二次曲线定点弦的一个优美性质

文 [1 ]给出了二次曲线定点弦的一个耐人寻味的性质 ,本文将给出二次曲线定点弦的另一个优美性质 .定理 1　椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 )的过定点M (m ,n) (m≠ 0且m≠±a)的动弦AB(不平行于焦点轴 )的两端点的切线交点N的轨迹是直线 :mxa2 + nyb2 =1 .证　设A (x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,N (x ,y) ,则切线AN :x1xa2 + y1yb2 =1 .切线BN :x2 xa2 + y2 yb2 =1 .图 1　定理 1图联立两方程可解得 :x =a2 ( y2 - y1)x1y2 -x2 y1( 1 )y =b2 (x1-x2 )x1y2 -x2 y1( 2 )设kAB=k (k≠ 0 ) ,则直线AB :y -n =k(x -m) ,y2 - y1=k(x2 -x1) ( 3)x1y2 …     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

圆锥曲线间的相互变换

文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1　设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1　定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证　设P (acost,bsint…     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

椭圆的一个有趣性质及应用

性质　椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )上任意一点P与过中心的弦的两端点连线PA ,PB与对称轴不平行 ,则直线PA ,PB的斜率之积为定值 .图 1　性质证明用图证明　如图 1,设P(x ,y) ,A (x1,y1) ,则B(-x1,- y1) ,∴ x2a2 +y2b2 =1(1)x12a2 +y12b2 =1(2 )(1) - (2 )得x2 -x12a2 =- y2 - y12b2 ,∴ y2 -y12x2 -x12 =- b2a2 .∴kPA·kPB=y - y1x -x1·y +y1x +x1=y2 - y12x2 -x12 =- b2a2为定值 .这条性质是圆的性质 :“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广 ,它充分揭示了椭圆的图 2　推论图本质属性 ,因而能简洁解决问题 .推论　…     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

椭圆切线的尺规作法

在研究椭圆问题时 ,得到以下椭圆切线的一个尺规作法 :已知椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b >0 ) ,过椭圆上一点Q(x0 ,y0 )的切线方程为x0 xa2 + y0 yb2 =1 .设Q(x0 ,y0 )为椭圆上任一点 ,下面给出切线的作法 .作法 :( 1 )若Q为椭圆的顶点 ,则切线垂直于所在的轴 ;( 2 )若Q在任一非顶点处如图 ,过Q作QA ⊥x轴 ,垂足为A ,反向延长QA ,①以O为圆心 ,a为半径画弧交射线AQ的延长线于P点②过P点作OP的垂线PN交x轴于N点③连结NQ ,即为过Q点的切线 .　　证明　不妨设Q在第一象限 ,Q(x0 ,y0 ) ,则A为 (x0 ,0 )因为OP =a ,x0 2a2 + y0 2b2…     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1如图1,设QQ′是圆x2 y2=a2的异于椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)长轴的一条直径,过直径端点Q,Q′分别作椭圆的切线,则切线的交点在椭圆的准线上.图1定理1图定理2从椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的两条准线上关于原点对称的两点E(a2c,y0),E′(-a2c,-y0)作椭圆的切线,则切线的交点在圆x2     

圆锥曲线切线的一个有趣的性质

笔者近期研究圆锥曲线切线时 ,发现了一个有趣性质 .定理 1　过圆x2 +y2 =r2 上一点引圆的切线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是 1x2 + 1y2 =1r2 .定理 2　过椭圆 x2a2 + y2b2 =1上一点引椭圆的切线和法线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,法线与x轴 ,y轴分别相交于点M ,N .　 ( 1 )以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是a2x2 + b2y2 =1 ;( 2 )以原点O和M ,N为顶点构成的矩形的另一顶点D的轨迹方程是x2c4a2+ y2c4b2=1 ,其中C2 =a2 -b2 .定理 3　过双曲线…     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

椭圆焦点弦中的新结论

1·引言文[1]介绍了椭圆x2a2 by22=1焦点三角形的若干性质,读后很受启发,笔者研究了焦点弦的若干性质·2·几个结论定理1设P是椭圆x2a2 by22=1上任意一点,F1、F2是两个焦点,弦PP1、PP2分别过焦点F1、F2,过P1、P2的切线交于P′,则P′点的轨迹方程为:x2a2 (ab22 y2c2)=1·证明设P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2,P1(图x1,1y1),P2(x2,y2)·直线PP1方程为y=acbossiθnθ c(x c),b2x2 a2y2=a2b2,b2(acosθ c)2x2 a2b2sin2θ(x c)2=a2b2(acosθ c)2,x2项的系数为b2(a2sin2θ a2cos2θ 2accosθ c2)=b2(a2 c2 2accosθ)·x项的…     

椭圆中动弦过定点或有定向问题探讨

本文在文[1]基础上一般性地探讨椭圆中动弦过定点或有定向问题,并说明动弦有定向是动弦过定点的特例.定理1:椭圆b2x2+a2y2=a2b2的动弦BC的两端点与椭圆上定点A(x0,y0)连线的斜率存在,且斜率之积为定值b2/a2m.     

对一道高考解析几何题的深度探析

题目(2013江西高考文-20)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

考点23 椭圆

1.(广东卷,5)若焦点在x轴上的椭圆x22+my2=1的离心率为12,则m=().(A)3(B)23(C)38(D)322.(全国卷,10)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为().(A)22(B)22-1(C)2-2(D)2-13.(江苏卷,11)点P(-3,1)在椭圆ax22+y2b2=1(a>b>0)的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为().(A)33(B)31(C)22(D)21第4题图4.(浙江卷,17)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1、F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,…     

二次曲线的垂轴弦

如果曲线Γ的一条弦垂直于其对称轴 ,我们将该弦称之为曲线Γ的垂轴弦 .经笔者探究 ,发现二次曲线的垂轴弦有着耐人寻味的性质 .这些性质深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .图 1性质 1　 P1是椭圆 x2a2 y2b2 =1上不与顶点重合的任一点 ,P1P2 是垂直于 x轴的垂轴弦 ,A1( - a,0 ) ,A2 ( a,0 )是长轴上的两个端点 ,则 P1A1与 P2 A2 交点 P的轨迹方程是　 x2a2 - y2b2 =1 (除双曲线的顶点外 ) .证明　如图 1 ,设 P1( m,n) ( n≠ 0 ) ,则P2 ( m,- n) .直线 A1P1:　 y =na m( x a) 1直线 A2 P2 :　 y =na - m( x - a) 2由 1、2解…