同一类型对称性可生成不同类型守恒量--分析力学札记之十三

将对称性分为Noether对称性、Lie对称性和形式不变性等3种类型，将守恒量分为Noether守恒量、Hojman守恒量和新型守恒量等3种类型．研究Lagrange系统同一类型对称性生成不同类型守恒量的问题．     

非完整系统的Lie对称性与Noether对称性

研究非完整系统的Lie对称性与Noether对称性及其间的关系,具体研究了Chetaev型变量质量非完整系统和非Chetaev型非完整系统的Lie对称性与Noether对称性。给出Lie对称性导致Noether对称性及Noether对称性导致Lie对称性的条件。     

变质量非完整系统的Lie对称性逆问题

本文研究质量非完整系统的Lie对称性逆问题：根据已知积分求相应的Lie对称性,具体研究了受Chetaev型和非Chetaev型非完整约束的变质量系统的Lie对称性逆问题。首先,根据Lie对称所满足的确定方程和限制方程,给出Lie对称的结构方程和相应的守恒量及其表达式;其次,由已知守恒量求出相应的Noether对称性;最后,根据Noether对称性求出相应的Lie对称性。     

压力梯度对湍流逆梯度输运的影响

研究Birkhoff系统的一般Lie对称性导致的非Noether守恒量. 得到非Noether守恒 量的存在定理，举例说明结果的应用.     

关于力学系统的对称性与不变量

本文综述了近10年来关于力学系统的对称性和不变量的研究所提出的新概念、新理论,主要包括经典Noether对称性的微分几何描述、高阶Noether对称性、Lie对称性,拟对称性和伴随对称性以及与之相应的不变量,关于非保守系统的高阶Noether对称性和Lie对称性的结果属首次公布。      

Birkhoff系统的一般Lie对称性和非Noether守恒量

研究Birkhoff系统的一般Lie对称性导致的非Noether守恒量。得到非Noether守恒量的存在定理,举例说明结果的应用。     

经典约束力学系统对称性与守恒量研究进展

介绍有关经典约束力学系统对称性与守恒量研究的近代发展.提出经典力学发展的5个阶段以及待研究的3个问题. 介绍Noether对称性,Lie对称性, 形式不变性, Lagrange对称性,共形不变性以及由它们导致的守恒量, 并提出若干问题.      

完整力学系统的共形不变性与守恒量

将Birkhoff方程的共形不变性和共形因子的概念拓展到完整力学系统,研究一般完整力学系统在无限小变换下的共形不变性与守恒量.给出了一般完整力学系统的共形不变性的定义和确定方程;研究了系统的Noether对称性与共形不变性之间的关系,研究表明,当Noether对称变换的生成元和非势广义力满足一定条件时,变换也是共形不变的,给出了相应的共形因子表达式,得到了一般完整力学系统的共形不变性直接导致的Noether守恒量;研究了系统的Lie对称性与共形不变性之间的关系,给出了与Lie对称性相应的无限小变换共形不变的充分必要条件,得到了一般完整力学系统的共形不变性直接导致的Lutzky守恒量.文中还举例说明结果的应用.     

时间尺度上Lagrange系统的Hojman守恒量

利用对称性和守恒律, 可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解, 更好地理解其动力学行为. 时间尺度分析将连续和离散动力学模型统一并拓展到时间尺度框架, 既避免了重复研究又可揭示两者之区别和联系. 因此, 通过对称性来探寻在时间尺度的框架下新的守恒定律很有必要. 本文首先建立了时间尺度上Lagrange方程, 利用时间尺度微积分性质导出了时间尺度上Lagrange系统的两个重要关系式; 其次, 依据微分方程在单参数Lie变换群下的不变性, 建立了时间尺度上Lie对称性的定义和确定方程; 最后, 建立了时间尺度上Lie对称性定理并利用上述关系式给出了证明, 得到了时间尺度上Lagrange系统的新守恒量. 当时间尺度取为实数集时, 该守恒量退化为著名的Hojman守恒量. 文末考察了一个两自由度时间尺度Lagrange系统, 在3种不同时间尺度情形下得到了该系统的Hojman守恒量, 数值计算结果验证了定理的正确性.      

关于Emden方程的对称性——————分析力学札记之十一

 研究著名的Emden方程的3种表达在群的无限小变换 下的Noether对称性、Lie对称性和形式不变性. 结果表明, 同一微分方程的不同表达可有不同的对称性.     

