有限位移理论线弹性力学二类和三类混合变量的变分原理及其应用

提出了有限位移理论线弹性力学二类混合变量和三类混合变量的变分原理.考虑已知边界条件的变化并应用有限位移理论的功的互等定理,在导出上述两类变分原理的过程中起到了关键作用和桥梁作用.首先,考虑已知位移边界条件的变化和应用功的互等定理,导出了二类混合变量的最小势能原理.用类似的方法,导出了二类混合变量的驻值余能原理.应用应变能密度和应力余能密度的关系式于上述两个变分原理,得到三类混合变量的变分原理.然后,给出了二类和三类混合变量的虚功原理和虚余功原理.同时,应用拉氏乘子法导出了广义变分原理.以一个算例说明了在某些情况下拉氏乘子法会失效,介绍了构成广义变分原理泛函的半逆法.最后,应用二类混合变量最小势能原理计算了一大挠度悬臂梁的弯曲.     

对弹性理论中临界变分状态的一个注记

(t) 最近钱伟长教授指出[1],在某些情况下,用普通的拉氏乘子法,其待定的拉氏乘子在变分中恒等于零,这称为临界变分状态,在这种临界状态中,我们无法用待定拉氏乘子法把变分的约束条件吸收入泛函,从而解除这个约束条件.例如用拉氏乘子法,从最小余能原理只能导出Hellinger-Reissner变分原理,这个原理中只有应力和位移两类独立变量,而应力应变关系仍然是变分的约束条件.为了消除这个约束条件,钱伟长教授提出了高次拉氏乘子法,即在泛函中引入二次项
A_ifk1(e_ij-b_iimnσmn)(e_ki-b_k1pqσ_pq)
来消除应力应变这个约束条件. 本文目的是要证明,如果在泛函中引入如下二次项
A_ifk1(e_ij-b_iimnσ_mn)(e_ki-1/2u_k2-1/2u_1:k)
我们也可以用高次拉氏乘子法解除应力应变这个变分约束条件.用这种方法,我们不仅可以从Hel-linger-Reissner原理的基础上,找到更一般的广义变分原理.在特殊情况下,这个更一般的广义变分原理,可以还原为各种已知的弹性理论变分原理.同样,我们也可以从Hu-Washizu(胡海昌-鹫津久一郎)[4,5]变分原理,用高次拉氏乘子法,求得比该原理更一般的广义变分原理.     

高阶拉氏乘子法和弹性理论中更一般的广义变分原理

作者曾指出[1],弹性理论的最小位能原理和最小余能原理都是有约束条件限制下的变分原理采用拉格朗日乘子法,我们可以把这些约束条件乘上待定的拉氏乘子,计入有关变分原理的泛函内,从而将这些有约束条件的极值变分原理,化为无条件的驻值变分原理.如果把这些待定拉氏乘子和原来的变量都看作是独立变量而进行变分,则从有关泛函的驻值条件就可以求得这些拉氏乘子用原有物理变量表示的表达式.把这些表达式代入待定的拉氏乘子中,即可求所谓广义变分原理的驻值变分泛函.但是某些情况下,待定的拉氏乘子在变分中证明恒等于零.这是一种临界的变分状态.在这种临界状态中,我们无法用待定拉氏乘子法把变分约束条件吸收入泛函,从而解除这个约束条件.从最小余能原理出发,利用待定拉氏乘子法,企图把应力应变关系这个约束条件吸收入有关泛函时,就发生这种临界状态,用拉氏乘子法,从余能原理只能导出Hellinger-Reissner变分原理[2],[3],这个原理中只有应力和位移两类独立变量,而应力应变关系则仍是变分约束条件,人们利用这个条件,从变分求得的应力中求应变.所以Hellinger-Reissner变分原理仍是一种有条件的变分原理.     

