准晶数学弹性力学和缺陷力学

对准晶数学弹性理论的基本概念和基本框架作了介绍,在此基础上分别针对目前已经发现的几类一维准晶、二维准晶和三维准晶讨论了其数学弹性的理论体系．为了求解准晶弹性的边值问题或初值一边值问题,还必须发展相应的方法论．物理工作者在研究准晶位错弹性问题中发展了Ｇｒｅｅｎ函数方法．针对一维与二维准晶弹性中几类问题提出了分解与叠加程序,这一程序的使用,使极其复杂的准晶弹性问题得到简化,进而引进位移函数或应力函数,把数目。庞大的准晶弹性基本方程化成一个或少数几个高阶偏微分方程,进一步使求解步骤大为简化．对三维立方准晶弹性也采用了类似步骤使求解过程大为简化．在以上化简的基础上,发展了准晶弹性的边值问题或初值一边值问题的复交函数方法和 Ｆｏｕｒｉｅｒ分析方法,求得了一系列准晶位错问题和裂纹问题的分析解（古典解）．在研究准晶弹性的边值问题古典解的同时,也讨论了同这些边值问题相对应的变分问题和广义解（弱解）以及这种弱解的数值方法──有限元法．在物理学家工作基础上开展的这些工作可以看作对经典数学弹性理论和方法、经典Ｖｏｌｔｅｒｒａ位错理论、普通结构材料断裂力学和经典有限元的某些发展．此外,还把一维六方准晶弹性动力学的结果与统计物理的某些      

十次对称二维准晶材料的位错动力学问题

论文采用Bak准晶弹性动力学模型研究了十次对称二维准晶材料的位错动力学问题。将Stroh公式推广到了准晶材料动力学问题的研究中,给出了位移和应力一般解的表达式。讨论了位错移动速度、声子场和相位子场耦合弹性常数对声子场、相位子场位移和应力的影响。     

一维正方准晶椭圆孔口平面弹性问题的解析解

利用复变方法,引入广义保角映射,研究了一维正方准晶中具有椭圆孔口的平面弹性问题,给出了各应力分量的复变表示,并在特殊情况下转化为Griffith裂纹,得到该裂纹尖端处的应力强度因子的解析解.当准晶体的对称性增加时,正方准晶椭圆孔口平面弹性问题退化为一维四方准晶中具有椭圆孔口的平面弹性问题,同样在特殊情况下转化为Griffith裂纹,得到裂纹尖端处的应力强度因子的解析解.     

一维正方准晶非周期平面弹性有限摩擦接触问题

利用平面弹性复变方法和解析函数边值理论,讨论了一维正方准晶材料非周期平面上的有限摩擦接触问题.基于一维正方准晶非周期平面内应力和位移分量的广义复变函数表示,有限摩擦接触问题被转换为Riemann-Hilbert边值问题.对于平底压头,得到了压头下方接触应力的显式表达式,并用数值算例分析了摩擦系数和声子场-相位子场耦合系数对压头下方接触应力分布的影响.结果表明:(1)摩擦系数对接触应力大小和分布规律的影响几乎可以忽略;(2)耦合系数对接触应力的分布规律无影响,对声子场接触应力值的影响微乎其微,对相位子场接触应力大小的影响比较明显.特殊条件下,本文所得结论可退化为一维四方准晶和一维六方准晶非周期平面内有限摩擦接触问题的解.当摩擦系数等于0时,还可以得到对应无摩擦接触问题的解.     

用路径守恒积分计算平面准晶裂纹扩展的能量释放率

将准晶（包括点群５,５ｍ,８ｍｍ,１０,１０ｍｍ,１２ｍｍ）弹性边值问题化为广义能量泛函的变分问题,建立了求解准晶弹性变形的有限元法,并提出了含裂纹准晶的路径守恒Ｅ－积分,指出Ｅ－积分在数值上等于准晶裂纹扩展的能量释放率,作为实例,计算了平面五次、八次、十二次对称准晶裂纹扩展的能量释放率,数值计算表明准晶中路径积分具有较好的守恒性,同时数值结果表明准晶中相位子场的出现使准晶裂纹扩展的能量释放率增大     

一维六方准晶压电材料中多缺陷的相互作用

基于准晶压电材料的基本方程,利用解析函数理论和复变方法,研究了一维六方准晶压电材料中多缺陷的相互作用问题,建立了多条平行位错以及它们与半无限裂纹相互作用的断裂力学模型,给出了一维六方准晶压电材料中n条平行位错相互作用的Peach-Koehler公式和n条平行位错的等效作用点,得到了n条平行位错与半无限裂纹相互作用下电弹性场的解析解,为讨论裂纹尖端的位错发射、位错屏蔽和裂纹钝化奠定了理论基础. 这些结果均为本文首次给出,丰富和发展了经典弹性理论中的相应结果.     