On the Noether symmetry and Lie symmetry of mechanical systems

The Noether symmetry is an invariance of Hamilton action under infinitesimal transformations of time and the coordinates. The Lie symmetry is an invariance of the differential equations of motion under the transformations. In this paper, the relation between these two symmetries is proved definitely and firstly for mechanical systems. The results indicate that all the Noether symmetries are Lie symmetries for Lagrangian systems meanwhile a Noether symmetry is a Lie symmetry for the general holonomic or nonholonomic systems provided that some conditions hold. The project supported by the National Natural Science Foundation of China (19972010)     

非Четаев型非完整系统的Lie对称性与守恒量

研究非Четаев型非完整系统的Ｌｉｅ对称性．首先利用微分方程在无限小变换下的不变性建立Ｌｉｅ对称所满足的确定方程和限制方程，给出结构方程并求出守恒量；其次研究上述问题的逆问题：根据已知积分求相应的Ｌｉｅ对称性；最后举例说明结果的应用．     

Lie symmetry and approximate Hojman conserved quantity of Appell equations for a weakly nonholonomic system

For a weakly nonholonomic system, the Lie symmetry and approximate Hojman conserved quantity of Appell equations are studied. Based on the Appell equations for a weakly nonholonomic system under special infinitesimal transformations of a group in which the time is invariable, the definition of the Lie symmetry of the weakly nonholonomic system and its first-degree approximate holonomic system are given. With the aid of the structure equation that the gauge function satisfies, the exact and approximate Hojman conserved quantities deduced directly from the Lie symmetry are derived. Finally, an example is given to study the exact and approximate Hojman conserved quantity of the system.     

Special Lie symmetry and Hojman conserved quantity of Appell equations for a Chetaev nonholonomic system

A special Lie symmetry and Hojman conserved quantity of the Appell equations for a Chetaev nonholonomic system are studied. The differential equations of motion and Appell equations of the Chetaev nonholonomic system are established. Under the special Lie symmetry group transformations in which the time is invariable, the determining equation of the special Lie symmetry of the Appell equations for a Chetaev nonholonomic system is given, and the expression of the Hojman conserved quantity is deduced directly from the Lie symmetry. Finally, an example is given to illustrate the application of the results.     

A unified symmetry of lagrangian systems

In this paper, the definition and the criterion of a unified symmetry are presented. A new conserved quantity, as well as the Noether conserved quantity and the Hojman conserved quantity, deduced from the unified symmetry, are obtained. Some examples are given to illustrate the application of the results. The project supported by the National Natural Science Foundation of China (10272021)     

Form invariance, Noether symmetry and Lie symmetry of Hamiltonian systems in phase space

For the holonomic and non-holonomic Hamiltonian systems in phase space, the definitions and criterions of the form invariance of both Hamilton and generalized Hamilton canonical equations are given. The relations among the form invariance, Noether symmetry and Lie symmetry are studied. Two examples are given to illustrate these results.     

爬壁机器人系统的Noether对称性和守恒量

爬壁机器人的运动是一种模仿壁虎爬行的运动, 爬壁机器人的运动可分解为四肢带动身体的运动, 先前的研究都是基于牛顿力学的方法. 本文采用Lagrange 力学的方法建立爬壁机器人系统的运动方程, 并运用Lie群分析方法建立该系统的Noether对称性理论, 得出爬壁机器人的运动规律. 首先, 给出非完整爬壁机器人系统的动能、势能和Lagrange函数以及所受的非完整约束, 从而建立了非完整爬壁机器人系统的Lagrange方程; 其次, 引入关于时间和广义坐标的无限小变换, 提出了非完整爬壁机器人系统的Hamilton作用量和Hamilton作用量的基本变分公式; 第三, 给出爬壁机器人系统 Noether对称性变换和广义准对称变换的定义, 判据和存在的Noether守恒量, 并提出了非保守完整系统和非保守非完整爬壁机器人系统的Noether定理; 最后, 以圆锥面上爬壁机器人为例, 对给出的守恒量直接进行积分给出圆锥面上爬壁机器人整体运动的精确解和四肢运动的数值解, 发现了该爬壁机器人的运动规律, 很好地验证了非完整爬壁机器人系统的Noether对称性理论. 本文的研究为Lie群分析方法应用于其他复杂的机器人系统以及柔性机器人系统的对称性求解提出了一种新的对称性求解方法.