把比例关系移到一条直线上

请看下面的一道课本习题:过平行四边形ABCD的顶点D任作一直线,与BC交于M,与AB延长线相交于N,求证:BC/BM-AB/BN=1. 证明∵DC// BN,∴BC/BM=DN/MN·∵BM//AD ∴AB/BN =DN/MN·∴BC/BM-AB/BN=DN/MN-DM/MN=MN/MN=1。证明是简单的,又是深刻的.它对有关线段比的和、差、积问题提供了一个证明模式:通过比例的等量代换,将原本不在一条直线上的比例关系(BC/BM,AB/BN分别在直线BC、AB上),     

一道中考操作探究题剖析

问题:操作:将一三角尺放在正方形ABCD上,并使它直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:在滑动过程中,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论.方法一证明:如图(1)Q点在正方形边DC上.过P作MN∥AD交AB于M,交CD于N.∵正方形ABCD∴AB=AD=MN,∠BAC=45°∵MN⊥AB于M∴∠AMN=90°∴AM=MP∴BM=PN∵∠MBP+∠MPB=∠MPB+∠NPQ=90°∴∠MBP=∠NPQ∵△MBP≌△NQP∴PB=PQ如图(2)点Q在正方形边DC的延长线上,即射线DC上证明方法同(1).方法二证明:如图(3)过…     

三角形的内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称该正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原理”,内接正方形的四个顶点中必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形为三角形的该边上的内接正方形 .文 [1]从一个实际情景出发 ,提出了 :如何作一个三角形的内接正方形 ?在对直角三角形和锐角三角形给出具体的作法后 ,文 [1]进一步提出了三个问题 .(1)同一直角 (锐角 )三角形 ,有几种内接正方形 ?哪一个的面积最大 ?(2 )如何折出钝角三角形的面积最大的正方形 ?(3)如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?本文先给出一个作一个…     

一道课外练习题的另解

<正>《中学生数学》2015年(4月下),课外练习及参考解答栏目中,初三年级第1题.在正方形ABCD中,N为CD的中点,M在AD上,且∠CBM=∠NMB,若AB=1,求四边形BCNM的面积.分析如图1,线段BM、MN把边长为1的正方形ABCD分割成三部分,Rt△AMB、Rt△MDN和四边形BCNM.只需求出Rt△AMB和Rt△MDN     

追寻本质解法 变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究

一、试题呈现题目(2011年北京市初二数学竞赛试题)如图1,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为().1017A.17B.C.210D.2233二、分析与解法本题以学生熟悉的正方形为基本图形,主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识,是一道综合性较强的试题.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移动,它的位置不确定,这也增加了试题的难度.笔者通过     

简析以正方形为基的中考题的做法

<正>正方形形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质,而且具有轴对称性和中心对称性的美,还体现了角平分线、线段垂直平分线等性质,以正方形为基的考题历来是中考数学命题的热点和焦点之一.这些题的结构特点是:利用正方形的一些性质,结合其它知识点构成中考题,题目形式多样,精彩纷呈,很好地考查了图形类的主要知识点,以及学生分析问题和解决问题的能力.解题的切入点就是很好的利用正方形的性质,再综合其它知识通盘考虑去解答.一、利用正方形的角是直角图1例1(2013年长春)如图1,MN是⊙O的弦,正方形OABC的顶点B、C在MN上,且点B是CM的中点.若正方形OABC的边长为7,则MN的长为.     

三角形的广义内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原则”,内接正方形的四个顶点必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形是该三角形的该边上的内接正方形[1] .笔者对文 [1 ]作了研究 ,并给出定义 :如果一个正方形的两个顶点在三角形的同一边所在直线上 (顶点可能在延长线上 ) ,其余两个顶点分别在另两条边上 ,称正方形是该三角形的 (该边上的 )广义内接正方形 .容易看到 :任何三角形的每边上都有广义内接正方形 ;如果正方形的顶点都不在边的延长线上 ,此时 ,广义内接正方形就是内接正方形 …     

一道高中数学竞赛题的初中证法

<正>2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛第二题:在△ABC中,M、N分别为边AB、AC上的点,且满足(BM/MA)+(CN/NA)=1,证明:线段MN过△ABC的重心.分析我们知道,三角形的三条中线相交于一点,这个点称为三角形的重心.并且,重心把中线分成的两部分,从边的中点起到顶点止,两部分的比值为1/2.如图1,取BC的中点D,连结AD与MN的交点就是我们要证明的重心.只要作辅助平行线,应用平行线截线段成比例定理就能证明此题,知识和方法完全是初中课本中的内容.     

比例线段与面积

在学习相似三角形的过程中,经常会碰到这样一类的习题: 已知:如图1所示,四边形ABCD是平行四边形,DM=CM,DN=AN,试求BP:BM。这类习题通过添加平行线,利用相似三角形中的有关性质即可使问题迎刃而解。今过M点作BC的平行线交CN于E,由△BCP∽△MEP,可得 BP:PM=BC:ME又由已知可得EM=1/2AD=1/4BC, ∴ BP:PM=4:1从而得出BP:BM= 4:5 利用这类习题的解法和结论,可以解决不少有关     

一图多得受益匪浅

以△ABC的三边(a、b、c)为边分别向形外作正方形,得如图1所示的形状.如果改变△ABC的形状,可以得到不同的结论. 1.当△ABC是锐角三角形时如图2,过△ABC的三个顶点分别作AH⊥ED,BQ⊥GF,CP⊥MN,垂足分别为H、Q、P.显然AH、BQ、CP交于一点O,设三个正方形分别被AH、BQ、CP分成的矩形依次为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ.     

正方形内接最大和最小正三角形

<正>0引言如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).由于正三角形的边长平方与面积的大小成正比,可以通过比较正三角形的边长来比较面积的大小,也可称面积最大(小)的正三角形为最大(小)的正三角形.文[1]首先给出正方形内接正三角形尺规作图的一般作法,然后用代数的方法探讨其内接正三角形的面积最值,最后巧妙作出正方形的最大和最小内接正三角形.本     

从平面到立体：意想不到的解答

数学本是一个大家族,其各分支皆有相同之处．很多时候,巧妙地利用这种亲缘关系,会带来意想不到的收获．如图1,在正方形ABCD中,BM=CN,AM、AN将对角线BD分成三条线段．求证：这三条线段一定能够成一个三角形,且这个三角形有一个内角为60°．若按常规的解法,必定要涉及到许多繁琐的     

对两道“希望杯”题的思考

1.二十二届希望杯高一第1试第十七题:已知点M(-2,-1)和N(1,-5),又点P在圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上运动,求△MNP面积的最大值.解如果从三角形面积的本质来分析,那么问题就变得简单,因为线段MN的长不变,只求以MN为底边的△MNP最大高,即为圆C上到MN的最大距离,所以只要过圆C作和     

一道证明线段相等的经典几何题

题目 (2010年无锡市初中毕业升学考试第26题) (1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP平分线上一点,若∠AMN=90°,求证:AM=MN.     

由一道中考模拟题引起的思考

背景在直线l上摆放着三个正方形.(1)如图1,已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=____,两个直角三角形的面积和为____;(均用a,b表示)(2)如图2,小正方形的面积S1=1,斜着放置的正方形的面积S=4,求图中两个钝角三角形的面积m1和m2,并给出图中四个三角形的面积关系;     

对“到三角形各边距离相等的点”探究——一道课本例题的五个追问

<正>引例(课本例题)如图1,△ABC的角平分线BM、CN交于点P,求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足分别为点D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.追问1在三角形内部到三边距离相等的点有一个,在三角形外部有到三边(所在直线)距离相等的点吗?     

巧用梯形中位线证线段a=b+c一例

例(2010江苏省徐州市)如图1,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与     

正方形的内接正三角形

如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).当该内接正三角形的面积最大时,称最大内接正三角形;当该内接正三角形的面积最小时,称最小内接正三角形.     

用解析法证平几题两例

有些平几题若用解析法去证明显得十分轻松,简捷。 例1 在已知正方形ABCD内侧,作等边△ABK、△BCL、△CDM和△DAN,试证KL,LM,MN和NK这四条线段的中点和AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN等8条线段的中点,组成一个正十二边形。     

格点多边形简介

<正>本刊2018年5月下的智慧窗第4题为算面积:图1中16个小方格组成的正方形,其中间画了一个三角形,你能指出此阴影三角形的面积是多大吗?参考答案是7个小方格.因为16-(4+3+2)=7(小方格)笔者估计,计算方法是以1个小方格的面积为1,然后从正方形ADFE中减去三个三角形△ABD,△BCF和△ACE的面积后得到结果的.其实,这是典型的求格点三角形面积问题的方法.先说说什么叫格点:一张方格纸,上面画着纵横两组平行线,