准晶数学弹性理论和某些有关研究的进展(下)

本文对固体准晶力学性能和准晶数学弹性, 塑性, 断裂以及有关研究的进展作了评论, 尤其对材料常数和塑性变形行为的测量, 一维、二维、三维准晶弹性理论, 动力学、非线性、缺陷理论、准晶弹性新型偏微分方程的推导和精确分析解, 复分析方法, 变分原理和有限元方法, 有限差分方法这些宏观问题和它们的数学方法进行了分析, 同时对准晶晶格动力学问题的数学理论也作了初步讨论. 近来在软物质中发现了12 次和18次对称准晶, 意义重大, 这里也做了初步介绍. 文中重点讨论此领域最近这些年来中国科学工作者的工作.     

准晶数学弹性理论和某些有关研究的进展(上)

本文对固体准晶力学性能和准晶数学弹性, 塑性, 断裂以及有关研究的进展作了评论, 尤其对材料常数和塑性变形行为的测量, 一维、二维、三维准晶弹性理论, 动力学、非线性、缺陷理论、准晶弹性新型偏微分方程的推导和精确分析解, 复分析方法, 变分原理和有限元方法, 有限差分方法这些宏观问题和它们的数学方法进行了分析, 同时对准晶晶格动力学问题的数学理论也作了初步讨论. 近来在软物质中发现了12 次和18次对称准晶, 意义重大, 这里也做了初步介绍. 文中重点讨论此领域最近这些年来中国科学工作者的工作.      

粘弹性力学的对应原理及其数值反演方法

积分变换是处理粘弹性混合边值问题的重要数学工具,积分变换的应用使粘弹性混合边值问题在象空间与相应弹性混合边值问题对应起来,从而使粘弹性混合边值问题的求解可以继承和借鉴弹性问题的求解方法,再利用积分反演方法就可求得时间域粘弹性边值问题的解．本文结合国内外的研究成果,就粘弹性力学中存在的各种对应原理及数值反演方法进行了归类和总结．结合在求解粘弹性边值问题中的应用,对各类方法的特点进行了评述,并指出存在的问题及发展新的数值方法的研究重点．      

Poisson括号方法及其在准晶、液晶和一类软物质中的应用

对凝聚态物理学中的Poisson 括号及有关Lie群和Lie代数方法做了介绍. 同时介绍了在准晶、液晶和一类软物质研究中的应用.不仅介绍了推导以上物质的流体动力学方程或弹性-流体动力学方程, 也讨论了某些方程的解, 这种解还揭示了国外著名权威的经典解的错误.     

Solvability on boundary-value problems of elasticity of three-dimensional quasicrystals

Weak solution (or generalized solution) for the boundary-value problems of partial differential equations of elasticity of 3D (three-dimensional) quasicrystals is given, in which the matrix expression is used. In terms of Korn inequality and theory of function space,we prove the uniqueness of the weak solution.This gives an extension of existence theorem of solution for classical elasticity to that of quasicrystals,and develops the weak solution theory of elasticity of 2D quasicrystals given by the second author of the paper and his students.     

MOVING SCREW DISLOCATION IN CUBIC QUASICRYSTAL

The elasticity theory of the dislocation of cubic quasicrystals is developed. The governing equations of anti-plane elasticity dynamics problem of the quasicrystals were reduced to a solution of wave equations by introducing displacement functions, and the analytical expressions of displacements, stresses and energies induced by a moving screw dislocation in the cubic quasicrystalline and the velocity limit of the dislocation were obtained. These provide important information for studying the plastic deformation of the new solid material.     

