平面电磁弹性固体的辛对偶体系

从电磁弹性固体广义变分原理出发,将平面电磁弹性固体问题导入Hamilton体系．于是在由原变量——位移、电势和磁势以及它们的对偶变量——纵向应力、电位移和磁感应强度组成的辛几何空间,形成有效的分离变量及辛本征函数向量展开解法．求解出辛本征问题中特殊的零本征值所有本征解及其Jordan型本征解,并给出其具体的物理意义．最后求出在矩形域的两侧作用均布载荷、常电位移和常磁感应强度时的非齐次特解．     

两种材料组成的弹性楔的佯谬解

从Hellinger-Reissner变分原理出发,通过引入适当的变换可以将两种材料组成的弹性楔问题导入极坐标哈密顿体系,从而可以在由原变量和其对偶变量组成的辛几何空间,利用分离变量法和辛本征向量展开法求解该问题的解。在极坐标哈密顿体系下的所有辛本征值中,本征值-1是一个特殊的本征值。一般情况下本征值-1为单本征值,求解其对应的基本本征函数向量就直接给出了顶端受有集中力偶的经典弹性力学解。但当两种材料的顶角和弹性模量满足特殊关系时,本征值-1成为重本征值,同时经典弹性力学解的应力分量变成无穷大,即出现佯谬。此时重本征值-1存在约当型本征解,通过对该特殊约当型本征解的直接求解就给出了两种材料组成的弹性楔顶端受有集中力偶的佯谬问题的解。结果进一步表明经典弹性力学中弹性楔的佯谬解对应的就是极坐标哈密顿体系的约当型解。     

大型不正定陀螺系统本征值问题

陀螺动力系统可以导入哈密顿辛几何体系,在哈密顿陀螺系统的辛子空间迭代法的基础上提出了一种能够有效计算大型不正定哈密顿函数的陀螺系统本征值问题的算法．利用陀螺矩阵既为哈密顿矩阵而本征值又是纯虚数或零的特点,将对应哈密顿函数为负的本征值分离开来,构造出对应哈密顿函数全为正的本征值问题,利用陀螺系统的辛子空间迭代法计算出正定哈密顿矩阵的本征值,从而解决了大型不正定陀螺系统的本征值问题,算例证明,本征解收敛得很快．     

Hamilton体系辛半解析法及在非均匀电磁波导中的应用

力学中的Hamilton体系需用对偶变量来描述,而电磁场正好有电场和磁场这一对对偶变量．尝试将力学中的Hamilton体系理论应用于电磁波导的分析,以横向电场和磁场作为对偶变量,将电磁波导的基本方程导向辛几何的形式．基于Hamilton变分原理, 导出横向离散的半解析系统方程, 保持体系的辛结构．以非均匀波导为例, 求解了方程的辛本征值问题, 计算结果与解析解相当吻合．     

二维矩形域内Stokes流问题的辛解析和数值方法

给出了一种新的解析求解二维矩形域中的Stokes流动问题的方法——辛体系方法（Hamilton体系方法）．在辛体系下,基本问题归结为本征值和本征解的问题．由于辛本征解之间存在辛正交共轭关系,问题的解和边界条件均可以由本征解描述和表示．利用辛本征解空间的完备性,建立一套封闭的求解问题方法．研究结果表明零本征值本征解描述了基本流动,而非零本征值本征解则表示问题的局部效应．数值结果给出了几种有代表性的流动情况,显示了该求解方法对求解许多问题的有效性．同时,这种方法也为研究其他问题提供了一条思路．     

二维弹性平面问题中任意边界条件下应力分布的封闭解

应用辛方法研究了正交各向异性二维平面（x,z）弹性问题,在任意边界和不考虑梁假设条件下的解析应力分布解．辛方法通过将位移和应力作为对偶量推导得到一组辛的偏微分方程组,并且应用变量分离法对方程组进行了求解．同动力学中的问题比较,将弹性问题中的x轴模拟成时间轴,这样z轴成为唯一一个独立的坐标轴．问题中的Hamilton矩阵的指数展开具有辛的特征．在齐次问题求解中,通过边界条件和边界上的积分求得级数中的未知数．齐次解中包括减阶的零特征值的特征向量（零本征向量）和完好的非零本征值的特征向量（非零本征向量）．零本征值的Jordan链给出了经典的Saint Venant解,反映了平均的整体行为像刚体位移、刚体旋转和弯曲等．另外,非零本征向量反映的是指数衰减的局部解,它们通常在Saint Venant原理下被忽略．文中给出了完整的算例,并且和已有结果进行了对比．     

弹性地基上四边自由矩形薄板的解析解

将弹性地基用Winkler模型来代替,并首先把弹性地基上薄板弯曲问题的控制方程表示成为Hamilton正则方程,然后利用辛几何方法对全状态相变量进行分离变量,求出其本征值后,再按本征函数展开的方法求出弹性地基上四边自由矩形薄板的解析解．由于在求解过程中不需要事先人为的选取挠度函数,而是从弹性地基上薄板弯曲的基本方程出发,直接利用数学的方法求出可以满足四边自由边界条件的解析解,使得问题的求解更加理论化．还给出了计算实例来验证所采用的方法以及所推导出的公式的正确性．     

Reissner夹层板动力学的非传统Hamilton型变分原理

根据古典阴阳互补和现代对偶互补的基本思想,通过早已提出的一条简单而统一的新途径,系统地建立了Reissner夹层板动力学的各类非传统Hamilton型变分原理．这种新的非传统Hamilton型变分原理能反映这种动力学初值-边值问题的全部特征．文中首先给出一个Reissner夹层板广义虚功原理的表式．然后从该式出发,不仅能得到Reissner夹层板动力学的虚功原理,而且通过所给出的一系列广义Legendre变换, 还能系统地成对导出五类变量、 二类变量和一类变量非传统Hamilton型变分原理的互补泛函．同时,通过这条新途径还能清楚地阐明这些原理的内在联系．     

