三维变系数热传导问题边界元分析中几乎奇异积分计算

在边界积分的数值计算过程中,当源点离积分单元很近时,边界积分就会具有几乎奇异性,此时不能直接用高斯数值积分公式计算几乎奇异积分。本文以三维非均质热传导问题为例,介绍了一种计算几乎奇异边界积分的新方法。首先,采用Newton-Raphson迭代算法确定积分单元上离源点最近的点;然后,将积分单元上任意一点的坐标在最近点处展开成泰勒级数,并计算源点到积分单元任意点的距离;最后,将距离函数代入几乎奇异边界积分中,并运用指数变换方法导出积分单元上几乎奇异积分的计算公式。文中给出了两个非均质热传导问题的算例来验证所述方法的正确性、有效性和稳定性。     

三维边界元法高阶元几乎奇异积分半解析法

分析了三维边界元法高阶曲面单元几何特征,定义接近度来表征源点与积分单元的接近程度.利用源点在积分单元上的垂足点建立局部极坐标系,构造与几乎奇异积分核函数具有相同奇异性的近似函数.从奇异积分核函数中扣除其近似函数,分离出积分核中主导的奇异函数部分,将奇异积分分解为规则核函数和奇异核函数两项积分.规则核函数积分应用常规Gauss数值积分计算,奇异核函数积分在局部极坐标系ρθ下分离积分变量ρ和θ,对ρ积分建立解析计算列式,对θ积分应用常规Gauss数值积分计算,从而对三维位势问题高阶边界单元几乎强奇异和几乎超奇异积分建立一种新的半解析算法.给出了若干温度场算例,采用边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析法计算了近边界内点位势和位势梯度,并与线性单元正则化算法计算结果对比,结果证明提出的半解析法计算几乎奇异面积分和薄壁结构更加高效.      

A NEW SEMI-ANALYTIC ALGORITHM OF NEARLY SINGULAR INTEGRALS IN HIGH ORDER BOUNDARY ELEMENT ANALYSIS OF 3D POTENTIAL

分析了三维边界元法高阶曲面单元几何特征,定义接近度来表征源点与积分单元的接近程度.利用源点在积分单元上的垂足点建立局部极坐标系,构造与几乎奇异积分核函数具有相同奇异性的近似函数.从奇异积分核函数中扣除其近似函数,分离出积分核中主导的奇异函数部分,将奇异积分分解为规则核函数和奇异核函数两项积分.规则核函数积分应用常规Gauss数值积分计算,奇异核函数积分在局部极坐标系ρθ下分离积分变量ρ和θ,对ρ积分建立解析计算列式,对θ积分应用常规Gauss数值积分计算,从而对三维位势问题高阶边界单元几乎强奇异和几乎超奇异积分建立一种新的半解析算法.给出了若干温度场算例,采用边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析法计算了近边界内点位势和位势梯度,并与线性单元正则化算法计算结果对比,结果证明提出的半解析法计算几乎奇异面积分和薄壁结构更加高效.     

薄体位势问题边界元法中的解析积分算法

薄体结构的数值分析是边界元法的难点问题之一。该文导出了一种完全解析积分算法，用这种算法计算了薄体平面位势问题边界元法中出现的几乎弱奇异、强奇异和超奇异积分。当边界离散为一系列线性单元，边界积分方程离散计算的积分可归纳为三种形式。对薄体问题，源点与积分单元距离通常相距很近，这些积分产生显著几乎奇异性，直接采用常规高斯积分不能有效计算。为此该文导出了这些几乎奇异积分的全解析计算公式。按源点与单元的距离是否为零，公式分两种情况。新算法采用全解析积分公式处理几乎奇异积分，首先精确计算出薄体问题边界未知位势和法向位势梯度，然后再进一步计算了域内点的物理参量。算例表明该文算法可处理狭长比为1．E-08的薄体问题，显示了边界元法分析薄体问题具有独特的优势。     

二维位势边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析算法

准确计算几乎奇异积分是边界元法难题之一。目前,对于一般的高阶单元的几乎奇异积分尚缺乏通用高效的计算方法。本文在单元局部坐标系中表征了二维高阶单元的几何特征,提出了源点相对高阶单元的接近度概念。针对二维位势边界元法的3节点二次等参单元,构造出与单元积分核具有相同几乎奇异性的近似奇异核函数。从二维位势几乎奇异积分单元积分核中扣除近似奇异核函数,把几乎奇异积分项转换为规则积分和奇异积分两部分之和,规则积分部分用常规Gauss数值积分计算,奇异积分部分由导出的解析公式计算,从而建立了二维位势问题高阶单元几乎强奇异和超奇异积分的半解析算法。算例结果表明了本文半解析算法的有效性和计算精度。     

二维正交异性位势问题高阶边界元几乎奇异积分半解析算法

边界元法中高阶单元上的几乎奇异积分一直难以计算。针对正交各向异性位势问题,提出一个半解析算法准确计算了其高阶单元上的几乎奇异积分。首先将正交各向异性材料中源点到单元的距离函数在局部坐标系下渐近展开,采用级数展开式构造出与奇异积分核函数具有相同奇异性的可积近似核函数;然后利用扣除法的思想,原奇异积分核减去近似积分核后再加回,几乎奇异积分便转换为规则部分和奇异部分之和,规则积分采用Gauss数值积分计算,奇异积分由文中推导出解析公式计算。通过两个正交各向异性的热传导算例表明,本文建立的高阶单元半解析算法能准确高效地计算近边界内点位势和位势梯度。     

