一道极值点偏移问题的证法分析

<正>设函数f(x)满足f(a)=f(b),并在区间(a,b)内只有一个极值点x_0;若x_0<(a+b)/2,则称极值点x0左偏;若x_0>(a+b)/2,则称极值点x0_右偏.函数f(x)的极值点左偏和右偏统称为函数f(x)的极值点偏移.极值点偏移问题近几年备受命题者的青睐,所涉及思想方法多、思维跨度大、问题变化多端等特点.下面笔者给出一道极值点偏移问题的几种证法,期望读者能举一反三,触类旁通.     

关于极值点偏移问题的思考——从一道高考压轴题出发

一、题目展示(2016全国Ⅰ卷理-21) 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2＜2. 分析:第(1)小题是典型的零点个数问题,利用分离变量的方法可以解决;而第(2)小题属于极值点偏移问题.笔者将重点通过第(2)小题的解决来讨论极值点偏移问题.     

解决函数零点距离问题的四种思路

<正>与函数零点有关的不等式问题是近几年高考和各地模拟考试的一个热点问题.与极值点偏移问题类似,函数零点距离问题也是关注函数值相等时对应的自变量之间的关系.前者关注自变量之间的和或积构造的不等式,后者关注由自变量之差引申出的不等关系.两者形式相似但解法差异较大,相较于极值点偏移问题其难度更高,综合性和灵活度更强.解决函数零点距离问题时常需要运用放缩的方法.但是采用怎样的放缩方法是解题过程中的难点问题.本文归纳总结了几种常用的放缩方法,对命制和解决类似问题提供思路.     

一道非常规极值点偏移问题的探究

<正>极值点偏移问题是近年来高考题与模拟题中的热点问题,研究这类问题的文章汗牛充栋~([1][2]),通常来说我们有三种处理方法:构造函数法,换元法与对数均值不等式法.以一道常见的题为例:已知函数f(x)=lnx-ax有两个相异零点x_1,x_2,求证:x_1x_2>e~2.     

一道导数题的求证感悟

题目已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若f(x)无极值点,但其导函数f’(x)有零点,求a的值;(略)(2)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-3/2.     

例析设而不求解答奇数问题

<正>我们知道,超越方程中学阶段学生难以求出具体的实根,但在导数问题中,经常会遇到两类问题.第一类,解题过程中需用到函数的零点,当我们把函数的零点转化为方程的根的时候,面对超越方程,难以求出其实根.第二类,在可导函数极值问题中,首先求导,令导数为零,求出可疑极值点.但有些函数的导函数为超越函数,其零点(可疑极值点)难以求出.     

新高考中二次函数问题解析

本文从对高考试题的分类研究出发,旨在探索二次函数问题的命题与解题的规律.1.两类核心问题1.1零点问题二次函数的零点的存在性及其符号问题,可转化为相应的二次方程问题,进而用判别式与韦达定理处理之;若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大(小)于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、在某区间内恰有一个零点,则可借助于二次函数的图象探索出相应的充要条     

巧用极值点的化简功能解题

<正>一般说来,函数极值点是函数单调性的分界点,利用它与端点值比较可求函数的最大值、最小值,但是我们在解一些高考题及模拟题中发现,若它的作用仅限于此的话,解题会陷入僵局.其实,极值点的化简作用还没有充分挖掘出来,即极值点不仅是单调性的分界点还是导函数的零点,利用这一等式关系可以降次、化简、证明不等式等,下面采撷几例高考题及模拟题阐述之.     

二次曲线中点弦性质

若二次曲线的弦AB以M为中点,反之,称AB为点M的中点弦. 若两二次曲线相似,且有相同的对称轴,则称两曲线同轴相似(长、短轴或实、虚轴不能换位). 某双曲线的同轴相似双曲线的共轭双曲     

周界中点三角形的两个性质

若三角形一边上的点和这边所对的顶点平分三角形的周长,人们则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形.     

周界中点三角形的性质再探

若三角形一边上的点和这边所对的顶点平分三角形的周长,人们则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形.     

一个周界中点三角形不等式的加强

若三角形一边上的点和这边所对的顶点平分三角形的周界,则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形.     

四面体的等距共轭点及其性质

在三角形的一边所在直线上取两点M,M′,使这两点关于该边的中点对称,则称M′为点M在这条边上的等距共轭点.仿效这个定义,我们可以建立四面体的一条棱上和一个面内的等距共轭点概念如下:定义1)在四面体的一条棱所在直线上取两点M,M′,使这两点关于该棱的中点对称,则称M′为点M在     

中点弦方程变换公式

过二次曲线内一点P作弦AB,点A、B为弦的两位端点,若P为AB的中点,则称线段AB为此二次曲线内关于点P的中点弦．经笔者思考,得到了一个有关中点弦所在直线方程的一个性质(不妨称为中点弦方程变换公式)．     

最值理论中一个结论的证明

同济大学《高等数学》最值理论中有结论称“若一个函数在一个区间内可导且只有一个驻点,并且这个驻点是函数的极值点,那么此驻点也是该函数的最值点”,但并未给出证明。学生们对此频感好奇。受Fermat引理启发,利用反证法可获一个比此结论更为一般的定理。     

光滑函数有限阶零点的一个性质

一个函数在实数集上无限阶可导,这样的函数为实数集上的光滑函数.如果一个光滑函数f在x=a处函数值为零称x=a是函数f的零点,如果该光滑函数在此点处还满足:直到n-1阶导数都为零,但n阶导数不为零,这个零点称为是n阶零点,本文中证明f与x-a的n次幂之比还是光滑函数.     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

例析设而不求思想在函数求值中的应用

我们知道,对于可导函数求极值问题。首先求导,让导数为0,求出可疑极值点．但有些函数的导函数为超越函数,其零点（可疑极值点）很难求出,     

趣读畸形的等腰三角形

<正>如果将等腰三角形ABC的顶角顶点A分裂为两个点,记为A1、A2,连线A1A2与底边BC交于点D,仍保持两腰A1B和A2C相等,我们不妨把所得图形称为畸形的等腰三角形,如图1所示.特别地,若点D为底边BC的中点,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的底边上的中线.若∠BA1D=∠CA2D,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的顶角平分线.非常有趣的一个现象是等腰三角形的一些性质,也传给了畸形的等腰三角形.例如,等     

九年级数学科第二学期自测题

A组一、填空题1 .抛物线y=-2x2 -x+1的顶点在第象限 .2 .把函数y =-12 x2 的图像向右平移 1个单位 ,再向下平移 2个单位 ,所得图像的解析式为.3 .对于反比例函数y =-2x 与二次函数y =-x2+3 .请说出它们的两个相同点① ,②;再说出它们的两个不同点① ,② .4.函数y =x2 -2x -1 ,当x =时 ,y有最小值.5 .如图 ,△ABC中 ,BC =a .若D1,E1分别是AB ,AC的中点 ,则D1E1=;若D2 ,E2 分别是D1B ,E1C的中点 ,则D2 E2 =;若D3 ,E3 分别是D2 B ,E2 C的中点 ,则D3 E3 =;……依此类推 .若Dn,En 分别是Dn -1B ,En-1C的中点 ,则DnEn= ≠= .(n为…