaining explicit pointwise gradient estimates for the solutions of homogeneous and nonhomogeneous second-order uniformly elliptic equations, an issue of interest beyond the present context. In contrast to arguments using energy inequalities, here we apply a technique based on maximum principles for such equations.The particular examples of cylindrical, spherical and conical shells of revolution are discussed in detail. In the former two cases, it is shown that the shell theory solution is in fact an exact elasticity solution in the Saint-Venant sense. Asymptotic error estimates for general shells of revolution are also given.

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Résumé L'étude çi-dessous traite de la qualité de l'approximation des coques minces appliquée aux problèmes de torsion asymétrique des coques élastiques de révolution, problème déjà considéré par Ho et Knowles [1].L'objectif des deux études est d'évaluer en chaque point, par la théorie de l'élasticité en trois limensions, les erreurs conséquentes à l'utilisation de la théorie de l'approximation des coques.Le problème mathématique consiste à obtenir une estimation explicite en chaque point des gradients pour les solutions d'équations elliptiques uniformes du deuxième ordre, homogènes et non-homogènes, problème d'un interêt qui dépasse le présent contexte. Nous utilisons ici une technique basée sur le principe du maximum pour de telles équations, par contraste avec les raissonnements utilisant des thegalités énergétiques.Les exemples particuliers des coques de révolution cylindriques, sphériques et coniques sont discutés en détail. Dans les deux premiers cas, nous montrons que la solution par la théorie des coques est en fait une solution exacte dans le sens de Saint-Venant. Des estimations asymptotiques des erreurs dans le cas de coques de révolution plus générales sont également données.

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Paper presented at the 6th Canadian Congress of Applied Mechanics (CANCAM 77), The University British Columbia, Vancouver, May 30–June 3, 1977.     

A solution for the narrow rectangular punch

This paper considers the problem of a rectangular flat ended punch acting on an elastic half-space. An approximate solution is generated through application of the elastic line integral equations. The results produced by this method are then compared with another approximate solution already available.

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Zusammenfassung Dieser Aufsatz behandelt das Problem eines starren, flachen Stempels mit rechteckigen Grundriss, der in einen elastischen Halbraum gepresst wird. Eine Näherungslösung wird erzeugt mittels der Integralgleichung des elastischen Linienkontakts. Die auf dieser Weise gewonnene Ergebnisse werden mit einer schon bekannten Näherungslösung verglichen.

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Résumé Dans ce rapport, on considère le problème d'un cachet rigide à base plane rectangulaire qui est poussée dans une semi-espace élastique. Une solution approximative est générée par application de l'équation integrale du contact élastique de ligne. Les résultats produits par cette méthode sont comparés à une solution approximative déjà connue.

     

Energy flux into the tip of an extending crack in an elastic solid

Summary An expression for the energy flux into the tip of an extending crack in terms of the dynamic elastic field of the crack is derived on the basis of an overall energy rate balance. It is shown that the energy flux depends only on the near-tip elastic field. The expression is compared to other expressions for this dependence which have been proposed by Atkinson and Eshelby, by Achenbach and by Erdogan. The energy flux is calculated in terms of the stress intensity factor for a particular plane strain problem and an antiplane strain problem.

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Résumé Sur la base d'un équilibre énergétique dynamique global, le flux d'énergie convergeant vers l'extrémité d'une tissure en propagation est exprimé en fonction du champ élastique dynamique de la fissure. II est démontré que ce flux d'énergie ne dépend que du champ élastique au voisinage immédiat de l'extremité de la fissure, L'expression obtenue est comparée aux expressions précédemment proposées par MM. Atkinson et Eshelby, Mr. Achenbach, et Mr. Erdogan. Le flux d'énergie est évalué en fonction du facteur d'intensité des contraintes dans les cas particuliers d'un problème de déformation plane et d'un problème dans lequel la direction du cisaillement est horizontale.

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Supported by the United States Atomic Energy Commission through Contract AT (11-1)-3084 with Brown University.     

Existence theorems for nonlinear elastic plates with periodic boundary conditions

The implicit function theorem is applied to the general three-dimensional equations for the equilibrium of a rectangular nonlinearly elastic plate subjected to suitable applied forces. The plate is assumed to have periodic boundary conditions or else to be with sliding edges. Regularity results in Sobolev spaces are used to define the equations in a suitable Banach space. Then, it is shown that the problem has a solution if the applied forces are small enough in a certain Sobolev norm.

