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1 问题的提出大家知道,当一个三面角的三个面角都固定时,则它们任意两个面的平面角的大小也就确定;它们之间一定存在着某种必然的内在联系;事实上,我们有如下的定理;图1BαC2θ1θOA定理 设O-ABC为一个三面角,∠AOB=φ,∠AOC=θ1,∠BOC=θ2,二面角A-OC-B的平面角为α,则有cosφ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα;略证:如图1,AC⊥OC,BC⊥OC,则∠ACB=α;令OA=a,OB=b;在Rt△ACO中,AC=asinθ1,OC=acosθ1;同理,B… 相似文献
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设△ABC的边BC、CA、AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a、b、c、R、△、s.P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N.1966年荷兰的O.Botema建立了不等式ALBMCNS△LMN≥4s(1)等号当且仅... 相似文献
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设△ABC的边BC、CA、AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a、b、c、R、△、s.P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N.1966年荷兰的O.Bottema建立了不等式: AL·BM·CNS△LMN≥4s(1)等号当且仅当P是△ABC的内心时成立.类似上式,贵刊文[1]P26刊载了刘键先生建立的不等式:AL·BM·CNa·PL+b·PM+c·PN≥△R(2)等号当且仅当△ABC为锐角三角形且P为垂心时成立.文[2]给出了(2)式的简证,受其启发,笔者通… 相似文献
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众所周知 ,相似三角形有许多重要的性质 .如果在探讨三角问题时 ,构造一些相似三角形 ,对我们研究问题和解决问题是大有帮助的 .下面不妨介绍一个重要性质及它在三角中的应用 .1 一个重要性质在△ABC中 ,以sinA ,sinB ,sinC为边可以构造一个△A′B′C′ ,且△ABC~△A′B′C′ .△A′B′C′外接圆半径为 12 .图 1 三角形边角关系证 (如图 1)设△ABC外接圆半径为R ,由正弦定理有 :sinA sinB =12R(a b)>c2R=sinC .同理sinB sinC >sinA ,sinC sinA >sinB .因… 相似文献
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设△ABC的三边为a、b、c,p=12(a+b+c),内切圆、外接圆的半径分别为r、R,则cosA、cosB、cosC是方程,4R2x3-4R(R+r)x2+(p2+r2-4R2)x+(2R+r)2-p2=0(1)的三个根.证明在△ABC中,由tgA... 相似文献
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题 1 在锐角三角形ABC中 ,求证 :sinA sinB sinC >cosA cosB cosC .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1 证法 1图证 [方法 1] 设△ABC的外接圆圆心为O(由于△ABC为锐角三角形 ,O在△ABC内部 ) ,设其直径为 1,连结AO ,BO ,CO并延长交⊙O分别于D ,E ,F .顺次连结A ,F ,B ,D ,C ,E ,A .设△ABC三边长分别为a ,b ,c.∠BAC ,∠ABC ,∠ACB简记为∠A ,∠B ,∠C .∵∠A =∠BEC ,在Rt△BEC中 ,sin∠BEC =a ,cos… 相似文献
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文 [1 ]中的“定理”还可进一步拓展为定理 在△ABC中 ,设A′、B′、C′分别为边BC、CA、AB所在直线上的点 ,△ABC的外接圆半径为R ,λ1 、λ2 、λ3∈ (-∞ ,+∞ ) ,则有AA′sinBsinCcsc(λ1 A+B) =BB′sinCsinAcsc(λ2 B+C)= CC′sinAsinBcsc(λ3C +A) =2R (1 )或等价形式AA′sinBsinCsecλ1 - 12 A +B-C2= BB′sinCsinAsecλ2 - 12 B+C-A2= CC′sinAsinBsecλ3- 12 C+A-B2=2R (2 )其中λ1 A、λ2 B、λ3C为AB、… 相似文献
