极值点偏移问题中另解引发的深度思考

1.典型例题常规解答例。1已知实数m>1,f(x)=e^mx-x-m有两个零点x₁,x₁,求证:x₁+x₁<0.证明f′(x)=me^mx-1,令f′(x)=0,得x=1/min1/m.为叙述简便,记x₀=1/min1/m,因为m>1,所以x₀<0.当x∈(-∞,x₀)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x₀,+∞)时,fv(x)>0,f(x)单调递增.     

二阶非线性微分方程组的正规解及极限边值问题

本文对微分方程组其中a(t)>0,r(t)>0,t≥t₀;f(x)对x>0正值递减;g(y)>0,给出存在正规解,有界正规解或两类无穷区间[c,∞)(c≥t₀)上边值问题解的充要条件.同时给出若干例子说明结果的条件.     

一般Lyness方程的周期性与严格振动性

研究了一般的Lyness方程 其中a、b∈[0,∞)且a+b>0,初值x_-1、x₀为任意正数。得到了一些新的结果;方程(*)解的周期性的一个必要充分条件;方程(*)的所有解严格振动的充分条件。作为应用,解决了G.Ladas提出的一个公开问题。     

Long Time Asymptotics Behavior of the Focusing Nonlinear Kundu-Eckhaus Equation

The authors study the Cauchy problem for the focusing nonlinear KunduEckhaus(KE for short) equation and construct the long time asymptotic expansion of its solution in fixed space-time cone with C(x₁, x2, v₁, v₂) = {(x, t) ∈ R²: x = x₀ + vt,x₀ ∈ [x₁, x₂], v ∈ [v₁, v₂]}. By using the inverse scattering transform, Riemann-Hilbert approach and ■ steepest descent method, they obtain the lone...     

广义Pochhammer-Chree方程的显式精确孤波解

首先对广义Pochhammer-Chre方程(PC方程)u_tt-u_ttxx+ru_xxt-(a₁u+a₂u2+a₃u3)_xx=0(r≠0)(Ⅰ)的孤波解u(ξ)建立了公式∫_-∞+∞[u'(ξ)]2dξ=1/12rv(C₊-C_-)3[3a₃(C₊+C_-)+2a₂]。由此推知:广义PC方程(Ⅰ)不可能有钟状孤波解,只可能有扭状孤波解;而广义PC方程u_tt-u_ttxx-(a₁u+a₂u2+a₃u3)_xx=0(Ⅱ)可能既有钟状孤波解又有渐近值满足3a₃(C₊+C_-)+2a₂=0的扭状孤波解。进一步求出了广义PC方程(Ⅰ)的扭状孤波解,求出了广义PC方程(Ⅱ)的钟状孤波解和渐近值满足2a₃(C₊+C_-)+2a₂=0的扭状孤波解。最后给出了广义PC方程u_tt-u_ttxx-(a₁u+a₃u3+a₅u5)_xx=0(Ⅲ)的显式孤波解。     

一道新定义“进取点”题目的解析与收获

<正>题目(北京市海淀区2023年七年级下学期期末考试第26题)在平面直角坐标系xOy中,对于不重合的两点P(x₁,y₁)和点Q(x₂,y₂),给出如下定义:如果当|x₁|>|x₂|时,有|y₁|≥|y₂|;当|x₁|<|x₂|时,有|y₁|≤|y₂|,则称点P与点Q互为“进取点”.特殊地,|x₁|=|x₂|时,点P与点Q也互为“进取点”.     

间断和脉冲激励

本文讨论由于脉冲和间断激励所引起的含有Dirac函数和Heavisde函数微分方程的求解问题。首先,按照微分方程理论,我们建议把方程解表达为x(t)=x₁(t)+x₂(t)H(t-a);然后,利用广义函数性质,导出x₁(t)和x₂(t)方程,通过求解x₁(t)和x₂(t)来得到原来方程解x(t)。最后,对周期脉冲参数激励问题进行了深入讨论。     

一类带约束的二维弱奇异积分方程的一般解及其应用*

本文给出二维弱奇异积分方程作用着约束方程的比[1]为更一般的解P式中k和产是给出的连续函数;(s,φ)是原点在M(r,θ)的局部极坐标;(r,θ)是原点在O(0.0)的总体极坐标;F(r_*,θ)=c_*(常数)是研究域Q的边界围线?Q:g(ω)=F(r,θ)/[πkφ₀];g'=dg/dω,ω=N-r2sin2(θ+φ₀);φ₀,N为中值.[1]的(2.19)型的解仅为F(r,θ)=ω时上述解的特例.文中给出刚性圆锥和弹性半空间接触问题的解作为应用例子.此解较Love(1939)的解简明.     

由2010年高考题中不等式所想到的

（2010年辽宁理21）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1.（1）讨论函数f（x）的单调性;（2）设a<-1.如果对任意x₁,x₂∈（0,+∞）,|f（x₁）-f（x+2）|≥4|x₁-x+2|,求a的取值范围.（2010年湖北理21）已知函数f（x）=ax+b/x+c（a>0）的图像在点（1,f（1））处的切线方     

自相似集的球密度性质

本文讨论利用上、下球密度计算自相似集的Hausdorff中心测度与填充测度的问题.设E是满足强分离条件的自相似集,s为其Hausdorff维数,μ为定义于E上的自相似测度,则有如下结论:(1)如果存在x₀∈E,使得x₀关于μ的上球密度■(μ,x₀)=■,则对μ-几乎所有x∈E,有■(μ,x)≥■;(2)如果存在y₀∈E,使得y₀关于μ的下球密度■(μ,y₀)=■,则对μ-几乎所有y∈E,有■(μ,g)≤■.运用这一结论,对自相似集的测度计算问题进行了讨论.     