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Résumé On applique le théorème des fonctions implicites au problème non linéaire de l'équilibre d'une plaque rectangulaire élastique soumise à des forces convenables. Cette plaque est supposée à bords glissants ou bien soumise à des conditions aux limites de type périodique. On utilise des résultats de régularité dans les espaces de Sobolev pour poser les équations dans un cadre fonctionnel adéquat. On montre alors que ce problème admet une solution si les forces appliquées sont assez petites dans une certaine norme de Sobolev.

     

The torsional oscillations of a rigid spherical inclusion embedded in an elastic stratum

In this paper we investigate the axisymmetric harmonic torsional vibrations of a rigid spherical inclusion, embedded centrally in an elastic stratum of finite thickness. For an infinite solid the problem has a simple closed form solution. Here the stratum problem is formulated as a Fredholm integral equation of the first kind, and a perturbation method employed to solve this equation approximately for large values of the ratio of sphere radius to stratum depth. Approximations are given for quantities of physical interest such as the stress distribution at the inclusion-elastic medium interface, and the stress couple on the sphere.

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Résumé Dans cette étude on recherche les vibrations axisymmétriques harmoniques et torsionales d'une inclusion sphérique et raide, située centralement dans une couche d'une épaisseur bornée. Pour un solide infini le problème a une solution élémentaire.On formule le problème de couche comme une équation intégrale de Fredholm de la première sorte. On se sert d'une méthode de perturbation pour résoudre cette équation d'une façon approximative pour les grandes valeurs de la proportion du rayon de la sphère contre la profondeur de la couche. Les approximations sont calculées pour la distribution d'effort employée sur l'inclusion et pour la couple de torsion employée sur la sphère.

     

Contact problems involving a cooled punch

Certain problems in which a cooled rigid punch indents an elastic half-space have no steady state solution. A simple model is described in which it is shown that this paradox is avoided by the assumption of a thermal resistance varying inversely with contact pressure. A limiting case of this system retains linearity and introduces a state of imperfect contact in which contact pressure is negligible but there is significant thermal contact resistance.This approach is generalized to permit the formulation of three dimensional contact problems and one such problem is solved for an axisymmetric geometry. Particular results are given for the identation of a half-space by a cooled rigid sphere.

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Résumé Les problèmes de contact thermoélastiques pour un demi-espace entaillé par un poinçon rigide refroidi n'ont pas parfois de solution établie. On décrit un modèle simple demontrant qu'on évite ce paradoxe en supposant une résistance thermique varient en raison inverse du pression de contact. On retiens linearité avec un cas limitatif de ce système en introduisant une condition de contact imparfait ou le pression de contact est négligeable mais il y a de la résistance thermique de contact significative.On généralise cette méthode pour permetter la formulation des problèmes de contact thermique dans trois dimensions et un problème de ce type est résolu en cas de symetrie axiale. On donne des resultats particulières pour le demi-espace entaillé par une sphère rigide refroidie.

     

Equations de transport relatives à des champs de vecteurs non-lipschitziens et mécanique des fluides

Résume Le but de cet article est l'étude des équations de transport relatives à des champs de vecteurs non-lipschitziens, mais seulement logarithmiquement lipschitziens. Ces champs possèdent un flot dont la régularité hölderienne est exponentiellement décroissante. On exhibe une solution de l'équation d'Euler bidimensionnelle présentant effectivement ce phénomène.     

Some remarks on Saint-Venant's principle for transversely isotropic composites

Recent work of the author on Saint-Venant's principle for plane deformation of an anisotropic elastic solid is used to investigate the behavior of a transversely isotropic medium, in the limit of small extensibility and compressibility. Such a model has been proposed in analysis of fiber-reinforced composites. Disagreement with Saint-Venant's principle is anticipated, confirming recent observations made by other authors in similar contexts.

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Résumé On utilise le travail récemment fait par l'auteur sur le principe de Saint-Venant dans le cas du problème plan d'un milieu élastique anisotropique, pour considerer le cas spécial d'un matériel à isotropie transversale, dans la limite de petites extensibilité et compressibilité. Un tel modèle a été proposé dans l'analyse des composites à fibers de renforcement. On s'attend à des prédictions en désaccord avec le principe de Saint-Venant, ce qui confirmerait ce que d'autres auteurs ont remarqué dans des contexts semblables.

