如何求三项展开式的项

二项式定理一节中,常遇到求三项式(ａ ｂ ｃ)ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式的项.求解方法主要是转化为二项式利用二项式定理展开或用组合观点直接求解.例题　求(1 2ｘ-3ｘ2)6展开式中ｘ5的系数.解法1　(1 2ｘ-3ｘ2)6=[1 (2ｘ-3ｘ2)]6的一般项可写成Ｔｋ 1=Ｃｋ6(2ｘ-3ｘ2)ｋ,ｋ=0,1,2,…,6.又(2ｘ-3ｘ2)ｋ的一般项可写成Ｔｒ 1=Ｃｒｋ·(2ｘ)ｋ-ｒ·(-3ｘ2)ｒ=Ｃｒｋ·2ｋ-ｒ·(-3)ｒ·ｘｋ ｒ,ｒ=0,1,…,ｋ.所以原式展开式的一般项为Ｃｋ6Ｃｒｋ(-3)ｒ·2ｋ-ｒ·ｘｋ ｒ.欲求ｘ5的系数,则ｋ ｒ=5即ｋ=5-ｒ.∵ｒ≤ｋ,所以当ｋ值是5,4,3时,对应的ｒ=0,1…     

利用数列的前n项和求通项

<正>利用数列{a_n}的前n项和Sn求通项a_n是高中数学的一个重要知识,也是高考经常考查的内容之一,这一类问题本身涉及到的数列知识并不多,然而实际教学和考试中发现,同学们对于这个问题的掌握看似清楚,实则并没有把握问题的本质和细节,导致求解出错或思路受阻.本文拟对这一问题作一个简单的梳理和总结,希望对同学们有所启发和帮助.     

实现拆项与添项的四种策略

在利用基本不等式求最值时拆项、添项是务必要掌握的内容,本文着重来探讨求最值问题中的拆项、添项策略的实施。利用基本不等式求最值,必须满足三个前提条件,“一正二定三相等”,即：一正—字母为正数;二定—积或和为定值,当和为常数,积有最大值;当积为常数,和有最小值。有时需通过“配凑法”凑出定值;     

分组数列的通项与前n项和

在国内外的一些中学数学参考用书中,关于数列部分,已将分组数列作为研究的对象。因此,分组数列便成为中学数学中经常遇到的问题。本文探讨分组数列的两个基本问题——求通项与前n项和。     

通项等价的两个数项级数的收敛性

对于两个任意项级数,当其通项等价时,收敛性未必相同.从一些基本的收敛性结论得到判断通项等价的两个数项级数敛散性的几个实用性结果,并应用于多个例子.     

复合二项-负二项风险模型的研究

本文研究了一类复合二项-负二项风险模型,并对所建立的模型,利用鞅分析方法讨论了模型的调节系数,推导了保险公司在初始准备金为u条件下的最终破产概率ψ(u)的表达式和Lundberg不等式。     

高阶差等比数列的通项与前n项的和

通过对某一数列应用逐差法,使得若干阶差后得到一等比数列.该数列又称为高阶差等比数列.本文仅研究讨论高阶差等比数列的通项及前n项和的公式,并由该数列的特点得到规律性计算公式,从而解决了高阶差等比数列的通项及前n项求和问题.     

漂移项和扩散项具有时滞的股票期权定价

股票价格在漂移项和扩散项具有时滞,且股票在期权有效期内支付连续红利时,利用鞅表示定理和Girsanov定理得到了期权价格的闭式解.研究表明,股票价格在漂移项和扩散项具有时滞时,股票支付红利时对期权价格有一个调整.     

等差中项的妙用

<正>若a,b,c成等差数列,那么b叫a,c的等差中项.任何两个实数都有唯一的等差中项.由b-a=c-b有b=a+c/2,b=a+c/2是a,b,c三个数按这个顺序排列成等差数列的充要条件.这个貌不惊人的概念,在解题中往往能起到四两拨千斤的神奇效果.下面就此问题做一肤浅探讨,以期达到抛砖引玉.1.解数列问题     

数列中的奇偶项求通项与求和

<正>数列分奇偶项求通项和求和问题是高考常考的问题,例如2012年全国Ⅰ卷理科第16题,2014年全国Ⅰ卷理科第17题和2021年全国Ⅰ卷第17题都对此问题进行考查,这类问题由于涉及到分奇偶项讨论,解法多样,过程比较繁琐,同学们对此类问题普遍感到比较棘手,本文针对此类问题给出一般的求解思路.     