边界元法中计算几乎奇异积分的一种无奇异算法

边界元法中存在几乎奇异积分的计算困难。引起边界单元上几乎奇异积分的因素是源点到其邻近单元的最小距离δ。本文拓展文[1]的思想,进一步采用分部积分将δ移出奇异积分式中积分核之外,转换后积分核是δ的正则函数。所以几乎强奇异和超奇异积分被化为无奇异的规则积分与解析积分的和,可由通常的Gauss数值积分解。文中应用此正则化技术求解了弹性力学平面问题的近边界点位移和应力。     

二维正交各向异性位势问题的高阶单元快速多极边界元法

研制了一种适用于二维正交各向异性位势问题的高阶单元(线性单元和二次单元)快速多极边界元法. 在快速多极边界元法中, 源点对于远场区域的积分采用快速多极展开式计算, 而对于近场区域的积分则直接进行计算. 高阶单元的使用使得近场积分, 尤其是奇异积分和几乎奇异积分的计算更加复杂. 通过引入复数表达对其进行简化, 若边界采用线性单元插值, 近场积分可直接解析计算; 若采用二次单元插值, 则给出一个半解析算法计算近场积分. 高阶单元奇异积分和几乎奇异积分计算难题的解决, 使得高阶单元快速多极边界元法不仅能够计算一般结构, 也能被应用于超薄体结构, 拓宽了高阶单元快速多极边界元法的适用范围. 数值算例表明, 若计算精度一定, 高阶单元快速多极边界元法较常值单元快速多极边界元法使用的单元数量显著减少, 且高阶单元快速多极边界元法计算时间与自由度数量成线性关系, 其计算效率仍处于$O(N)$量级, 因此高阶单元快速多极边界元法可更加高效求解大规模问题.      

边界元法分析薄形层合结构

薄形层合结构由于几何形状的特殊性,其力学分析是数值计算的难点.边界元法分析层合结构具有较大的优势,但对于薄形层合结构,边界源点和对边上的积分单元距离很近,边界积分方程中存在几乎奇异积分,常规的数值积分方法已经失效.文章引入一种半解析化方法,计算薄形层合结构边界元法中的几乎奇异积分,使边界元法能成功分析三维薄形层合结构的层间界面应力和各层内点力学参量.     

A NEW SEMI-ANALYTIC ALGORITHM OF NEARLY SINGULAR INTEGRALS IN HIGH ORDER BOUNDARY ELEMENT ANALYSIS OF 2D ELASTICITY

针对边界元法中高阶单元中几乎奇异积分计算难题,解剖了二维边界元法高阶单元的几何特征,定义源点相对高阶单元的接近度。将高阶单元上奇异积分核函数用近似奇异函数逼近,从而分离出积分核中主导的奇异函数部分,其奇异积分核分解为规则核函 数和奇异核函数两项积分之和。规则核函数用常规高斯数值积分,再对奇异核函数积分导出解析公式,从而建立了一种新的半解析法,用于高阶边界单元上几乎强奇异和超奇异积分计算。给出3个算例,采用边界元法高阶单元的半解析法计算了弹性力学薄体结构和近边界点位移/应力,并与线性边界元正则化算法结果作了比较,结果表明提出的二次元的半解析算法更加有效。特别是分析薄体结构,采用正则化算法的线性边界元分析比有限元有显著优势,而用提出的二次边界元半解析算法分析比其线性元的有效接近度又减小了4个量级。     

An improved exponential transformation for nearly singular boundary element integrals in elasticity problems

This paper presents an improved exponential transformation for nearly singular boundary element integrals in elasticity problems. The new transformation is less sensitive to the position of the projection point compared with the original transformation. In our work, the conventional distance function is modified into a new form in the polar coordinate system. Based on the refined distance function, an improved exponential transformation is proposed in the polar coordinate system. Moreover, to perform integrations on irregular elements, an adaptive integration scheme considering both the element shape and the projection point associated with the improved transformation is proposed. Furthermore, when the projection point is located outside the integration element, another nearest point is introduced to subdivide the integration elements into triangular or quadrilateral patches of fine shapes. Numerical examples are presented to verify the proposed method. Results demonstrate the accuracy and efficiency of our method.     

边界元法计算近边界点参量的一个通用算法

针对边界元法存在近力界点参量计算的困难,给出了一个通用性方法,将近边界点到边界单元的距离参数通过分部积分变换到积分式之外,从而计算出二维问题近边界点参量的几乎强奇异和超奇异积分,由此,对任何近边界点参量,提出了整套计算方案,算例证明了本法的有效性。     

VISCOUS FLOWFIELD BASED ON DISCONTINUOUS BOUNDARY ELEMENT METHOD AND VORTEX METHOD

基于非协调边界元方法和涡方法的联合应用, 模拟了二维和三维黏性不可压缩流场. 计算中利用离散涡元对漩涡的产生、凝聚和输送过程进行模拟, 并将整体计算域分解为采用涡泡模拟的内部区域和用涡列模拟的数字边界层区域. 计算域中涡量场的拉伸和对流由Lagrangian涡方法模拟, 用随机走步模拟涡量场的扩散. 内部区域涡元涡量场速度由广义Biot-Savart公式计算, 势流场速度则采用非协调边界元方法计算. 非协调边界元将所有节点均取在光滑边界处, 从而避免了法向速度的不连续现象; 而对于系数矩阵不对称的大型边界元方程组,引入了非常高效的预处理循环型广义极小残余(the generalized minimum residual, GMRES)迭代算法, 使得边界元法的优势得到了充分发挥, 同时, 在内部涡元势流场计算中对近边界点采用了正则化算法, 该算法将奇异积分转化为沿单元围道上一系列线积分, 消除了势流计算中速度及速度梯度的奇异性. 二维、三维流场算例证明了所用方法的正确性, 也验证了该算法可以大幅度提高模拟精度和效率.