     

Precision refractometer with simple measuring prism

Summary The construction of the refractometer described in a previous article has been simplified. The measuring prism consists of one piece of glass on the top surface of which the solid or liquid sample is put and of which one of the lateral surfaces receives light from the same light source as the sample by means of an auxiliary reflector. The opposite side of the prism is not limited by one plane surface, but by two planes inclined to each another, thus splitting up the pencil into two. These pencils are then split into four pencils each by means of a fourfold mirror as in the original apparatus; the pencil given by the sample also is split into four pencils by the same mirror. The range of temperatures at which observations can be made is greatly enlarged. The precision is again about 0.000 01, the range 1.31 to 1.67.

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Sommaire La construction du réfractomètre déjà décrit a été simplifié. Le prisme étalon ne consiste que d'une pièce, portant à sa surface supérieure l'échantillon solide ou liquide et dont une des surfaces latérales est illuminée par la même source, qui illumine l'échantillon, ce qui est effectué par un réflecteur auxiliaire. La coté latérale opposée du prisma n'est pas limitée par une surface, mais par deux surfaces planes, faisant un angle entre eux, de sorte que le faisceau émergent est dédoublé. Chacun de ces deux demi-faisceaux est divisé en quatre faisceaux par un miroir quadruple, comme dans l'appareil original. Le faisceau produit par l'échantillon aussi est divisé en quatre faisceaux par le même miroir. A cause de la simplicité du prisme les observations peuvent être faites dans une domaine de températures beaucoup plus grande. La précision est encore 0.000 01 environ, la région des indices de 1.31 à 1.67.

     

Influence of interfacial tension gradients on thermal convection in two superposed immiscible liquid layers

This paper considers mainly the theoretical aspect of thermal convection in two superposed immiscible (or partially miscible) fluid layers in a rectangular cavity with differentially heated end walls. We develop a model valid for layers whose lateral extent is much larger than depth, deriving the horizontal velocity profile in each layer as a function of the various parameters such as expansion coefficients, viscosities, depth of each layer, and the interfacial tension gradient along the interface. Results are discussed, taking into account the results of experiments that we presented recently [1].

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Résumé Cet article étudie les aspects théoriques de la convection thermique dans deux couches fluides non miscibles (ou partiellement miscibles), superposées et contenues dans une cavité rectangulaire dont les parois latérales sont maintenues à des températures différentes. Nous développons un modèle valide pour des couches dont les dimensions latérales sont beaucoup plus grandes que leur épaisseur et déduisons le profil horizontal de vitesse dans chaque couche, en fonction des nombreux paramètres du problème, à savoir les coefficients de dilatation, les viscosités et les épaisseurs des deux couches, et le gradient de tension interfaciale le long de l'interface. Les résultats sont discutés en prenant en considération les expériences existantes que nous avons présentées récemment [1].

     

Comportements compares des sols et des roches

Résumé Les sols et les roches sont des corps dont le comportement rhéologique est régi par les liaisons de contact entre les éléments qui les constituent. On peut schématiser ces structures en disant que dans les sols, les contacts sont ponctuels entre les grains alors qu'ils ont lieu sur les surfaces que forment les fissures entre les blocs pour les massifs rocheux. Au cours des déformations qui précèdent la rupture, des glissements se produisent le long de surfaces irrégulières et les mouvements sont accompagnés d'une variation de volume, qui est positive pour les roches et les sables denses, et négative pour les sables lâches et la plupart des argiles. Les roches présentent un effet d'échelle: les caractéristiques mécaniques de la rupture sont des fonctions décroissantes de la dimension de la zone soumise aux contraintes et ceci est lié à l'hétérogénéité de la fissuration. Cet effet n'apparaît pas dans les sols, mais dans un champ de contraintes hétérogène, comme celui qui existe sous un poinçon, un phénomène analogue se produit pour les sables denses. On peut l'expliquer par l'hétérogénéité introduite dans le milieu par la création d'une ligne de glissement isolée.

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Summary Rheological behaviour of soils and rocks is determined by contact forces between constitutive elements. For soils, the contacts are punctual. For rocks they occur along the surfaces of cracks or joints. During the deformation before the failure, sliding movements occur along irregularly shaped surfaces with a volume change, which is positive for rocks and dense sands, negative for loose sands and most of clays. Size effect in rocks is due to cracks heterogeneity: mechanical characteristics at failure decrease with increasing size of specimens. This effect does not exist in soils, but in a heterogeneous stress field a similar phenomenon appears in dense sands. It is connected with the heterogeneity induced by the creation of an isolated slip line.

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Avec 9 figures