具梯度项及非线性非齐次项的∞-Laplace方程

本文研究?上规范化∞-Laplace方程的Dirichlet问题?_∞~Nu+a|Du|=f(x,u),u|??=g,其中??R~n是有界区域, a∈R, f∈C(?×R; R), g∈C(??),给出确保解存在的有关非齐次项f的充分条件.进一步,对一般的f,得到当区域?足够小时,解存在;当区域?足够大且f不变号时,除了可能的常数解外,不存在其他解.特别地,本文给出梯度项对解的存在与不存在性的本质影响.本文通过一些具体例子阐释上述结论,并且给出关于f(x, u)=-λu~p-δ情形Dirichlet问题正解存在性结果的清晰的完全刻画,其中涉及一个有关梯度项系数的"阈值".     

统一的裂项求和

倒序相加、错位相减、裂项求和、分组求和等方法是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法 .这些独具特点的方法 ,就单个而言 ,确实精巧 ,从整体来看 ,则显杂乱 ,无章可循 .因此 ,按传统方式教学 ,既降低了思想价值 ,也给学生的学习增加了困难 .能不能将这些单个方法统一起来 ?笔者认为 ,可以统一在裂项求和的框架内 .1　等差数列的前 n项和由 ( n 1 ) 2 - n2 =2 n 1 ,得 2 2 - 1 2 32 - 2 2 42 - 32 … n2 - ( n - 1 ) 2 =2 [1 2 3 … ( n - 1 ) ] ( n - 1 ) ,故1 2 3 … ( n - 1 ) =12 n( n - 1 ) .于是首项为 a1,…     

隔项等比数列的研究

隔项等比数列的例子几次在高考题中出现 ,探讨隔项等比数列的性质很有必要 .为了便于研究 ,先给出隔项等比数列的定义 .定义　如果数列 { an}满足关系 :a2 n+ 1a2 n-1=q1,a2 n+ 2a2 n=q2 (n=1,2 ,3,… ) ,其中 q1,q2均为非零常数 ,则称数列 { an}为隔项等比数列 .定理 1　隔项等比数列 { an}的通项公式是an=1+(- 1) n-12 a1qn-121+1+(- 1) n2 a2 qn-222 .证　当 n为奇数时 ,令 n=2 k- 1(n∈ N) k=n+12 ,则有a2 k-1=a1qk-11 an=a1qn+ 12 -11=a1qn-121(1)当 n为偶数时 ,令 n=2 k k=n2 ,则有a2 k=a2 qk-12 an=a2 qn2 -12 =a2 qn-222 (2 )综…     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题,一般地,可以通过给出数列的第一项(或前若干项),并给出数列的某一项(或前若干项)的关系式来表示数列,这种表示数列的方式叫做数列递推方式.与中学竞赛有关的递推数列通常有两类:an=f(an-1)(n=2,3,4,…)及一个初始项a1所确定的数列,叫一阶     

一类具有非局部项和临界项椭圆方程的正解

本文研究下列具有临界项的Kirchhoff型方程(a+b∫_R~3[|▽u|~2+V/(x)u~2]dx).[-△u+V(x)u]=μf(x,u)+K(x)u~5,x∈R~3,其中a,b,μ0,位势函数V,K满足一些恰当的条件,非线性项f满足超三次或超线性增长性条件.利用山路定理,得到三个存在性结果.     

二项展开式的任意项及其系数问题速解方法

二项展开式的指定项或指定项的系数是高中理科数学中的内容,在历年的高考题中占有重要的地位,题量一般是小题一个．笔者结合高考复习体会,在本文中例析速解二项展开式的任意项极其系数,进而帮助考生缩短做题的计算时间,并快速准确的拿分,     

形式各异的裂项相消

<正>数列求和问题因其综合性强、解法灵活等特征成为高考考查的重点.其中通项拆分的方法在高中数列求和中有着广泛的应用.通项拆分又称裂项相消法,是数列求和的常用方法之一,目的是先将通项分拆成两项之差,然后两两相消再求和.此法很好地考查考生分析问题、解决问题的能力.在历年来的高考和自主招生以及竞赛试题中多有触及,且形式各异.本文分类列举几题,与大家共赏.     

对二项展开式系数绝对值最大项问题的再思考

二项展开式系数绝对值最大项问题是困扰一线师生教学的难点,文[1]对这一内容进行了分析,给出的解法较为繁琐,本文从数列不等式恒成立的概念出发对这一类问题进行了再分析.     

具有惯性项和阻尼项的Cahn-Hilliard方程的整体吸引子

本文研究具有惯性项和阻尼项的亚三次非线性Cahn-Hilliard方程的初边值问题.在非线性弱正则的条件下,我们建立弱解的适定性,而不考虑非线性项的一阶导数的下界条件.接着利用弱解的渐近紧和能量解的严格Lyapunov函数的存在性,证明在空间(H~2(?)∩H_0~1(?))×L~2(?)上存在整体吸引子.     

求二项展开式中系数绝对值最大的项的一般方法

关于二项展开式中系数绝对值最大的项的求法可有如下结论: 设(ax by)~n(a,b为任意非零实数)展开式中第K 1项系数绝对值最大,