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涉及直角三角形一命题的面积证法 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]中给出了:命题 在Rt△ABC中,∠ACB为直角,CD⊥AB于D,△ADC和△CDB的内心分别为O1、O2,O1O2与CD交于K,则1BC+1AC=1CK.图1文[2]给出了上述命题的纯平几证法.但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题.尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸.为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考.证明 如图1,设O1O2的双向延长线分别与AC、BC相交于M、N,又设∠ACD=α,则∠BCD=90°-α, sinα+cosα… 相似文献
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第一课 正弦和余弦(一)一、启发提问1.如图6-1,在△ABC中,∠C=90°.(1)如果∠A=30°,则ac=,bc=.(2)如果c=2a,则∠A=,∠B=.图6-1 图6-2 2.如图6-2,在△ABC中,∠C=90°.(1)如果∠A=45°,则ac=,bc=.(2)如果a=b,则∠A=,∠B=.3.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中:∠C=∠C′=90°.(1)如果∠A=∠A′,那么:BCAB=B′C′A′B′成立吗?(2)如果BCAB=B′C′A′B′,那么:∠A=∠A′… 相似文献
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命题 已知A ,B是△ABC的两个内角 ,则sinA >sinB A >B .设R是△ABC外接圆半径 ,sinA >sinB 2RsinA >2RsinB 正弦定理a >b 大边对大角 A >B .命题为真 .利用上述命题 ,有时可以比较方便地解决一些三角形的问题 .例 1 在△ABC中 ,A >B ,则不等式①sinA >sinB ; ②cosA <cosB ; ③sin2A >sin2B ; ④cos2A <cos2B中恒成立的个数是( )(A) 1. (B) 2 . (C) 3. (D) 4.分析 :在△ABC中 ,A >B sinA >sinB >0 sin2 A >sin2 … 相似文献
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在三角形中,我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线.下面给出分角线长的一种公式.定理 如图1,D是△ABC的边BC上一点,设AB、AC分别为c、b,∠BAD=α,∠CAD=β,图1则 AD=bcsin(α+β)csinα+bsinβ.(1)当AD是∠A的平分线时, AD=2bccosA2b+c;(2)当AD是中线时, AD=bsin(α+β)2sinα=csin(α+β)2sinβ;(3)当AD是高线时, AD=ccosα=bcosβ=bcsinAa.(4)证明 在… 相似文献
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1 三角形等积点的定义设P是△ABC所在平面内一点,若a·PA=b·PB=c·PC,则称P是△ABC的等积点(其中BC=a,CA=b,AB=c).2 三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文[1].命题1 分别以△ABC的三边为边,向形外作等边△ABC1、△BCA1、△ACB1,则AA1=BB1=CC1=f1,且直线AA1、BB1、CC1共点,这点叫△ABC的正等角中心,本文用F1表示此点.其中f1=12(a2+b2+c2+43△),△表示△ABC的面积.命题2 分别以非正△ABC的三… 相似文献
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文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则cosβ =-cos2 α .图 1 (1)式证明用图事实上 ,由cosβ =-cos2 α可化为 2cos2 β2 - 1=-cos2 α ,所以 2cos2 β2 =sin2 α ,进而化为cos β2 =cos π4 sinα (1)证明 如图 1,正棱锥的高为PO ,PF为斜高 ,则∠PFO =α .设∠AEC为侧面PAB与侧面PBC所成的二面角 ,即∠AEC =β .由正棱锥的特性 ,OE平分∠AEC ,那么cos β2 =OEAE=12 PB·PO12 PB·AE=S△POBS△… 相似文献
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关于勃罗卡点的两个命题 总被引:1,自引:0,他引:1
关于勃罗卡点的两个命题苗大文(安徽省定远中学233200)文[1]、[2]、[3]都讨论了勃罗卡的有关问题,读来很受启发.笔者也得到了两个命题供参考.图1命题1设P为△ABC的勃罗卡点(如图1),记△PBC,△PCA,△PAB,△ABC的外接圆半径分... 相似文献