双功能梯度纳米梁系统振动分析的辛方法

在辛力学与非局部Timoshenko(铁木辛柯)梁理论的基础上,针对黏弹性介质中的双功能梯度纳米梁系统的自由振动问题,提出了一种全新的解析求解方法.在Hamilton(哈密顿)体系下,位移与广义剪力、转角与广义弯矩互为对偶变量.以对偶变量为基本未知量,Lagrange(拉格朗日)体系下的高阶偏微分控制方程简化为一系列常微分方程.该纳米梁系统的振动问题归结为辛空间下的本征问题,解析频率方程和振动模态可以通过辛本征解和边界条件直接获得.数值结果验证了该方法的正确性与有效性,并针对纳米梁系统的小尺度效应、纳米梁间的相互作用以及黏弹性地基的影响进行了系统的参数分析.     

基于辛对偶体系的层合板自由边缘效应的分析解

在原变量——位移和其对偶变量——应力组成的辛几何空间,建立了Pipes-Pagano模型的复合材料层合板问题的辛对偶求解体系．与传统的单类变量不同,辛对偶变量有利于同时描述层间位移连续性条件和应力平衡条件．进入辛对偶体系以后,就可以应用辛对偶体系的统一解析求解方法,如分离变量和辛本征展开的方法对层合板问题进行解析分析和求解．对层合板自由边缘效应的分析求解,验证了辛对偶体系的方法对层合板问题的分析求解是十分有效的．     

Hamilton体系与与弹性力学Saint－Venant问题

本文一改传统的在Ｌａｇｒａｎｇｅ体系欧几里德空间中用半道法讨论Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ问题的方法，而在具有守恒性的Ｈａｍｉｌｔｏｎ体系中辛空间里研究该问题．通过讨论Ｈａｍｉｌｔｏｎ算子矩阵的零本征值及其Ｊｏｒｄａｎ型，直接求解出全部Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ问题的解．     

ADirect Method for the Problem of the Solid Cylinder in Elasticity

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｈｅＳａｉｎｔＶｅｎａｎｔｐｒｏｐｏｓｅｄｔｈｅｆａｍｏｕｓｓｅｍｉ－ｉｎｖｅｒｓｅｓｏｌｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ［１］，ｔｈａｔｓｏｍｅａｐｐｒｏ－ｐｒｉａｔｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｈｏｕｌｄｂｅｍａｄｅｂｅｆｏｒｅｈａｎｄｔｏｆｉｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｆｔｅｒ－ｗａｒｄｓｃｈｅｃｋｉｎｇｔｈｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓｂｅｉｎｇｖａｌｉｄ．Ｔｈｅｒｅａｆｔｅｒ，ｔｈｅｓｅｍｉ－ｉｎｖｅｒｓｅｓｏｌｕｔｉｏｎｂｅｃｏｍｅｓｔ…     

吸湿老化影响下天然纤维增强复合圆柱壳屈曲分析的辛方法

针对一类天然纤维增强复合(natural fiber reinforced composite, NFRC)圆柱壳的屈曲问题展开研究,基于Reissner壳体理论和辛方法,建立了轴压NFRC圆柱壳在Hamilton体系下的屈曲控制方程。将原问题归结为辛空间下的辛本征问题,通过求解辛本征值和本征解可以直接获得高精度的临界载荷和解析的屈曲模态。数值算例分析了NFRC材料的吸湿老化过程对辛本征解表达式的影响,并详细讨论了老化时间、纤维含量和几何参数对NFRC圆柱壳屈曲行为的影响。     

Stokes Flow in Cylindrical Containers With Rotating Ends北大核心CSCD

该文以端部旋转的圆柱形容器内的Stokes流为研究对象,根据流动的特点,将轴向坐标模拟为时间,则问题归结为Hamilton对偶方程的本征值和本征解问题.利用本征解空间的完备性和本征解之间的共轭辛正交关系,给出了问题解的展开形式,并建立了展开系数的数值求解方法.采用该方法研究了单端旋转、两端以相同或相反角速度旋转时不同外形比(容器的高度与半径之比)时圆柱形容器内流动速度和应力的分布情况,展示了不同边界条件下流场的一些特点.     

Method of separation of variables and Hamiltonian system

In the theory of mechanics and/or mathematical physics problems in a prismatic domain, the method of separation of variables ususally leads to the Sturm–Liouville-type eigenproblems of self-adjoint operators, and then the eigenfunction expansion method can be used in equation solving. However, a number of important application problems cannot lead to self-adjoint operator for the transverse coordinate. From the minimum potential energy variational principle, by selection of the state and its dual variables, the generalized variational principle is deduced. Then, based on the analogy between the theory of structural mechanics and optimal control, the present article leads the problem to the Hamiltonian system. The finite-dimensional theory for the Hamiltonian system is extended to the corresponding theory of the Hamiltonian operator matrix and adjoint symplectic spaces. The adjoint symplectic orthonormality relation is proved for the whole state eigenfunction vectors, and then the expansion of an arbitrary whole state function vector by the eigenfunction vectors is established. Thus the range of classical method of separation of variables is considerably extended. The eigenproblem derived from a plate bending problem in a strip domain is used for illustration. © 1993 John Wiley & Sons, Inc.