导数的“隐零点问题”

<正>导数题是高考的压轴题之一,本质上是用求导的方法来确定原函数的单调区间,进而解决函数的各种问题.通常的步骤是求原函数f(x)的导函数f′(x),接着令f′(x)=0解出f′(x)的零点,得到零点,单调区间就迎刃而解了.不过,有些函数的导数我们可以通过零点存在定理证明它确实有零点,但因为所求方程并非初等方程,无法算出其零点,即便继续求二次导也无济于事.我们将这种导数确实有零点却不能求出具体值的问题称为导数的"隐零点"问题.下面通过几道真题来介绍一些解决"隐零点"问题的方法.     

例谈导数零点不可求问题的解决办法

<正>函数是高中数学的核心内容,导数是研究函数性质重要而又有力的工具.导数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法,具有较强的综合性,能较好评估学生的学习力,是每年高考必考题之一.高考题中有关导数问题的考查,往往是以压轴题的形式出现,有一定的灵活性,一般是先求出导数,然后求出导数为0的值即导数的零点,利用导数值的正负来确定原函数的单调性,从而使问题得到解决.但有时会碰到导函数是超越式,导数的零点不可     

例谈零点设而不求法在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉"至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数,无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此     

例谈“零点设而不求”在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉",至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此举例说明零点设而不求法在解题中的应用.     

例谈“零点设而不求”在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处＂咽喉＂,至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取＂设而不求＂的方法进行处理,本文就此举例说明零点设而不求法在解题中的应用.     

例析设而不求解答奇数问题

<正>我们知道,超越方程中学阶段学生难以求出具体的实根,但在导数问题中,经常会遇到两类问题.第一类,解题过程中需用到函数的零点,当我们把函数的零点转化为方程的根的时候,面对超越方程,难以求出其实根.第二类,在可导函数极值问题中,首先求导,令导数为零,求出可疑极值点.但有些函数的导函数为超越函数,其零点(可疑极值点)难以求出.     

一类导数应用问题剖析

人民教育出版社选修2-2（A版）的书中指出,导数是＂研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具＂,因此,通常借助导数研究函数的相关性质,如函数的零点问题,而又由于方程的根与函数零点之间的关系,导数也常用来研究方程的根.     

“导根反代”——隐零点法的精髓

<正>导数中的“隐零点”问题是指:当一个函数的零点存在但又无法求出的零点问题．“导根反代”是指:由于可导函数的极值点是其导数的零点,不求出导数零点的具体数值,而是用导数零点x0建立方程,得到关于x0的关系式,将关系式代入原函数f(x₀)中消去指数、对数或者参数,最终化为关于x₀的函数,最终根据x₀的范围求解具体问题．本文通过两个具体的例子来体会导数中的隐零点法精髓——“导根反代”．     

一类无理函数最值的求法

<正>求函数的最值问题是涉及的知识面广、解决方法灵活多样、技巧性强的一类数学问题.本文介绍一类形如"f(x)=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)"的特殊函数最值的解决方案,仅供参考.一、应用导数研究函数的单调性解决函数最值可以说导数是研究函数单调性的"万能工具",对求函数最值或值域就很有用了,其基本步骤是:一确域,先求出函数的定义域;二求     

应用导数解决问题

用导数作为工具处理函数问题是数学的重要方法.它的基本程序是：求导数、找零点、判定导数在区间上的符号等.它涉及的基本概念有函数图像的切线、函数的单调性、函数的极值和最值.有的问题给出的函数仅仅是问题的起点,对处理问题起关键性作用的函数却或隐或现的隐藏在问题中,一旦将其挖掘出来,用导数就可解决了,关键是构造函数.     

综合题的数形双重性求解

函数是中学数学的重点内容之一,导数是解决函数问题的一种比较有效的方法,与导数相关的函数综合问题是近年来的热点,此类问题往往涉及函数的单调性、极（或最）值、图像交点（或函数零点）等性质,     

应用导数解决问题

<正>用导数作为工具处理函数问题是数学的重要方法.它的基本程序是:求导数、找零点、判定导数在区间上的符号等.它涉及的基本概念有函数图像的切线、函数的单调性、函数的极值和最值.有的问题给出的函数仅仅是问题的起点,对处理问题起关键性作用的函数却或隐或现的隐藏在问题中,一旦将其挖掘出来,用导数就可解决了,关键是构造函数.在一个具     

导函数视角下函数零点问题的判定

高考试题中渗透零点知识的题型相当广泛，常见的有：方程的根、函数的极值和最值、求参数的取值范围、函数零点存在的条件等问题。本文以导数背景下零点的存在问题为例，进行分析研究。     

例谈函数零点问题的解题策略

函数的零点作为高中阶段一个非常重要的知识点,在高考中考查的非常多,尤其是方程的近似解、零点所在的区间、零点的个数、与零点有关的参数范围等问题,涉及到函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质,融合了数形结合、导数法、分离参数、等价转化等数学方法,具有综合性强、形式灵活、思维严密等特点,能较好地反映学生分析和解决问题的能力,因此备受高考命题者的青睐.     

一道高考试题的多种解法赏析

<正>1试题再现(2020年新高考数学全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=ae^(x-1)-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.问(1)易得,下面给出问(2)解法.2隐零点法隐零点法是处理导函数零点不能直接求出的情况下常用的方法,借助隐零点,可以进一步研究原函数的单调性和极最值,给解决导数问题带来极大帮助.     

从f′(x)=0谈起

<正>导数是解决函数图像、性质以及方程不等式等问题的有力工具,f′(x)=0的根是利用导数分析函数性质过程中最为核心的量.它关联着函数的单调性、极值(最值)等,但某些函数的导数为零时,根不易求得,成为解题过程中的难点.我们举例探究对非常规零点的求解或使用,寻求恰当处理方式.1.方程f′(x)=0无实数根     

例析设而不求思想在函数求值中的应用

我们知道,对于可导函数求极值问题。首先求导,让导数为0,求出可疑极值点．但有些函数的导函数为超越函数,其零点（可疑极值点）很难求出,     

例谈导数法可能引起的错解

导数作为高中数学的新增内容,为解决函数单调性、最值（极值）、零点及交点问题提供了有力的工具.但借助导数工具解决某些特殊函数时还有一些注意的地方,否则会导致一些不易察觉的错误,下面举例说明.     

过程重于结果,思维精益求精——一道导数综合题的课堂思维导引

导数与函数综合问题,在历年各省市的高考命题中常以把关题或压轴题的形式出现,对同学们分析问题与解决问题的能力提出了较高的要求.同样一道题目,面对不同的解题对象,有的解法繁,有的解法简,有的草纸遍地,有的一望而答,有的顺利求解,有的半途而废.可见问题的分析过程至关重要.本文以一道导数综合题为例,谈谈数学思维过程的优化.一、问题引出导数法是研究函数性质问题的有力工具,导数的引入使函数的单调性、最值、极值、零点等问题的解答实现     

例谈导数法可能引起的错解

导数作为高中数学的新增内容,为解决函数单调性、最值(极值)、零点及交点问题提供了有力的工具.但借助导数工具解决某些特殊函数时还有一些注意的地方,否则会导致一些不易察觉的错误,下面举例说明.