On three-dimensional elastic problems of one-dimensional hexagonal quasicrystal bodies

Based on rigorous operator theory, a general solution of the three-dimensional elasticity equations of equilibrium for 1D hexagonal quasicrystals is obtained. The solution is expressed in terms of four quasiharmonic functions, which is very simple and useful. The point phonon (phason) force solution of an infinite 1D hexagonal quasicrystal body is derived, all in terms of elementary functions. They can play an important role in numerical simulations such as boundary element method.     

On the fundamental equations of piezoelasticity of quasicrystal media

The three-dimensional fundamental equations of elasticity of quasicrystals with extension to quasi-static electric effect are expresses in both differential and variational invariant forms for a regular region of quasicrystal material. The principle of conservation of energy is stated for the regular region and the constitutive relations are obtained for the piezoelasticity of material. A theorem is proved for the uniqueness in solutions of the fundamental equations by means of the energy argument. The sufficient boundary and initial conditions are enumerated for the uniqueness. Hamilton’s principle is stated for the regular region and a three-field variational principle is obtained under some constraint conditions. The constraint conditions, which are generally undesirable in computation, are removed by applying an involutory transformation. Then, a unified variational principle is obtained for the regular region, with one or more fixed internal surface of discontinuity. The variational principle operating on all the field variables generates all the fundamental equations of piezoelasticity of quasicrystals under the symmetry conditions of the phonon stress tensor and the initial conditions. The resulting equations, which are expressible in any system of coordinates and may be used through simultaneous approximation upon all the field variables in a direct method of solutions, pave the way to the study of important dislocation, fracture and interface problems of both elasticity and piezoelasticity of quasicrystal materials.     

A MODE Ⅱ CRACK IN A TWO-DIMENSIONAL OCTAGONAL QUASICRYSTALS

ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｈｅｄｉｓｃｏｖｅｒｙｏｆｑｕａｓｉｃｒｙｓｔａｌａｒｏｕｎｄ 1 984 [1,2 ,3]ｉｓｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｂｒｅａｋｔｈｒｏｕｇｈｆｏｒｃｏｎｄｅｎｓｅｄｍａｔｔｅｒｐｈｙｓｉｃｓｉｎｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓ.Ｔｈｅｑｕａｓｉｐｅｒｉｏｄｉｃｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｓｏｌｉｄｐｒｅｓｅｎｔｓｇｒｅａｔｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ .Ｎｕｍｅｒｏｕｓｑｕａｓｉｃｒｙｓｔａｌｌｉｎｅｍａｔｅｒｉａｌｓｗｉｔｈｓｔａｂｌｅｐｒｏｐｅｒｔｙｗｅｒｅｐｒｏｄｕｃｅｄ ,ｔｈｉ…     

一维六方准晶中螺型位错偶极子与直线纳米裂纹的干涉效应

关于准晶中螺型位错偶极子与直线纳米裂纹干涉效应的问题，提出了一种可获得精确解的新方法。首先，将Gurtin-Murdoch表/界面理论推广运用到准晶材料中的纳米裂纹问题，建立了裂纹表面上含声子场、相位子场的应力边界模型；然后，利用复变函数中的共形映射方法，将直线裂纹问题化为单位圆孔问题；再借助于柯西积分方法获得了问题的封闭解；最后，数值结果表明：当裂纹的尺寸减小到纳米量级时，表面效应将对声子场和相位子场中的应力场、像力及像力偶矩产生显著的影响，从而改变其力学性能，即裂纹尺寸越小，表面效应越强，声子场和相位子场中的应力场、像力及像力偶矩的数值变化越大；螺型位错偶极子力偶臂的方向对像力的极值和自身平衡亦有较大影响。     

Axisymmetric contact problem of cubic quasicrystalline materials

The axisymmetric elasticity theory of cubic quasicrystal was developed in Ref. [1]. The axisymmetric elasticity problem of cubic quasicrystal is reduced to a single higher-order partial differential equation by introducing a displacement function, based on which, the exact analytic solutions for the elastic field of an axisymmetric contact problem of cubic quasicrystalline materials are obtained for universal contact stress or contact displacement. The result shows that if the contact stress has order −1/2 singularity on the edge of the contact domain, the contact displacement is a constant in the contact domain. Conversely, if the contact displacement is a constant, the contact stress must have order −1/2 singularity on the edge of the contact domain. Project supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 19972011).