数学问题解答

数学问题解答１９９６年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２６设Ｐ为△ＡＢＣ内一点，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ的延长线交面△ＡＢＣ的三边于Ｄ，Ｅ，Ｆ．若Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ，则Ｐ为△ＡＢＣ的重心证明不妨设Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ＝...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）９２６在△ＡＢＣ中，试证：证明如图，设面△ＡＢＣ的内切圆分别切ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＡＦ＝ｘ，ＢＤ＝ｙ，ＣＥ＝ｚ，△ＡＢＣ内切圆半径为ｒ．由海伦公式，易得可得ｘ＋ｙ＋ｚ将（２）代入...     

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数学问题解答１９９７年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０７６求证：ｔｇ４２０°－４３ｔｇ３２０°＋６ｔｇ２０°＋４３ｔｇ２０°＝３证明如图所示△ＡＢＣ，∠Ｃ＝π２，∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝１，∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＤ＝∠ＤＢＣ则ｔｇ２０°＝ＤＣ，ｔ...     

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数学问题解答１９９４年５月号问题解答（解答由问题提供人给出）８９１在△ＡＢＣ中，求证：证明当ＡＡＢＣ为锐角三角形时，同理故当△ＡＢＣ为直角或钝角三角形时，命题显然成立．８９２设正项数列扣｛ａｎ｝满足ａｎ·ａｎ＋２－试证：证明１）当ｎ＝１时，由题设可知...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１１设点Ｍ是△ＡＢＣ的ＢＣ边的中点，Ｏ是内切圆的中心，ＡＨ是高，Ｅ为直线ＯＭ和ＡＨ的交点，求证：ＡＥ等于内切圆半径ｒ．证明如图，设Ｐ为内切圆与边ＢＣ的切点．连ＯＰ．设ＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、Ａ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年５月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０１１设△ＡＢＣ的中线ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ相交于Ｇ，Ｓ为△ＡＢＣ面积，则证明∵ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ是△ＡＢＣ的中那么又１０１２若ｘ２＋ｙ２＝２５，求函数的最大值．四把Ｚ改写为Ｚ一人二百Ｒ下了不十人...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

数学问题解答

１９９８年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１３６设Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α（即α为勃罗卡角），则∠Ｂ＝∠Ｃ的充分必要条件为ｓｉｎα＝ｓｉｎＡ５－４ｃｏｓＡ证明必要性的证明参见《数学通报》１９９８年第２期问题１１１...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０８６Ｐ是正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱ＢＢ１所在直线上的一点，试比较∠ＡＣ１Ｐ与∠ＡＣＢ的大小．解如图记∠ＡＣ１Ｐ＝α，∠ＰＣ１Ｃ＝β，显然∠ＡＣＢ是二面角Ａ－ＣＣ１－Ｂ的平面角，...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）８７１已知，求证：证明由平均不等式可知解因为数列的通项将（３）式减去（２）式得将上式代入（１）式得８７３四面体ＡＢＣＤ棱长ＤＡ＝ＢＣ＝ａ；ＤＢ＝ＣＡ＝ｂ，ＤＣ＝ＡＢ＝ｃ；求其体积Ｖ，外接球半...     

勾股定理的又一简短证明

文〔１〕、〔２〕分别给出了勾股定理的两个简短证明,下面再给出一个简短证明：如图,Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０°,设其内切圆半径为ｒ,则２ｒ＝（ＢＣ－ＢＤ）＋（ＡＣ－ＡＦ）＝ＢＣ＋ＡＣ－（ＢＤ＋ＡＦ）＝ＢＣ＋ＡＣ－ＡＢ∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｒ·ａ＋１２ｒ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）ＩＯＯ６在等腰凸ＡＢＣ中，顶角Ｂ—２０”，在边ＢＣ，ＡＢ上分别取点Ｄ，Ｅ，有ＺＤＡＣ＝６０“，ＺＡＣＥ＝５０”，求ＺＡＤＥ．一解设／＊＊Ｅ一。，则易知：凸ＡＤＥ面积凸ＢＤＥ面积凸＊＊Ｅ面积Ａ...     

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法四川师大翁凯庆一、基础知识１、三角形面积公式设△ＡＢＣ的三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，其上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，半周长为ｐ，面积为Ｓ△ＡＢＣ，则（１）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｈａ＝１２ｂｈｂ＝１２ｃｈｃ；（２）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０８１有四个城市处在正方形的四个顶点，求一种方案（或一种网络）联通这些城市，使路程最短．解引理：任意三角形内一点Ｏ，当且仅当∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝１２０°时ＡＯ＋ＢＯ＋ＣＯ达最小．...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）１００１已知ΔＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ．试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１．证明容易知道在ΔＡＢＣ中成立：（其中ａ，ｂ，ｃ是ΔＡＢＣ的三边长）ａ＝ｂ...     

1999年一道初中联赛题成立的充要条件

１９９９年全国初中数学联合竞赛第一试第２道题是：△ＡＢＣ的周长是２４，Ｍ是ＡＢ的中点，且ＭＣ＝ＭＡ＝５，则△ＡＢＣ的面积是（）．（Ａ）１２（Ｂ）１６（Ｃ）２４（Ｄ）３０解∵ＭＡ＝ＭＢ＝ＭＣ＝５，∴∠ＡＣＢ＝９０°．已知周长是２４，则ＡＣ＋ＢＣ＝１４，...     

解直角三角形教与学研究

第一课　正弦和余弦（一）一、启发提问１．如图６－１,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝３０°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ｃ＝２ａ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．图６－１　　　　　　　图６－２　　２．如图６－２,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝４５°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ａ＝ｂ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．３．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中：∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°．（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′,那么：ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′成立吗？（２）如果ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′,那么：∠Ａ＝∠Ａ′…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

一个几何不等式的加强

一个几何不等式的加强周才凯（湖南省炎陵县一中４１２５００）文［１］给出了如下不等式：设△ＡＢＣ的三条边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，的平分线长分别为ｔａ，ｔｂ，ｔｃ．若其外接圆半径和内切圆半径分别为Ｒ，ｒ，则在△ＡＢＣ中，如我们用ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别表示边Ｂ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０４６求所有这样的△ＡＢＣ，它的三个边长ａ，ｂ，ｃ与面积Ｓ的数值恰好组成一组从小到大排列的连续自然数．解不妨设ａ＝ｎ－１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ＋１，ｓ＝ｎ＋２，这里ｎ＞１，ｎ∈Ｎ．将ａ，ｂ，ｃ...