Poisson分布参数的渐近最优和可容许的经验Bayes估计

设Ｘ及（Ｘ１，Ｘ２…，Ｘｎ）分别为取自Ｐｏｉｓｓｏｎ分布Ｐ（θ）的当前样本和历史样本，参数θ的先验分布族Ｆ＝｛Γ（ｍ，β）：β＞０｝，其中ｍ＞０已知，Γ（ｍ，β）表示参数为（ｍ，β）的伽玛分布．对ｐ＞０，ｑ＞２的任意两个实数，记ｔｎ＝Ｘ＋∑ｎｉ＝１Ｘｉ＋ｐＸ＋∑ｎｉ＝１Ｘｉ＋ｐ＋ｑ＋（ｎ＋１）ｍ（Ｘ＋ｍ）则在平方损失函数ｌ（θ，ｄ）＝（θ－ｄ）２下，ｔｎ是θ的渐近最优和可容许的经验Ｂａｙｅｓ估计，而且收敛速度为Ｏ（１ｎ）．     

一个排列数公式在数列求和中的应用

在排列组合中,由组合数性质Ｃｍｎ＋１＝Ｃｍｎ＋Ｃｍ－１ｎ,容易推出：Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋＋Ｃｎｎ＋ｍ　＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．于是　ＣｎｎＰｎｎ＋Ｃｎｎ＋１Ｐｎｎ＋Ｃｎｎ＋２Ｐｎｎ＋…＋Ｃｎｎ＋ｍＰｎｎ＝Ｃｍ＋１ｎ＋ｍ＋１Ｐｎｎ＝１ｎ＋１Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１Ｐｎｎ＋１．由ＣｎｋＰｎｎ＝Ｐｎｋ,得：Ｐｎｎ＋Ｐｎｎ＋１＋Ｐｎｎ＋２＋…＋Ｐｎｎ＋ｍ＝１ｎ＋１Ｐｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．本文应用这个公式来研究现行高中教材《代数》下册中的一些数列前ｎ项和,不仅可以简化运算,而且为这些数列前…     

Weibull分布族中参数的渐近有效估计

本文构造了Ｗｅｉｂｕｌｌ分布族（ｍｘ＾ｍ－１／θｅ＾－ｘｍ／θ，ｘ＞０，ｍ＞０，θ＞０）中形状参数，刻度参数θ的渐近中位无偏限制下的渐近有效估计ｍｎ，θｎ，同时不证明了Ｃ１θｎ＋Ｃ２Ｍｎ为Ｃ１θ＋Ｃ２ｍ的渐近有效估计（其中Ｃ１，Ｃ２为任意给定的常数。）     

关于二部图K(m,n)-2的色唯一性

设Ｋ（ｍ，ｎ）－２表示从完全二部图Ｋ（ｍ，ｎ）中删去任意２条边所得之图．本文证明了：１．若ｎ≥ｍ≥３，且ｎ＋ｍ＞(（ｎ－ｍ）^２＋８)^1/2＋１/２（ｎ－ｍ）^２＋４，则Ｋ（ｍ，ｎ）－２是色唯一图；２．当ｍ≥３时，Ｋ（ｍ，ｍ）－２，Ｋ（ｍ，ｍ＋１）－２和Ｋ（ｍ，ｍ＋２）－２均是色唯一图．     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

整距点的性质和计数公式

整距点的性质和计数公式３１６２００浙江岱山县岱山中学张善立定理１（性质定理）如果（ｘ１，ｘ２，ｘ３）是匈股形整距点，则当（１）ｘ１＇＝ｘ１＋ｎ，ｘ２＇＝ｘ２一ｍ＞０，ｘ。’＝ｘ。－ｎ；或（２）ｘ；’＝ｘ；＋ｍ，ｘ。’＝ｘ。＋ｎ，ｘ。’＝ｘ。一ｍ＞０时...     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦青海孔繁秋在拙文［１］中，我们证明了如下的定理．定理设有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）和直线ｍｘ＋ｎｙ＝１相交于Ｐ、Ｑ两点（Ａｎ２＋Ｂｍ２≠０，Ａｎ２＋Ｂｍ２—ＡＢ＞０），Ｏ为原点，则ＯＰ⊥Ｏ...     