一道导数模拟题的深入思考与变式

<正>1试题呈现与反思例1 (2023届湖北新高考联考协作体高三起点考试第22题)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x²-1.(1)求证:当a≥1/2时,|f(x)|≤a|g(x)|;(2)已知函数h(x)=|f(x)|-b有3个不同的零点x₁,x₂,x₃(x₁23),     

无限体中受均匀拉伸的椭圆片状裂纹周界上各点应力强度因子的讨论

本文从Green-Sneddon解[1]的裂纹表面位移场结果出发,应用坐标变换推出了无限体中受均匀拉伸的椭圆片状裂纹周界上任意点、任意方位上的应力强度因子K₁(x₁,z₁,α)表达式.从而补充了Irwin的工作[3],证明了对椭圆周界上某一确定点而言,沿法线平面上所得的应力强度因子为最大值.并指出了一些著作中,对[3]中有关内容所作的错误解释.还推荐了一个更为直观的以极角来表示的椭圆周界上任意点处的应力强度因子表达式.     

弱分段Koszul模(英文)

任意一个弱分段Koszul模M都被证明存在一个自然的分次子模链0=U₀（?）U₁（?）U₂（?）…（?） U_t=M使得每个商U_i/U_i-1都是分段Koszul模.本文的主要目的是建立M和U_i/U_i-1的极小分次投射解之间的关系.对n≥0,证明了P_n=⊕_i=1^t P_nⁱ,其中P_*ⁱ→U_i/U_i-1→0和P_*→M→0是相应的极小分次投射解,作为其直接推论,有pd（M）=max{pd(U_i/U_i-1)}成立.     

简单现象背后的玄机

<正>我们经常会遇到一些简单、显然的事情或现象,细想想为什么会是这样,有时还真不容易说清楚.例题已知0123<π,设a= （sinx₁）/（x₁）,b=（sinx₂）/（x₂）,c=（sinx₃）/x₃,则a、b、c的大小关系是_<sub>.分析a、b、c具有相同的结构;都是分式形式,容易联想斜率公式,将问题转化为比较直线斜率的大小问题.     

一类对称函数的Schur凸性与应用

对x=（x₁,x₂,…,x_n）∈R₊ⁿ及r∈{1,2,…,n},定义了对称函数F_n（x,r）=F_n（x₁,x₂,…,x_n;r）=∑_1≤i12…r≤n(∏₍j=1 x_ij/₁+x_ij^1/r,其中i₁,i₂,…,i_n是正整数.本文讨论了F_n（x,r）的Schur凸性、Schur几何凸性和Schur调和凸性,并借助于控制理论建立了若干不等式.     

易被忽视的三角最值的求法

<正>若函数y=f（x）+g（x）,当f（x）、g（x）同时在某个自变量x₀处取得最大（小）值,则在自变量x₀处,函数y取得最大（小）值为f（x₀）+ g（x₀）.本文仅例探该结论在三角函数求最值方面的应用.     

一类量子环面李代数的单性(英文)

令C_q:=C_q[t₁^±1,t₂^±1,t₃^±1]为量子环面结合代数,L_q=C_q/C为量子环面李代数。本文定义了一个与q=（qij）_i,j=1³相关的指数方程体系,称之为C_q的特征方程组。通过这个特征方程组,证明了L_q是非单的当且仅当特征方程组在Z³中有非零解。对于|q|=0,证明了在C_q中存在一个极大交换子代数I,并且I严格包含中心Z（C_q）。同时文中也指出,对于|q|≠0,在C_q中不存在这样的子代数。     

经历探索过程 提升思维品质

<正>在高考中常常会遇到这样一类求最值的问题,它们的条件式和待求式隶属完全对称式,即对于含有n个变元的x₁,x₂,……,x_n式子中,若将任意两个变元x_i,x_j(i,j=1,2,3,……,n,i≠j)交换位置,其结果保持不变.为了帮助学生理解并掌握解决此类问题的方法,教师在高三二轮复习时将此类问题整合成专题,以此通过专项训练帮助学生明晰问题的本质,掌握解决此类问题的巧解和通法,有效提高学生解决此类问题的能力.     

Sine-Gordon方程孤立子解的表达式

本文研究Sine-Gordon方程
u_xt=sinu(A)
的反散射解.给出了(A)的孤立子解的简洁表达式,并讨论了单孤立子解和双孤立子解.     

Fredholm第一种积分方程Ax=y的表示定理和一次迭代定理*

本文给出两个定理.表示定理指出:若具有界L₂核的Fredholm第一种积分方程Ax=y有唯一解,则其中,一次迭代定理指出:可由公式=x₀+g₀A*(y-Ax₀)一次迭代求得的充分和必要条件是满足下列条件之一: