NOETHER QUASI-SYMMETRY AND APPROXIMATE NOETHER CONSERVATION LAWS FOR WEAKLY NONLINEAR DYNAMICAL EQUATIONS 1)

自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题,它们通常需要用非线性微分方程来描述. 守恒量在微分方程的求解、约化和定性分析方面发挥重要作用. 因此,研究非线性动力学方程的近似守恒量具有重要意义. 文章利用 Noether 对称性方法研究弱非线性动力学方程的近似守恒量. 首先,将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的 Lagrange 方程,在 Lagrange 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 其次,将弱非线性动力学方程化为相空间中一般完整系统的 Hamilton 方程,在 Hamilton 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 再次,将弱非线性动力学方程化为广义 Birkhoff 方程,在 Birkhoff 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 最后,以著名的 van der Pol 方程,Duffing 方程以及弱非线性耦合振子为例,分析三个不同框架下弱非线性系统的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量的计算. 结果表明：同一弱非线性动力学方程可以化为不同的一般完整系统或不同的广义 Birkhoff 系统;Hamilton 框架下的结果是 Birkhoff 框架的特例,而 Lagrange 框架下的结果与 Hamilton 框架的等价. 利用 Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效,而且具有较大的灵活性.     

Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的准对称性与分数阶Noether定理

应用分数阶模型可以更准确地描述和研究复杂系统的动力学行为和物理过程,同时Birkhoff力学是Hamilton力学的推广,因此研究分数阶Birkhoff系统动力学具有重要意义.分数阶Noether定理揭示了Noether对称变换与分数阶守恒量之间的内在联系,但是当变换拓展为Noether准对称变换时,该定理的推广遇到了很大的困难.本文基于时间重新参数化方法提出并研究Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量.首先,将时间重新参数化方法应用于经典Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量研究,建立了相应的Noether定理;其次,基于分数阶Pfaff作用量分别在时间不变的和一般单参数无限小变换群下的不变性给出分数阶Birkhoff系统的Noether准对称变换的定义和判据,基于Frederico和Torres提出的分数阶守恒量定义,利用时间重新参数化方法建立了分数阶Birkhoff系统的Noether定理,从而揭示了分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与分数阶守恒量之间的内在联系.分数阶Birkhoff系统的Noether对称性定理和经典Birkhoff系统的Noether定理是其特例.最后以分数阶Hojman-Urrutia问题为例说明结果的应用.     

关于Mei对称性与Noether对称性的关系——以Lagrange系统为例

文章以Lagrange系统为例研究Mei对称性与Noether对称性之间的关系.基于无限小生成元向量作用下Lagrange函数的变分问题,建立了其Euler--Lagrange方程,研究了该变分问题的Noether对称性与守恒量.研究表明:该变分问题的Euler--Lagrange方程,Noether等式和Noether守恒量分别与Lagrange系统Mei对称性的判据方程,结构方程和Mei守恒量完全一致.文末以著名的Emden方程为例说明结果的应用.     

爬壁机器人系统的Noether对称性和守恒量

爬壁机器人的运动是一种模仿壁虎爬行的运动, 爬壁机器人的运动可分解为四肢带动身体的运动, 先前的研究都是基于牛顿力学的方法. 本文采用Lagrange 力学的方法建立爬壁机器人系统的运动方程, 并运用Lie群分析方法建立该系统的Noether对称性理论, 得出爬壁机器人的运动规律. 首先, 给出非完整爬壁机器人系统的动能、势能和Lagrange函数以及所受的非完整约束, 从而建立了非完整爬壁机器人系统的Lagrange方程; 其次, 引入关于时间和广义坐标的无限小变换, 提出了非完整爬壁机器人系统的Hamilton作用量和Hamilton作用量的基本变分公式; 第三, 给出爬壁机器人系统 Noether对称性变换和广义准对称变换的定义, 判据和存在的Noether守恒量, 并提出了非保守完整系统和非保守非完整爬壁机器人系统的Noether定理; 最后, 以圆锥面上爬壁机器人为例, 对给出的守恒量直接进行积分给出圆锥面上爬壁机器人整体运动的精确解和四肢运动的数值解, 发现了该爬壁机器人的运动规律, 很好地验证了非完整爬壁机器人系统的Noether对称性理论. 本文的研究为Lie群分析方法应用于其他复杂的机器人系统以及柔性机器人系统的对称性求解提出了一种新的对称性求解方法.      

相对论性定轴转动变质量系统的广义Noether定理

研究相对论性定轴转动变质量系统的广义Noether定理,首先给出相对论性定轴转动变质量非完整系统的运动方程的Routh形式;其次利用Hamilton作用量在无限小变换下的不变性,研究了相对论性定轴转动变质量非完整系统的广义Noether定理和相对论性定轴转动变质量非完整系统的广义Noether逆定理;结论具有普遍意义,对于经典情形和相对论情形都适用,若m_(oi)为常量,结果化为相对论性定轴转动常质量的Noether定理;若θ《Г_i,ω_i《Г_i结果化为经典定轴转动变质量系统的初Noether定理;若m_(oi)为常量,且θ_i《Г_i,ω_i《Г_i,则结果化为经典定轴转动常质量系统的Noether定理。     

相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether定理

与经典变分原理相比,基于由微分方程定义的作用量的Herglotz广义变分原理给出了非保守动力学系统的一个变分描述,它不仅能够描述所有采用经典变分原理能够描述的动力学过程,而且能够应用于经典变分原理不能适用的非保守或耗散系统.将Herglotz广义变分原理拓展到相空间,研究相空间中非保守力学系统的Herglotz广义变分原理与Noether定理及其逆定理.首先,提出相空间中Herglotz广义变分原理,给出相空间中非保守系统的变分描述,导出相应的Hamilton正则方程;其次,基于非等时变分与等时变分之间的关系,导出相空间中Hamilton-Herglotz作用量变分的两个基本公式;再次,给出Noether对称变换的定义和判据,提出并证明相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理,揭示了相空间中力学系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系.在经典条件下,Herglotz广义变分原理退化为经典变分原理,与之相应的相空间中的Noether定理退化为经典Hamilton系统的Noether定理.文末以著名的Emden方程和平方阻尼振子为例说明上述方法和结果的有效性.     

完整力学系统的共形不变性与守恒量

将Birkhoff方程的共形不变性和共形因子的概念拓展到完整力学系统,研究一般完整力学系统在无限小变换下的共形不变性与守恒量.给出了一般完整力学系统的共形不变性的定义和确定方程;研究了系统的Noether对称性与共形不变性之间的关系,研究表明,当Noether对称变换的生成元和非势广义力满足一定条件时,变换也是共形不变的,给出了相应的共形因子表达式,得到了一般完整力学系统的共形不变性直接导致的Noether守恒量;研究了系统的Lie对称性与共形不变性之间的关系,给出了与Lie对称性相应的无限小变换共形不变的充分必要条件,得到了一般完整力学系统的共形不变性直接导致的Lutzky守恒量.文中还举例说明结果的应用.     

Lagrange函数规范变换与Noether守恒量

力学系统Lagrange函数规范变换不改变Noether守恒量,但是Noether等式中规范函数需要调整.     

压力梯度对湍流逆梯度输运的影响

研究Birkhoff系统的一般Lie对称性导致的非Noether守恒量. 得到非Noether守恒 量的存在定理，举例说明结果的应用.     

Birkhoff系统的一般Lie对称性和非Noether守恒量

研究Birkhoff系统的一般Lie对称性导致的非Noether守恒量。得到非Noether守恒量的存在定理,举例说明结果的应用。     

Noether symmetry method for Birkhoffian systems in terms of generalized fractional operators

Compared with the Hamiltonian mechanics and the Lagrangian mechanics, the Birkhoffian mechanics is more general. The Birkhoffian mechanics is discussed on the basis of the generalized fractional operators, which are proposed recently. Therefore, differential equations of motion within generalized fractional operators are established. Then, in order to find the solutions to the differential equations, Noether symmetry, conserved quantity, perturbation to Noether symmetry and adiabatic invariant are investigated. In the end, two applications are given to illustrate the methods and results.     

Conserved quantities and adiabatic invariants for fractional generalized Birkhoffian systems

Based on Riemann-Liouville fractional derivatives, conserved quantities and adiabatic invariants for fractional generalized Birkhoffian systems are investigated. Firstly, fractional generalized Birkhoff equations are obtained by studying fractional generalized Pfaff-Birkhoff principle. Secondly, the definition of fractional generalized quasi-symmetry is given, the criteria of fractional generalized quasi-symmetry and the corresponding conserved quantity are achieved for fractional generalized Birkhoffian systems. Thirdly, perturbation to symmetry and adiabatic invariants for disturbed fractional generalized Birkhoffian systems are presented. Finally, an example is given to illustrate the results.     

Birkhoff系统的积分因子与守恒定理

本文提出了构造Birkhoff系统守恒律的积分因子方法。首先，给出了Birkhoff方程的积分因子的定义，研究了Birkhoff系统的守恒量存在必要条件；其次，建立了系统的积分因子与守恒律的对应关系，并给出了用于确定积分因子的广义Killing方程，最后，建立了守恒定理的逆定理。文末，举例说明结果的应用。     

Skew-gradient representations of constrained mechanical systems

The characteristics of stationary and non-stationary skew-gradient systems are studied. The skew-gradient representations of holonomic systems, Birkhoffian systems, generalized Birkhoffian systems, and generalized Hamiltonian systems are given. The characteristics of skew-gradient systems are used to study integration and stability of the solution of constrained mechanical systems. Examples are given to illustrate applications of the result.     

Form invariance, Noether symmetry and Lie symmetry of Hamiltonian systems in phase space

For the holonomic and non-holonomic Hamiltonian systems in phase space, the definitions and criterions of the form invariance of both Hamilton and generalized Hamilton canonical equations are given. The relations among the form invariance, Noether symmetry and Lie symmetry are studied. Two examples are given to illustrate these results.     

基于对偶变量变分原理的完整约束系统保辛算法

基于对偶变量变分原理，选择积分区间两端位移为独立变量，构造了求解完整约束哈密顿动力系统的高阶保辛算法。首先，利用拉格朗日多项式对作用量中的位移、动量及拉格朗日乘子进行近似；然后，对作用量中不包含约束的积分项采用Gauss积分近似，对作用量中包含约束的积分项采用Lobatto积分近似，从而得到近似作用量；最后，在此近似作用量的基础上，利用对偶变量变分原理，将求解完整约束哈密顿动力系统问题转化为一组非线性方程组的求解。算法具有保辛性和高阶收敛性，能够在位移的插值点处高精度地满足完整约束。算法的收敛阶数及数值性质通过数值算例验证。     

Approximate conservation laws of perturbed partial differential equations

This paper presents a general result on approximate conservation laws of perturbed partial differential equations. A method of constructing approximate conservation laws to systems of perturbed partial differential equations is given, which is based on approximate Noether symmetries of approximate and standard adjoint systems of the original system. The relationship between the Noether symmetry operators of approximate and standard adjoint system is established. As a result, the approach is applied to the perturbed wave equation and the perturbed KdV equation.