自然数的一个性质

我班某学生发现了一个自然数的性质,举例如下：９２－３２＝２（４＋５＋６＋７＋８＋９）－（９－３）;１３２－７２＝２（８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３）－（１３－７）;１００２－５７２＝２（５８＋５９＋…＋１００）－（１００－５７）．上面各等式中,前一个小括号内是连续自然数之和且这些自然数正好是等式左边被减数与减数之间的数．很明显有：对于ｎ,ｍ∈Ｎ,且ｎ＞ｍ,则有ｎ２－ｍ２＝２［（ｍ＋１）＋（ｍ＋２）＋…＋ｎ）］－（ｎ－ｍ）．对这一问题笔者作进一步探讨,得到如下结论．性质１　ｎ３－ｍ３＝３∑ｎｉ＝ｍ…     

关于丢番图方程x^2±2^m=y^n

本文证明了：方程ｘ２＋２ｍ＝ｙｎ，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，ｎ＞２仅有有限多组解（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且当（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）≠（５，３，１，３），（１１，５，２，３），（７，３，５，４）时，ｎ是适合ｎ≡７（ｍｏｄ８）以及２３≤ｎ＜８．５·１０６的奇素数，ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｍ）＜Ｃ１；方程ｘ２－２ｍ＝ｙｎ，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，ｙ＞１；ｎ＞２仅有有限多组解（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且这些解都满足ｎ＜２·１０９炉以及ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｍ）＜Ｃ２，这里Ｃ１，Ｃ２是可有效计算的绝对常数．     

数学奥林匹克讲与练(19)

例题讲解１４５．给定实数ａ１，…，ａｍ；ｂ１，…，ｂｎ及正数ｐ１，…，ｐｍ；ｑ１，…，ｑｎ，组成一个ｍ×ｎ的数表，其位于第ｉ行、第ｊ列的一个数为ａｉ＋ｂｊｐｉ＋ｑｊ（ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）．求证：在此数表中存在一个数，它不小于与其同行的任意一个数，又不大于与其同列的任意一个数．证法１　我们要在ｍ×ｎ的数表中找出一数ｘ＝ａｋ＋ｂｌｐｋ＋ｑｌ，满足条件ａｋ＋ｂｊｐｋ＋ｑｊ≤ｘ　（１≤ｊ≤ｎ）ａｉ＋ｂｌｐｉ＋ｂｌ≥ｘ　（１≤ｉ≤ｍ）（１）将两式变形为ｐｋｘ－ａｋ≥－ｑｊｘ＋…     

一类三角恒等式的统一推广

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中给出了如下一类三角恒等式：∑２ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ,（１）∑ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ＋１,（２）∑２ｎｋ＝１（ｃ...     

某类有界拟凸域双全纯不变量的极限

Ｅ＝Ｅ（ｍ，ｎ，ｋ）＝｛（ｚ，ω）∈Ｃ＾ｎ＋ｍ：│ｚ│＾２＋│ω│＾２ｋ〈１，ｚ∈Ｃ＾ｎ，ω∈Ｃ＾ｍ，ｋ〉０｝是Ｃ＾ｍ＋ｍ中的一类有界拟凸域。该文证明了在δＥ的强拟凸点上，当ｍ〉１时，ｌｉｍ（ｚ，ω）→δＥＪＥ（（ｚ，ω））＝π＾ｎ＋ｍ（ｎ＋ｍ＋１）＾ｎ／（ｎ＋ｍ）！．ｍ＝１时，ｌｉｎ（ｚ，ω）→δＥＪＥ（ｚ，ω））＝π＾ｎ＋１（ｎ＝）＾ｎ＋１／（ｎ＋１）！，在δＥ的弱拟凸点上，上述极限不存在。     

“1／a_1＋1／a_2＋…＋1／a_n≥n~2／（a_1＋a_2＋…＋a_n）”的灵活运用

“１／ａ_１＋１／ａ_２＋…＋１／ａ_ｎ≥ｎ~２／（ａ_１＋ａ_２＋…＋ａ_ｎ）”的灵活运用５５０００３贵州教育学院数学系李长明对应用极为广泛的三个平均值之间的不等式在现行高中代数课本下册上，只就ｎ＝２，３论证了算术平均不小于几何平均，而ｎ＞３时，因证明较?..     

