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一个轮换对称不等式的证明 总被引:3,自引:0,他引:3
文[1]中,证明了一个优美的三角形轮换对称不等式 ∑a2≥4△b2a2+c2b2+a2c2.(1)不等式(1)经变换等价于∑m2ah2a≥12(b2a2+c2b2+a2c2)+32.(2)其中a、b、c,ma、mb、mc,ha、hb、hc,△分别表示△ABC的三边长,中线,高及面积.本文将给出类似不等式(2)的一个结论.定理 在△ABC中有 ∑m2aa2≥34(b2a2+c2b2+a2c2).(3)证明 先将(3)式右边进行恒等变换可得 2(b2a2+c2b2+a2c2)=b2a2+c2b2+a2c2-a2b2-b2c2-c2a2+∑(c2b2+b2c2)=(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2.而 ∑4m2aa2=∑2b2+2c2-a2a2=2∑b2+c2a2-3,所以(3)式等价于 14(2∑b2+c2a2-3)≥38[(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2]上式化简整理∑b2+c2a2-6≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2 ∑a2(b-c)2 ≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2).(4)(4)式左... 相似文献
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<正>题目(2013年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.本刊5月下的参考答案同时采用了换元法和夹逼法,意境高,技巧性强.下面提供另两种常规解答,供学习参考.解法1由条件得(2a2+3c2)(2b2+3d2)=36,即4a2b2+6a2 d2+6b2c2+9c2 d2=36.由条件(ad-bc)2=6得a2 d2+b2c2-2abcd=6,∴6a2 d2+6b2c2=36+12abcd.∴4a2b2+12abcd+9c2 d2=0,∴(2ab+3cd)2=0,∴2ab=-3cd.再由条件得2(a2-b2)=-3(c2-d2),上面两式相乘得cd(a2-b2)=ab(c2-d2), 相似文献
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本刊1983年2期问题征解1说的是求解方程(x~2+y~2)~(1/2)+((2-x)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(2-y)~2)~(1/2)+((2-x)~2+(2-y)~2)~(1/2)=42~(1/2)。对此,我们讨论下列问题。问题一求下列各方程的实数解1. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-m)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-m)~2)~(1/2) +((x-m)~2+(y-m)~2)~(1/2)=2(2~(1/2))|m|;2. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-b)~2)~(1/2) +((x-a)~2+(y-b)~2)~(1/2)=2(a~2+b~2)~(1/2);3. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+ ((x-b)~2+(y-c)~2)~(1/2)+((x-a-c)~2+(y-c)~2)~(1/2) =((a-b)~2+c~2)~(1/2)+((a+b)~2+c~2)~(1/2)(m、a、b、c均为非零常数,且a(?)b) 不难发现方程左边表示几个距离的和,这就 相似文献
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对三角形三边定理的异议 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]对△ABC的恒等式cos2 A cos2 B cos2 C 2cosA·cosB·cosC =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2a2 (a2 b2 -c2 ) (c2 a2 -b2 )(a2 b2 -c2 ) -2b2 (b2 c2 -a2 )(c2 a2 -b2 ) (b2 c2 -a2 ) -2c2=0( )即 f(a ,b ,c) =0 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2a2 (a2 b2 -c2 ) (c2 a2 -b2 )(a2 b2 -c2 ) -2b2 (b2 c2 -a2 )(c2 a2 -… 相似文献
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题 1 若α、β、γ均为锐角 ,且满足cos2 α+cos2 β +cos2 γ=1.求证 :ctg2 α +ctg2 β+ctg2 γ≥ 32 .证明 如图 1,设以a、b、c为三度的长方体ABCD A1 B1 C1 D1 的对角线AC1 与三条棱AD、AB、AA1 所成角分别为α、β、γ ,则 ctgα=ADDC1=ab2 +c2 ,ctgβ=ABBC1 =ba2 +c2 , ctgγ=AA1 A1 C1=ca2 +b2 ,∴ ctg2 α +ctg2 β+ctg2 γ =a2b2 +c2 +b2a2 +c2 +c2a2 +b2 =a2 +b2 +c2b2 +c2 +a2 +b2 +c2a2 +c2 +a2 +b2 +c2a2 +b2 -3 =(a2 +b2 +c2 ) ( 1b2 +c2 +1a2 +c2 +1a2 +b2 ) -3 =12 [(b2 +c2 ) +(a2 +c2 ) +(a2 +b2 ) ]&;#183;( 1b2 +c2 +1a2 +c2 +1a2 +b2 ) -3 ≥ 12 [(b2 +c2 )&;#183; 1b2 +c2 +(a2 +c2 )&;#183; 1a2 +c2 +(a2 +b2 )&;#183; 1a... 相似文献
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《中学生数学》2021,(24)
<正>1趣味换数将下述汉字换成从小到大、且在30以内的自然数,建立等式.(1)祝2+贺2+贺2+本2+本2+刊2+刊2+出2+出2+版2+版2+六2+六2+百2+百2+七2+七2+十2+十2+期2+期2=2021.(2)本2=2021.(2)本2+刊2+刊2+是2+是2+学2+学2+习2+习2+数2+数2+学2+学2+的2+的2+好2+好2+帮2+帮2+手2+手2=2021.(3)迎2=2021.(3)迎2+接2+接2+二2+二2+零2+零2+二2+二2+二2+二2+年2+年2=2022.(4)贵2=2022.(4)贵2+刊2+刊2+月2+月2+月2+月2+佳2+佳2+文2+文2+见2+见2=2022. 相似文献
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《中学生数学》2020,(12)
<正>1趣换数字将下述汉字换成从小到大,且在30以内的自然数,建立等式:(1)儿2+童2+童2+是2+是2+祖2+祖2+国2+国2+的2+的2+未2+未2+来2+来2=2020;(2)呵2=2020;(2)呵2+护2+护2+儿2+儿2+童2+童2+健2+健2+康2+康2+成2+成2+长2+长2=2020;(3)打2=2020;(3)打2+好2+好2+数2+数2+学2+学2+基2+基2+础2+础2+提2+提2+高2+高2+能2+能2+力2+力2=2020;(4)扩2=2020;(4)扩2+宽2+宽2+知2+知2+识2+识2+领2+领2+域2+域2+增2+增2+强2+强2+素2+素2+质2+质2=2020.(安徽省淮南三中(232007)王秉春) 相似文献