有限位移理论线弹性动力学二类和三类混合变量的最小势作用量原理和驻值余作用量原理及其应用

两个新的概念,即势作用量的概念和余作用量的概念被引入弹性动力学变分原理中.根据势作用量的概念,最小作用量原理（即Hamilton原理）被改称为最小势作用量原理.根据余作用量的概念,首次提出了驻值余作用量原理.考虑边界条件的变化并应用有限位移理论的功的互等定理,导出了以位移和应力为变分变量的二类混合变量的最小势作用量原理及驻值余作用量原理.应用应变势能密度与应力余能密度的关系式于上述二类混合变量作用量原理,导出了以位移、应力和应变为变分变量的三类混合变量的相关作用量原理.最后,应用拉氏乘子法给出了广义势作用量原理及广义余作用量原理,并且应用大挠度梁二类混合变量最小势作用量原理计算了一悬臂梁的受迫振动.     

关于弹性力学广义变分原理的等价性定理的研究

利用场论中的不变性原理研究弹性力学广义变分原理的等价性定理,主要目的是研究弹性力学广义变分原理之间的关系;根据弹性力学广义变分原理的泛函在无穷小标度变换下的不变性,证明了这些泛函之间的等价性定理．如果这些泛函具有无穷小标度变换下的不变性,那么只有两类变量是独立的, 应力应变关系是这些泛函必须满足的变分约束条件．所得到的结果再一次证明了钱伟长教授关于所有的弹性力学广义变分原理都是等价的结论．     

大变形非线性弹性力学的广义变分原理

本文导出了大变形非线性弹性力学的两个具有σ_ij,e_ij,和u_i三类独立变量的广义变分原理,证明了当应力应变关系为约束条件时这两个广义变分原理是等价的.文中对某些特例也作了阐明.     

对合变换和薄板弯曲问题的多变量变分原理

本文利用拉氏乘子法把薄板弯曲问题的最小位能原理和最小余能原理的变分约束条件解除.从而导出了常见的广义变分原理.为了降低泛函中变量导数的阶次.我们用对合变换引进新的正则变量.于是,我们可以进一步利用拉氏乘子法,把这些对合变换当作变分约束而予以消除,从而导出了各种多变量的薄板弯曲广义变分原理.事实证明,使用上述拉氏乘子法,并不能消除一切变分约束;为此,我们进一步引用高阶拉氏乘子法消除这些剩下来的约束条件,从而导得了薄板弯曲问题的更一般的广义变分原理.     

钱氏定理在有限变形极矩弹性力学广义变分原理的应用

应用Lagrange乘子法和钱伟长证明的两类广义变分原理的等价定理,在本文中导出有限变形极矩弹性力学的广义变分原理.文中采用了在拖带坐标系描述法建立的有限变形应变张量(称为Biot有限变形应变定义的准确形式)和应变速率定义与拖带系应力张量构成完整的数学描述.     

广义变分原理在非线性结构分析中的应用

本文讨论在结构力学中用拉格朗日乘子法建立的广义变分原理以分析非线性超静定结构。我们假定结构的材料关于应力-应变的关系具有σ=Bε1/m或τ=Cγ1/m的形式,即结构的物理方程具有幂函数的形式。文中举出几个超静定结构的例子,例如桁架、梁、刚架和扭杆。     

改进的拉氏乘子法和多变量广义变分原理

拉氏乘子法是构造广义变分原理的重要途径 ,在识别拉氏乘子时 ,拉氏乘子是独立变分的 ,而识别后 ,它却是其他变量的函数 ,这是产生临界变分的原因 .本文对拉氏乘子法作了改进 ,提出了一种新的理论——凑合反推法 ,应用该方法可以方便地构造多变量的广义变分原理 ,并且不会出现临界变分现象     

大位移非线性弹性理论的变分原理和广义变分原理

在前文中[1],作者首次提出了大位移非线性弹性力学的位能原理和余能原理,以及各种完全的和不完全的广义变分原理.但在约束条件和欧拉条件上,证明和叙述都不很明确,有时甚至把原来应该是欧拉方程的误认为是约束条件,如余能驻值原理中,应力位移关系原应是欧拉方程,但把它当作了变分约束条件.这就是说:我们把余能驻值原理约束得超过了必要的要求.还有,在所有变分原理中,应力应变关系式都是不参加变分的约束条件,亦即,他们是从已定应力导出应变或从已定应变导出应力的约束条件.这一点,在文[1](1979)中,并未明确指出.本文并将用高阶拉氏乘子法,导出更一般的广义变分原理(1983)[2].本文使用V.V.Novozhilov的有关非线性弹性力学的成果(1958)[3].     

