高维非线性动力学系统降维方法的若干进展

综述近年来非线性动力系统降维理论与方法的研究现状.主要介绍非线性动力系统现有降维方法的基本思想、特点与局限性;这些方法包括: 基于中心流形理论的降维方法, Lyapunov-Schmidt (L-S)方法, 非线性Galerkin方法和本征正交分解技术(proper orthogonaldecomposition, POD)方法;并简单介绍了基于规范形理论和快慢流形动力系统的降维方法.最后提出关于高维非线性动力系统降维的一些新设想,并讨论了今后研究工作的方向.      

坐标平面投影法及其在Lorenz混沌系统中的应用

坐标平面投影法（CPP）是研究搞维动力系统解性态的一种半解析半数值方法。它直接在状态空间中降维。通过保留2维物理空间变量，将其余变量设为该2维动力系统的虚拟参数，可研究该2维空间（降维系统RDS）中解的性态。所设虚拟参数由对原高维系统直接数值积分得到。由于在低维（2维）空间解析分析中引入由数值积分得到的虚拟参数，使得这一方法具有特色。本文通过Lorenz混沌系统，对CPP在研究高维系统解性态方面的有效性进行了探讨。结果表明，这一方法思想朴素，分析简单，从一个全新的角度对Lorenz混沌吸引子进行了解释，阐明了非线性混沌系统通向混沌的道路。本文还证明了降维系统（RDS）与高维系统（HDS）奇点之间的关系，对进一步研究HDS解的全面性态提供了条件。     

不依赖数据库的最优动力系统建模理论及其应用

在Wu提出的流动数据库分析及建立低维动力系统的优化理论基础上,进一步提出不依赖于数据库、直接由偏微分方程构造最优低维动力系统的方法。以二维热对流问题为例求得五维最优低维动力系统,研究其动力学特性,并与Lorenz模型进行比较。结果表明：该方法无需依赖数据库即可提取真实反映复杂流动动力学特征的最优基,建立在最优基之上的动力系统更充分地描述了问题的复杂动力学行为,并揭示了一些新的动力学特征。     

关于线性动力系统可化为线性自治Birkhoff动力系统的条件

本文研究一般性自治动力系统何时转化为线性自治Birkhoff动力系统的问题，给出线性自治Birkhoff动力系统与线性自治Hamilton动力系统等价性的定理，并推导出2n维线性动力系统转化为线性自治Birkhoff动力系统条件；通过运用若当块对转化条件进行分析，分情况给出Birkhoff张量非退化的条件。     

压电智能结构动力系统的伽辽金方法

币压电传感器、作动器和梁组成的机电耦合的动力系统，本文提出了一个计算机数值模拟的伽辽金方法。从哈密顿原理出发，导出其状态方程，采用有限维样条函数逼近该动力系统的运动。算便与实验结果比较表明，本文提出的方法，对于机电耦合梁的振动控制分析是有效的。此方法也容易进一步推广到其他更为复杂的智能结构。     

非光滑动力系统Lyapunov指数谱的计算方法

对 n 维非光滑(刚性约束和分段光滑)动力系统引进局部映射，利用 Poincaré映射分析方法得出了非光滑系统 Lyapunov 指数谱的通用计算方法．以一类刚性约束的非线性动力系统为例，给出了 Lyapunov 指数谱随参数大范围变化的规律，并与相应的 Poincaré映射分岔图进行对照，验证了上述通用计算方法的正确性和有效性．     

无穷维动力系统中惯性流形和吸引子

本文综述了无穷维动力系统近年来的发展概况,系统地介绍了它的理论基础以及有关结果,最后就无穷维动力系统发展趋势和意义作了一些讨论.      

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提出了一种新的精细时程积分法来求解大型动力系统. 结合Krylov子空间法、培德级数 近似以及一般载荷的维数扩展法,进一步提高精细时程积分法的计算效率. 利用维数扩展法 避免计算微分方程特解,并可处理任意载荷. 对于大型动力系统,通过Krylov子空间的降维 分析将问题转化到一个子空间,计算效率得到极大提高. 对于迭代次数$N$ 的选择作了详细讨论,进一步提高了计算效率.     

大型结构动力响应的状态方程的Krylov精细时程积分法

提出了一种新的精细时程积分法来求解大型动力系统.结合Krylov子空间法、培德级数近似以及一般载荷的维数扩展法,进一步提高精细时程积分法的计算效率.利用维数扩展法避免计算微分方程特解,并可处理任意载荷.对于大型动力系统,通过Krylov子空间的降维分析将问题转化到一个子空间,计算效率得到极大提高.对于迭代次数N的选择作了详细讨论,进一步提高了计算效率.     

热射流拟序结构中混沌现象的实验研究

就开放流体系统中的热射流拟序结构的混沌现象进行了实验研究．发现流场在绝对不稳定情况（S＜0.72）下,环涡模式控制了整个流场．此时相空间中对应的动力系统发生倍周期和Hopf分岔,说明动力系统可通过Feigenbaum和RTN途径进入混沌．相关维、相关熵和Lyapunov指数的计算表明：在一定Re数下,动力系统的时间渐近行为已呈混沌态,表现为奇异吸引子,相关维数D2约为3．80．     

求大规模非线性随机动力系统概率密度函数解的子空间法

论文给出了一个求大规模非线性随机动力系统响应概率密度函数解的新方法,称之为子空间法.考察了此方法在求解大规模带位移项参数激励非线性随机动力系统响应概率密度函数的有效性.这里的概率密度函数解由Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程控制.该方法是基于将非线性随机动力系统状态变量空间分成两个子空间,然后在其中一个子空间上对FPK方程进行积分,采取一定措施后得到低维的FPK方程.该低维的FPK方程的维数可以人为确定,也可以取为二维,从而可以用现有的求解低维FPK方程的方法求得所需的概率密度函数解.文中给出了算例,用数值结果验证了子空间法的有效性.论文是采用作者曾提出的指数多项式闭合(EPC)法求解由子空间法降维的FPK方程.     

sine—Gordon方程的动力学行为讨论

本文以ｓｉｎｅ－Ｃｏｒｄｏｎ方程为全了把无穷维动力系统理论和非一动力学方法结合起来讨论无穷维动力学系统的动力学行为的一种方法，首先证明了有限维广义渐惯性流形的存在性。然后给出了该流形上常微分方程组，且讨论了解的不变子空间结构。最后用摄动和数值计算讨论了动力学行为，所得结果与（６）所得的一致。这种方法也许为时军蝗分析提供了一条有效途径     

二维非线性微分动力系统与圆映象（Ⅰ）：极限环向圆映的拓扑变 …

本文讨论了二维非线性常微分系统（极限环）向圆映象的变换。利用拓扑变、藕合振子的锁相条件和付利叶展开，我们建立了极限环与圆映象的关系。它由一组方程系列来表达，文中称为ＴＴＥ系列。这样就给出了一个研究二维百线性微分动力系统的周期与混沌的新途径，这就是：微分动力系统－－圆映象－－类比－结论。     

具有刚性约束的非线性动力系统的局部映射方法

对具有刚性约束的n维非线性动力系统进行研究,建立了该类系统在刚性约束附近的局部映射关系.又根据连续性和横截性条件,通过几何方法推导并证明了局部映射的Jacobi矩阵的解析式.然后,通过引入局部映射,并利用Poincar啨映射方法,基于Floquet理论对刚性约束的n维非线性动力系统的周期运动的稳定性和分岔进行分析,给出了该类系统Poincar啨映射的Jacobi矩阵的计算方法.最后,以一类刚性约束的非线性动力系统为例,揭示了局部映射在其动力学分析中的重要作用.     

二维TODA质点的混沌运动

本文研究了Ｔｏｄａ质点的二维运动系统的动力特性，并通过数值技术获得了其相应的时间历程图，相位状态图，庞加莱映射图和功率谱等，结果显示，Ｔｏｄａ质点的二维动力系统在参数空间中存在着混沌运动。     

关于近似惯性流形及其数值方法的研究

本文简述了近年来在无穷维动力系统研究中一些数学理论的进展状况,主要目的是结合二维Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程讨论近似惯性流形及其数值方法的构造和意义．      

非线性时滞动力系统的研究进展

具有时滞的动力系统广泛存在于各工程领域．本文从动力学角度对时滞动力系统的研究进展作一综述,内容包括时滞动力系统的特点、研究方法、动力学热点问题的研究进展等．由于时滞动力系统的演化趋势不仅依赖于系统的当前状态,还依赖于系统过去某一时刻或若干时刻的状态,其运动方程要用泛国微分方程来描述,解空间是无穷维的．即使系统中的时滞非常小,在许多情况下也不能忽略不计．对于非线性时滞常微分方程,目前的研究思路基本上与常微分方程系统理论相平行．主要研究方法可分为时域法和频域法,前者包括Ｔａｙｌｏｒ级数法,中心流形法,Ｐｏｉｎｃａｒｅ映射法等,后者包括Ｎｙｑｕｉｓｔ法等．目前对这类系统的动力学研究主要集中在稳定性、Ｈｏｐｆ分岔、混沌等方面．研究表明：时滞动力系统具有非常丰富和复杂的动力学行为,如单变量的一维非线性时滞动力系统可发生混沌现象,与用常微分方程描述的系统有本质性差别．另一方面,人们可巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为,如时滞反馈控制是控制混饨的主要方法之一．最后,本文展望了存在的一些问题以及近期值得关注的研究．     

非线性动力方程的增维精细积分法

对线性定常结构的动力系统提出的精细积分法，能得到在数值上逼近于精确解的结果。但是对于非齐次动力方程却涉及到矩阵求逆的困难，而且通常与时间有关的非齐次项不能进入精细积分的细化过程。采用增维的方法，将非齐次动力方程化为齐次方程，在实施精细积分的过程中不必进行矩阵求逆。这种处理方法对于程序实现和提高数值计算的稳定性十分有利，而且在大型问题中可明显提高计算效率，数值算例显示本文方法是有效的。     

非线性系统全局动态特性分析的PCM法及其在转子轴承系统中的应用

本文将Ｐｏｉｎｃａｒｅ映射的思想与胞映射法相结合，提出了可用于高维非线性动力系统全局稳定性分析的新型数值方法：ＰＣＭ（Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｃｅｌｌ－Ｍａｐｐｉｎｇ）法，和胞映射法相比，新方法在实用上具有明显的优点。为说明ＰＣＭ法的有效性，本文应用此方法对平衡转子轴承非线性动力系统进行了全局稳定性分析，同时给出了一确定状态空间中存在的所有周期解及其吸引域。     

粘弹性圆薄板的动力学行为

基于线性粘弹性力学的Boltzmann叠加原理,给出粘弹性圆薄板动力学分析的初边值问题。通过一定的简化后得到描述薄板力学行为的四维非线性非自治动力系统。综合使用非线性动力学中的数值分析方法,研究了参数对粘弹性圆薄板动力学行为的影响。同时计算了吸引子的Lyapunov维、相关维和点形维。