一个几何不等式的简证

文 [1 ]证明了 ∑ a2t2b t2c≤ Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 ) .下面我们给出上述不等式的简单证明 .证明　∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ ∑ a22 hbhc　 =∑ a2 bc8Δ2 =abc4Δ∑ a2Δ=R .1r =Rr.由上述证明过程可知 ,我们得到了比∑ a2t2b t2c≤ Rr更强的不等式 ∑ a2h2b h2c≤Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 )故有不等式链 :2≤ ∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ Rr一个几何不等式的简证!528219$广东省南海市南庄高中@郝迎利1　张才元,陶兴模.一个猜想的否定.中学数学,1999,8…     

基本不等式应用

<正>基本不等式如果a,b都是非负数,那么(a+b)/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s²/4;(2)若ab=p(积为定值),则当a=b时,和a+b取得最小值     

不等式的性质与证明

1　重、难点分析1)不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题时 ,应注意不等式成立的条件 ,否则会出现错误 .2 )下面是有关基本不等式的重要结论 :若a ,b ,c∈R+ ,则 21a + 1b≤ab≤ a +b2 ≤a2 +b2 (当且仅当a =b时取等号 ) .31a + 1b + 1c≤ 3 abc ≤ a +b +c3≤a2 +b2 +c23(当且仅当a =b =c时取等号 ) .另外由基本不等式可得到下列结论 :① 4ab≤ (a +b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 ) (a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 ) ;② 3(ab+bc +ca)≤ (a +b +c) 2 ≤ 3(a2 +b2 +c2 ) (a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 ) ;③ a…     

函数f(x)=a/(sin~nx) b/(cos~nx)最小值猜想的推广

文[1]中猜想:f(x)=a/sin~nx b/cos~nx(00,由均值不等式得:nAsin2x 2amsinmnx=Asin2x Asin2x … Asin2x asinmnx sinamnx … sinamnx≥(n 2m)(Ana2m)n 12m.nAcos2x 2bmcosmnx=Acos2x Acos2x … Acos2x bcosmnx cosbmnx … …     

一个不等式的推广及应用

定理若0相似文献   

两道数学竞赛题的推广

第37届(1996年)国际数学奥林匹克预选题第1题为: 设n,b,c是正实数,并满足abe=1,证明:并指明等号在什么条件下成立. 推广之,我们得到定理1若a,b,c为满足abc=1的正数,n≥1/2或n≤-1,则等号成立当且仅当a=b=c=1或n=1/2或n=-1.     

一个不等式的推广

文[1]给出了不等式：设a、b、c为正数,且a＋b＋c=1,则有（1/a＋b-c）（1/a＋c-b）（1/b＋c-a）≥（7/6）^3,当且仅当a=b=c=1/3时等号成立．     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

对一道课本习题的思考和再认识

人教版高中教材<不等式>章中有这样一道习题: 　　已知a、b都是正数,求证:2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2,当且仅当a=b时,等号成立.……     

柯西不等式的应用

笔者发现柯西不等式在中学数学的圆锥曲线中也有它的用武之地 ,下面先给出由它得出的两个定理及推论 ,然后再作一应用 .定理 1　设 x2a2 + y2b2 =1,则a2 +b2 ≥ (x +y) 2当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .证　由柯西不等式 ,得　a2 +b2 =(a2 +b2 ) xa2 + yb2≥ (x + y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .推论　若x2 + y2 =r2 ,则 2r2 ≥ (x + y) 2 ,当且仅当x =y =22 r时取等号 .定理 2　设 x2a2 - y2b2 =1,则a2 -b2 ≤ (x - y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 上式等号成立 .证　由于柯西不等式可推广为(a21-a22 ) (b21-b22 )≤ (a1b1-a2 b2 …     

巧用基本不等式等号成立条件解题

基本不等式：√ab≤a＋b/2（其中a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时等号成立．     

运用基本不等式的三原则七策略

谈到基本不等式ab（1/2）≤a＋b/2,虽说其结构简洁,易懂好记,但由于其内涵丰富,使用条件苛刻,运用方法灵活,想要熟练驾驭它,还需要懂得运用它的三原则七策略. 一、运用基本不等式的三原则 对于基本不等式,有如下三点：1a,b为正实数;2当和a＋b为定值时,积ab有最大值;当积ab为定值时,和a＋b有最小值;3a=b时,不等式中的等号成立,a≠b时,不等式中的等号不成立.     

巧用均值定理求最值

<正>两个正数的均值定理是高中数学的必修内容,在不等式证明和代数式求最值中经常用到,因此要求同学们熟练掌握.首先,两个正数的均值定理是指:如果a、b∈(0,+∞),那么a+b/2≥ab^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab^(1/2)),其次,由均值定理可得:两个正数的积为常数时,当它们相等时和取得最小值;两个正数的和为常数时,当它们相等时积取得最大值.下面举例说明如何应用均值定理求代数式的最值(最大值或最小值).     

几个数学问题的简单解决

1．一道竞赛题的简证 2008年湖南省高中数学竞赛有这样一道试题： 问题1：设实数a,b∈[a,β],求证：b/a＋a/b≤β/a＋a/β,其中等号当且仅当a=a,b=β或a=β,b=a成立,a,β为正实数。     

幂权平均数不等式及其几何解释

在不等式理论中,平均数不等式应用广泛.在新教材中,已涉及著名的高斯不等式链1/1/2(1/a+1/b)≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2(a,b∈R+,当a=b时等号成立)……     

利用均值不等式巧解三角问题

<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)^(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a²     

破解“连环套式”方程组

我们知道,对于任意的实数a和b,有a2 b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号．对于正数u和v,有u v≥2uv~(1/2),当且仅当u=v时取等号．有一类方程组,它们的特征是:各方程之间环环相扣,首尾呼应．这类方程组可用配方法解决,但比较繁杂．如能利用不等式等号成立的条件来解,则能收到事半功倍的效果．     

三类最小值问题的统一解法及一般结果

本文旨在通过实例，归纳总结出形如y=x＋和y=x的最小值问题的统一解法及一般结果对能直接利用基本不等式a＋b≥2,a＋b＋c≥3求解的情形，本文将略去．第一类的最小值问题情形1例1求的最小值，这里x（O，π）．以上两个木等号中的等式同时成立，当且仅例2求函数y的值域．解函数的定义域为一1≤X≤1，于是令t=（1－x2）＋，于是只需求出t的值域，即可得到y的值域．以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅。。M。。。。。。4．例3（一般情形）求y一x十上的最小值，其中，0＜X＜b，户是一个正常数，且产）矿．上述两个不等号中的等式同时成立…     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献