等比数列的一个性质

设｛ａｎ｝是以ｑ为公比的等比数列,其前ｎ项和为Ｓｎ,若１≤ｍ＜ｎ,则易知　Ｓｎ＝Ｓｍ＋ｑｍＳｎ－ｍ．（１）特别地,当ｍ＝１而ｎ＞１时,有　　　　　Ｓｎ＝ａ１＋ｑＳｎ－１．（２）这是等比数列的一个简单性质,容易推出其逆命题也成立．下面举两例说明（１）和（２）的应用．例１　设｛ａｎ｝为等比数列,公比为ｑ,前ｎ项和为Ｓｎ．（Ⅰ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ（常数）,则对任何ｉ＝１,２,…,２ｍ,有｜Ｓｉ｜≤（１＋｜ｑ｜ｍ）Ｍ．（Ⅱ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ且｜ｑ｜＜１,…     

一个三角恒等式的推广的复数证明

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中的定理的证明过程较繁，若用复数证明则比较简便．此处对该定理的Ⅱ１作证明，其余各恒等式的证明与其类似．定理Ⅱ１若ｍ，ｎ，ｋ∈Ｎ，则当ｎ＞ｍ≥１时，有∑２ｎｋ＝１（ｃｏｓｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝〔（１...     

关于丢番图方程D1x^2＋2^mD2=y^n的解数

设Ｄ１、Ｄ２、ｍ、ｘ、ｙ是适合Ｄ１〉１，Ｄ２〉１，２├Ｄ１Ｄ２，ｇｃｄ（Ｄ１，Ｄ２）＝ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１的正整数，ｎ是适合ｎ├ｈ的奇素数，其中ｈ是虚二次域Ｑ（√－２＾ｍＤ１Ｄ２）的类数。本文主要证明了：方程Ｄ１ｘ＾２＋２＾ｍＤ２＝ｙ＾ｎ至多有５．１０＾１６组例外解（Ｄ１，Ｄ２，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）而且这些解都满足了７≤ｎ〈８．５．１０＾６以及ｙ＾ｎ〈ｅｘｐ（ｅｘｐ（ｅｘｐ４６））。     

Angles of Norm ed Linear Spaces and Characterizations of Inner Product Spaces

§１．　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，ＬｅｍｍａｓａｎｄＴｈｅｏｒｅｍＤｅｆｉｎｉｔｉｏｎ１［１］　Ｌｅｔ（Ｘ，ｙ·ｙ）ｂｅａｒｅａｌｎｏｒｍｅｄｌｉｎｅａｒｓｐａｃｅｏｆｄｅｍｅｎｓｉｏｎｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎ１，ｗｅｄｅｆｉｎｅａｎｇｌｅｓＡｍ，ｎ（ｘ，ｙ）ｂｅｔｗｅｅｎｎｏｎｚｅｒｏｖｅｃｔｏｒｓｘａｎｄｙｉｎＸｂｙＡｍ，ｎ（ｘ，ｙ）＝ｃｏｓ－１ｎｙｘｙｘｙ＋ｙｙｙｙｙ２－ｍｙｘｙｘｙ－ｙｙｙｙｙ２＋２（ｍ－ｎ）２（ｍ＋ｎ），ｈｅｒｅｍａｎｄｎａｒｅｔｗｏｎｏｎ－ｎｅｇｅｎｔｉｖｅｉｎｔｅ－ｇｅ…     

布尔矩阵半群中的缺断区间及应用

本文证明了阶为ｎ（ｎ≥７）的布尔矩阵的行空间维数的一个缺断区间为〔２＾ｎ－２＋２ｎ－３＋２＾ｎ－４＋２＾ｎ－５＋２＾ｎ－６＋１，２＾ｎ＋１－１〕。这一结论扩展了关于布尔矩阵半群缺断区间的几个已有结果。作为应用，得到了布尔矩阵半群中一类偏序集的高度的一个新的上界，此外，还得到了关于有限拓扑维数分布的几个新结果。     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Ｂｎ表示所有的ｎ阶布尔矩阵的集合，Ｒ（Ａ）表示Ａ∈Ｂｎ的行空间，｜Ｒ（Ａ）｜表示Ｒ（Ａ）的基数．设ｍ，ｎ为正整数，本文证明了（Ⅰ）ｍ∈［１，４６］，［１，７８］，分别存在Ａ∈Ｂ７，Ａ∈Ｂ８，使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ．（Ⅱ）当ｎ≥９为奇数时，则ｍ∈［１，２（ｎ＋３）／２＋２（ｎ＋１）／２＋…＋２３］，存在Ａ∈Ｂｎ，使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ．