方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

“酒杯问题”的区域分析

一、背景知识若P(x0,y0)在抛物线x2=2py(P>0)开口内,则必有不等式x02<2py0; 反之,不等式x2<2py表示抛物线x2=2py的含焦点的区域(如图1).     

二阶奇异非线性边值条件的上下解方法

本文利用上下解方法,讨论奇性边值问题(py’)’+ p(t)q(t)f(t,y,py’)=0,0相似文献   

巧用方程根解题两例

例1 已知抛物线y2=3x上的两点A,B 的纵坐标恰好是关于y的方程y2 py q=0 (p,q为常数)的两个实根,求直线AB的方程．解设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为点 A,B在抛物线上,所以y12=3x1,y22=3x2．又因A,B的纵坐标y1,y2是关于y的方程y2 py q=0(p,q为常数)的两个实根,所     

关于二次根式的一个不等式及应用

本文给出关于二次根式的不等式①,并举例说明①的广泛应用.定理设p>0,xy≥0,则p x p y≥p p x y,①当且仅当x=0或y=0时,①之等号成立.证因为xy≥0,所以,p x p y=2p x y 2p2 px py xy≥2p x y 2p2 px py(等号成立当且仅当x=0或y=0)=p 2p.p x y p x y=p p x y.推论1设p>0,xy≥0,p     

具有正则型点的奇异微分算子的自共轭扩张

在П(L0)n R≠θ的条件下,本文讨论了具有中间亏指数的对称微分算式l(y)的自共轭域,其中П(L0)是由l(y)生成的最小算子L0的正则型域.使用方程l(y)=λ0y,(λ0∈П(L0)∩R)的实参数L2-解,我们对最大算子域DM进行新的分解,由此得到l(y)的自共轭域新的完全解析刻画,其中自共轭边界条件中矩阵M,N的确定与l(y)=λ0y在无穷远点的性质无关,仅与其在t=0点初始值的选择有关.由于自共轭箅子谱是实的,使用实参数λ0不仅有利于我们找到方程的显解,更重要的是可以得到谱的有关信息.     

抛物线的弦及切线的几个性质的探究

<正>如图1,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(O,c)任作一直线,与抛物线x~2=2py(p>0)相交于不同的A、B两点,且过A、B两点切线交于点Q.有如下性质:     

常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法

设二阶常系数非齐次线性微分方程 y″+py′+qy=f( x)对应的齐次方程的特征根为 r1,r2 ,f ( x)连续。由韦达定理 :p=-( r1+r2 ) ,q=r1r2从而 y″+py′+qy=f( x)可化为 y″-( r1+r2 ) y′+r1r2 y=f( x)即 ( y′-r1y)′-r2 ( y′-r1y) =f ( x)令 y′-r1y=y1则 :　 y″+py′+qy =f ( x) y′-r1y =y1y′1-r2 y1=f ( x)即原方程可降阶为一阶线性微分方程。解方程组得 y =er1x∫y1e- r1xdx,y1=er2 x∫f ( x) e- r2 xdx所以 ,原二阶方程的通解为 y =er1x∫e( r2 - r1) x .[∫f ( x) e- r2 xdx]dx由此得到 :定理 1　若 y″+py′+qy=f ( x)对应的齐次…     

抛物线的两个有趣性质

经过探究,笔者得到了抛物线的两个有趣性质,现介绍如下.性质1如图1,已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为y轴上异于原点的任一点,过点F作直线l交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线交于点M,直线     

对一道高考试题的探讨

题　如图 1 ,设点A和 B为抛物线y2 =4px (p >0 )上原点以外的两个动点 ,已知OA⊥ OB,OM⊥ AB,求点 M的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 .(2 0 0 0年北京、安徽春季高考试题 )解法 1　设 A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) ,AB方程为 y =k(x - a) ,联立方程y =k(x - a)y2 =4px 　 y2 - 4 py     

参数边界条件下奇型Sturm-Liouville算子的半逆问题

Sturm-Liouville算子的半逆问题讨论由一组谱和半区间上势函数唯一确定整个区间上势函数q(x).本文利用Koyunbakan和Panakhov的方法和[13]的结论,讨论(0,π)上的奇型Sturm-Liouville问题满足-y″+[q(x)-1/4sin2x]y=λy,参数边界条件y(0,λ)=0或y′(0,λ)-hy(0,λ)=0和y′(π,λ)+(aλ+b)y(π,λ)=0,证明一组谱和(π/2,π)上的势函数q(x)唯一确定(0,π)上的势函数q(x).     

有限递推法与待定系数法的计算复杂性比较——用于求y"+py'+qy=P_m(x)e~(ax)cosbx(或sinbx)的特解时

分析了在求二阶常系数线性常微分方程y"+py'+qy=P_m(x)e~(ax)cos bx;y"+py'+qy=P_m(x)e~(ax)sin bx的特解时;采用有限递推法或待定系数法的各自计算复杂性.证明了在求上述方程特解时,有限递推法在计算复杂性上优于待定系数法.     

一类二阶非线性奇异边值问题的正解

对非线性项ｆ在ｐｙ’＝ ０奇异但在ｙ＝ ０非奇异的情形下,边值问题 正解的存在性作讨论．     

Positive solutions for a class of boundary value problems on infinite intervals

This paper studies the existence of nonegative solutions to the two point boundary value , 0<t< with appropriate boundary conditions.     

Inverse Sturm-Liouville problems with homogeneous delay

We study the inverse Sturm-Liouville problem with a delay $$- y''(x) + q(x)y(\alpha x), q \in L_2 [0,\pi ], \alpha \in (0,1],$$ and the boundary conditions y(0) = y(π) = 0.     

Spectral asymptotics for Sturm-Liouville equations with indefinite weight

The Sturm-Liouville equation

is considered subject to the boundary conditions

We assume that is positive and that is piecewise continuous and changes sign at its discontinuities. We give asymptotic approximations up to for , or equivalently up to for , the eigenvalues of the above boundary value problem.

     

Oscillations of certain second order nonlinear differential equations

A second order nonlinear differential equation

Sturm-Liouville方程奇异边值问题的正解

本文利用不动点指数理论,讨论Sturm-Liouville方程(p(t)u'(t))'+g(t)F(t,u)=0 奇异边值问题的正解的存在性.     

二阶拟线性微分方程组边值问题的三个对称正解

本文讨论二阶拟线性微分方程组边值问题( p(x'))'+a(t),(t,x,y)=0,( q(y'))'+b(t)g(t,x,y)=0,x(0)-B0(x'(0))=x(1)+Bo(x'(1))=0,y(0)-B1(y'(0))=y(1)+B1(y'(1))=0,其中f,g是非负连续的函数.利用五个泛函的不动点定理,赋予f和g一些增长条件保证至少三个对称正解的存在性.