浅谈一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用 1 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的根的判别式为△ =b2 -4ac,它与这个方程的根有着十分紧密的关系 .具体如下 :( 1 )△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3 )△ <0 方程没…     

一元二次方程根与系数的关系及应用

在义务教育课程标准实验教科书九年级上册 (华东师大版 )第 2 2章《实践与探索》一节中 ,我们得到一个很重要的结论 ,即一元二次方程根与系数的关系 :如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的两根是x1,x2 ,那么有x1+x2 =-ba ,x1·x2 =ca .这实际上就是著名的“韦达定理” .运用这个定理 ,在不解方程的情况下 ,可以解决许多与一元二次方程的根有关的问题 .一、已知一根求另一根及求未知系数例 1　已知方程x2 -6x +m =0的一个根是 5 ,求另一个根及m的值 .解 :设方程的另一个根为x1,根据根与系数的关系得x1+5 =6.得x1=1 .又∵x1·5 =m ,∴m =5 …     

一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用一 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根的判别式为△ =ｂ2 - 4ａｃ,它与这个方程的根有着十分密切的关系 :( 1)△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 .( 3)△ <0 方程…     

建立一类特殊方程的矩阵方法

应用有关一元二次方程的韦达定理,可以解决这样的问题:已知一个一元二次方程,不解这个方程,求作另一个一元二次方程,使它的根与原方程的根有某些特殊关系,例如,使它的根是原方程各根的相反数、K倍、平方、立方、倒数等等。在解题过程中,往往需要将关于原方程的根是对称的一些代数式表示成为原方程系数的新代数式,而其中的计算量是较大的,并且如果所要求的特殊关系复杂,或者方程的次数较大时,计算则更繁。本     

解题·观察·猜想·证明·应用

初中《代数》第三册P119,习题七第6题:利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的根分别是方程2x~2十3x-1=0的各根的①相反数;②倒数;③k倍(为本文之需要,将原题中的“平方”改为“k倍”)。这类题目,同学们一定做了很多。但做完后可曾观察过所求方程和原方程在系数上有何联系,即有无规律可循。下面让我们一起来剖析探讨这个问题: ①、相反数解题按常规解法所求得的新方程为: 2x~2-3x-1==0 (解法略) 现察比较2x~2+3x-1=0和2x~2-3x-1=0。猜想若所求作的方程的两根分别是原方程两根的相反数时,则所求作的方程就是把原方程的一次项系数变号后所得的方程。证明设原方程为ax~2+bx+c=0(a≠0),且两     

我解大系数一元二次方程的一点心得

在一元二次方程中,我发现“不解方程,求作一个新方程使各根是原方程各根的k倍的新方程与原方程间的系数有一定的关系.”例如:不解方程x2+11x+12=0,求作一个新方程使其各根分别为原方程各根的3倍.解的结果为x2+33x+108=0,即为x2+3×11x+32×12=0.经反复验证是正确的.证明如下:设方程x2+bx+c=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2=-b,x1x2=c.∴kx1+kx2=     

根的判别式教与学的尝试

一元二次方程根的判别式是人教版第十二章第三节的知识内容 ,这些知识比较重要 ,它既可以根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 ,还可以利用这些知识来研究一元二次函数、一元二次不等式 .特别是各年中招考试命题中 ,这些知识占有一定的比重 .因此 ,笔者就此谈一些肤浅的看法 ,以期求教同行 .一、不解方程 ,判断方程的根的情况△ =b2 - 4ac称为一元二次方程ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )的根的判别式 ,根的判别式与根的个数的关系是 :( 1)△ =b2 - 4ac >0 方程有两个不相等的实数根 ;( 2 )△ =b2 - 4ac =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3)△ =b2…     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学的重要内容,本文以近年中考中所考查的题型为例,归纳整理如下,供同仁们参考.一、求待定字母的取值范围(1)已知方程根的情况,求待定字母的取值范围例1若关于x的方程(k-1)x2+2(k)^(1/2)x+1=0有两个不相等的实数根.求k的獉獉取值范围.析解由题意"方程有两个不相等的实数獉獉根"可知:该方程是一元二次方程,且Δ>0,即     

如何求方程中的字母系数

方程章节中有已知根的情况,求字母系数类型的题目,我们对此类题目的解法来做一个归纳.1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何值时,方程有实数根?分析:当方程的二次项系数带有字母时,一定要考虑到它为零的情况.解:1)当m-2=0,即m=2时,x=23.2)当m-2≠0,即m≠2时Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=4(-m+3)≥0.所以m≤3.2.关于x的方程x2-k1-x2x-x=kxx+1只有一个解,试求k的值.分析:所谓方程只有一个解包含下列几种情况:当分式方程化为整式方程后,1°两次项系数为0,原方程化为一元一次方程的情况;2°.原方程化为一元二次方程且△=0的情况;3°方程有…     

巧用韦达定理例谈

韦达定理是一元二次方程根与系数之间关系的一个基本定理.有些题目,看似与一元二次方程并无关系,但倘若细心观察,巧妙变化,就能应用韦达定理,使问题迅捷获解. 1 巧求代数值 例1 实数a、b、c满足a=b 2～(1/2),2ab 2(2～(1/2))c2 1=0,求a b c的值. 解由已知条件得 a (-b)=2～(1/2),a·(-b)=2～(1/2)c2 1/2,根据韦达定理,a、-b可看为方程x2-(2～(1/2))x (2～(1/2))c2 1/2=0的两实数根,     

巧用根与系数的关系解竞赛题

根与系数的关系是一元"次方程(n∈N~*)的重要性质,本文通过实例来说明巧用一元二次(三次)方程的根与系数的关系解竞赛题.1.利用一元二次方程根与系数的关系解题当已知条件中出现或者通过转化后出现两数之和、两数之积时,可考虑利用根与系数的关系来构造一元二次方程(或函数)来解题.     