考虑横向剪切变形时圆截面悬臂梁的广义变分原理

本文通过二类变量广义变分原理导出了考虑横向剪切变形时圆截面等直悬臂梁的近似理论,给出了对应于该理论的具有两个广义位移的二类变量广义余能的算式.     

一类指定应力问题的变分原理与应用

针对有限元分析中对应力或内力有指定条件的问题,引入非弹性应变作为实现指定应力条件的附加未知量,在小变形条件下描述了指定应力条件应当满足的弹性力学控制方程;以位移和未知非弹性应变作为独立变量建立了具有指定应力条件问题的势能变分原理和虚功方程;以位移、弹性应变、未知非弹性应变和应力为独立变量,建立了一个含四类变量的广义变分原理.在基于变分原理得到的桁架单元和梁单元平衡方程中,指定轴力和需要的调整量以对偶形式出现,可实现调整量已知情况下的常规受力分析,又可在轴力指定条件下获得需要的调整量;同时考虑了材料刚度和内力对结构的影响,改进了目前预应力筋模拟的等效荷载法和实体力筋法,还可用于拉索结构的索力优化和调整算法.通过拉索结构位移优化和索力调整的数值算例,验证了该文理论与算法的可行性及精度.     

大变形对称弹性理论的广义变分原理

本文以陈至达提出的变形几何非线性理论￣［１］为基础，应用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法，对大变形对称弹性力学问题进行了研究，给出了相应的位能广义变分原理、余能广义变分原理，以及动力学问题的广义变分原理；同时，文中还证明了位能广义变分原理和余能广义变分原理的等价性。     

非线性弹性体的弹性动力学变分原理

本文根据文献[1],对非线性应力应变关系的弹性体,导出了弹性动力学问题的变分原理和广义变分原理,提出了混合位移协调元和混合应力协调元的瞬时广义变分原理.     

非牛顿流体力学变分原理

本文将钱伟长教授在文献[1]中提出的不可压缩粘性流的最大功率消耗原理进一步推广到本构方程为ε_ij=?τ/?σ'_ij的非牛顿流体流动问题,并采用识别的拉氏乘子法解除变分约束条件,导出其广义变分原理。     

应用Lagrange乘子法推导一般力学中的广义变分原理 *

应用对合变换建立了两类变量的经典变分原理———Hamilton原理 .灵活应用Lagrange乘子法 ,建立了完整系统和非完整系统的两类变量的广义变分原理和带有附加条件的广义变分原理 .推导了各类变分原理的驻值条件.     

再论Hellinger-Reissner原理与Hu-Washizu原理之等价性

阐述了Hu-Washizu变分原理实际上是一个赝广义变分原理,即虽然其驻值条件满足所有的场方程及边界条件,但它存在某种约束.为了清楚说明问题,本文构造一些新的赝广义变分原理,用逆拉氏乘子法可以清楚地看出其约束关系,并进一步证明了Hu-Washizu变分原理和Helinger-Reisner变分原理之等价定理.     

光测弹性理论中的耦联变分原理和广义耦联变分原理

在本文中,应用拉格朗日乘子法和高阶拉格朗日乘子法[1],我们系统地导出了光测弹性理论中的耦联势能原理,耦联余能原理和具有二类和三类变量的广义耦联势能原理和广义相联余能原理。     

弹性理论中各种变分原理的分类

本文按弹性理论中各种变分原理的约束条件的不同,对所有变分原理进行分类.我们在前文中业已指出,应力应变关系这样的约束条件是不能用拉氏乘子法解除的.剩下的可能约束条件共有四种:(1)平衡方程,(2)应变位移关系,(3)边界外力已知的边界条件,和(4)边界位移已知的边界条件.弹性理论的各种变分原理中,有的只有一种约束条件,有的有两种或三种,最多只能有四种约束条件.这样一共可能有15种变分原理,但是每种变分原理既可以用应变能A表示,又可以用余能B表示.这样,我们一共应有30种形式完全不同的变分原理,我们全部列出了这三十种形式的变分原理.