“有两个相等实根”与“只有一个实数根”

应用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程根的情况 ,即Δ =ｂ2 -4ａｃΔ >0→方程有两个不相等　　　的实数根 (1)Δ =0→方程有两个相等的　　　实数根 (2 )Δ <0→方程没有实数根 (3 )其中 (2 )当Δ =0时 ,可以得到一元二次方程 (ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 )ａ≠ 0有两个相等的实数根 .例如方程ｘ2 -2ｘ + 1=0 ( )的根是ｘ1 =ｘ2 =1,可是有的同学常说此一元二次方程实际只有一个实数根是ｘ =1,并铮铮有词地说“这是依据了一元二次方程根的定义” .我认为这种说法是错误的 !从初中数学中对方程根的定义来看 ,所谓一元二次方程的根是…     

对一个由等式转向不等式问题的剖析

曾见这样一题:已知a、b、c∈R,a+b+c= 1.a2+b2+c2=1,求a的取值范围. 分析 这是一道由已知是"等式关系"推 导出"不等式范围"的问题,解题思路的寻找就 是构架起由已知通向未知的桥梁.由等式转向 不等式主要有三种方式:(1)△法(一元二次方 程有实根) (2)基本不等式法 (3)几何位 置关系法. 剖析1 用△法来解题:即△式子是一个关 于a的不等式,因此要构造一个系数有a的一元 二次方程,怎样去构造呢?由已知等式构造一个 b,c是方程两根的一元二次方程,由已知可得b +c=1-a,bc=a2-a,所以可得一元二次方程 x2-(1-a)x+a2-a=0,因此由△≥0得(1-     

构造一元二次方程解题

有些非方程问题,正面求解很难,但如果能根据问题的特征,构造出一元二次方程,把原问题转化为关于一元二次方程的问题,就可利用我们熟悉的根与系数的关系,以及解方程等知识和方法简便求解。构造一元二次方程的常见方法有以下几种。一.利用根的定义当已知两个等式具有相同的特点:m~2 am b=0和n~2 an b=0,可利用根的定义用一个未知数t去替换m、n,构造方程t~2 af b=0。例1 已知1/a~2 1/a-1=0和b~4 b~2-1=0,且1/a≠b~2,求证:ab~2 1/a=-1,(1985年武汉市初二数学竞赛试题)。     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

运用根与系数关系解二次函数有关问题

<正>一元二次方程中"根与系数的关系"是一个重要内容.那么在二次函数中又有哪些常见题用到根与系数关系呢?我们来看一看.例1抛物线y=2x2+6x+m与x轴交于A、B,且AB=2.求m值.解设A(x1,0),B(x2,0).当y=0时,对应一元二次方程为2x2+6x+m=0,∵x1、x2为方程的两不等实根,∴由根与系数的关系可得     

一元二次方程错例剖析

有关一元二次方程的题目,常因解题不慎造成解题失误.现剖析几例,以引起重视,防止发生类似的错误.例1已知方程ax2+3x-5=0有两个实数根,求a的取值范围.     

对一道题目的探究

初二、初三年级的同学都解过这道题 ,但这道题究竟是两解 ,还是多解 ?在许多同学心中至今还是个谜 .下面笔者与大家共同对这道题作一研究 .题目　若一元二次方程的两根之比是2∶3 ,其判别式的值等于 4,求这个方程 .分析　一般同学们的解法是先将方程的两根分别设为 2k、3k .利用韦达定理作一个一元二次方程 .利用已知条件Δ =4,建立关于k的方程 ,从而求解 .解法一　设所求方程的两根为 2k、3k .故所求方程为x2 -(2k + 3k)x + 2k·3k =0 ,即　x2 -5kx + 6k2 =0 .因为　Δ =4,所以　 2 5k2 -4× 6k2 =4,即　k2 =4,所以　k =± 2 .所以所求的方…     

构造法在初中代数中的应用

构造法是一种实用的解题技巧 .解决一些问题时 ,应用它常常会迎刃而解 ,又有利于培养学生的创新能力 .下面举例说明构造法在初中代数解题中的应用 .一、用于求代数式的值例 1　已知 2m2 -5m +1 =0 ,2n -5n +1 =0 ,且m≠n ,求 mn +nm 的值 .分析 :若解出m ,n的值 ,再把它们代入 mn +nm ,显然计算很麻烦 ;但注意到已知的两个等式形式相同 ,并且具有一元二次方程的形式 ,这启示我们要构造一元二次方程 ,利用韦达定理求原代数式的值 .解 :由题设知m ,n是方程 2x2 -5x +1 =0的两根 ,由韦达定理 ,得m +n =52 ,mn =12 .∴ mn +nm =m2 +n2mn =(m +n)…     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.