三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期

本文主要目的在于提出并証明一个关于三角多項式的恆等定理,并用以計算一些三角函数多項式的周期。此定理的証明沒有在书籍或文献中发现,因而这里的証法是否妥当,尚希讀者指正。 (一) 三角多項式的恒等定理在代数学中,把形为φ(x)=c_0+c_1x+c_2x~2+…+c_nx~n的函数叫做关于x的多項式,其中n是正整数或零,c_0,c_1,c_2,…,c_n都是常数。当c_n(?)0时,n称为多項式φ(x)的次数。同样地,对于形为 f(x)=a_0+(a_1cos x+b_1 sin x)++(a_2cos 2x+b_2 sin 2x)+…++(a_ncos nx+b_n sin nx)的函数叫做关于x的三角多項式,其中n是正整数,所有的a_i(i=0,1,2,…,n)与b_j(j=1,2,…,n)都是常数。当a_n与b_n真不同时为零时(或a_n~2+b_n~2)(?)0时),n称为三角多項式f(x)的次数。因而,三角多項式是关于角系数为正整数的正弦与余弦的綫性組合。     

余数定理的应用之一

在师范学校誹投数学課,应該如何联系小学实际以及如何体現出“居高临下”是师范学校教师們探討的問題。我认为有許多知識都可以直接指导小学算术知識的,这里仅以代数中的余数定理为例,談談我的看法,如有不正确之处,欢迎批評指教。余数定理是确定多項式f(x)除以(x-1)时所得余数的定理,当f(a)=0时說明f(x)能被(x-a)整除。这样,用余数定理就能迅速地判断f(x)能否被(x-a)整除。在小学算术中所研究的整数都是非負整数,它們都可以写成a_n·10~n+a_(n-1)·10~(n-1)+…+a_1·10+a_0的形式,其中a_i(i=0,1,2,…,n)都是数碼n是非負整数,因此它們都具有多項式f(x)=a_nx~n++a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0的形式。而x±a相当     

關于不定方程的三個定理

為了方便起見,現將本文中所用的幾個記號加以說明,並將涉及到的幾個整數性質加以叙述而不予證明。另外,凡本文中所用之字母,如a,b,c,…,若不加說明,皆指正整數而言。 幾個記號:(a_1,a_2,…,a_n)表示a_1,a_2,…,a_n的最大公約數;[a_1,a_2,…,a_n]表示a_1,a_2,…,a_n的最小公倍數,a|b表示a能除盡b。涉及到的幾個整數性質: Ⅰ. 若a,b為任何正整數,則ab-(a+b)≥-1。Ⅱ. 若(a_1,a_2,…,a_n)=d_n,則a_1=a′_1d_n,a_2=a′_2 d_n,…,a_n=a′_nd_n,且(a′_1,a′_2,…,a′_n)=1。Ⅲ. 若[a,b]=m,a|c,b|c,則m|c。Ⅳ. 如果在全是整數的等式k+l+…+n=p+q+…+s中,所有的項,除掉一項外,都是b的倍數,則這一項也一定是b的倍數(即b能除盡這一項)。     

两多項式最大公因式的簡易求法

两个多項式的最大公因式通常都是經过輾轉相除而求得,这种运算既煩瑣又容易出差錯,本文介紹一个新的簡易的求法。引理工Ⅰ体p上多項式f(x),g(x)的最大公因式和f(x),cg(x)的最大公因式相同,其中c是体P中任一非零元。引理Ⅱ体P上多項式f(x),g(x)的最大公因式和f(x),f(x) g(x)的最大公因式相同。引理Ⅲ如果不考虑因式x~(?)(这种因式徂容易判断,以下称为显然因式),则体P上多項式f(x),g(x)的最大公因式与f(x),xg(x)的最大公因式相同。在下列討論中,把多項式f(x)=ax~n a_1x~(n-1) … a_n-1~x a_n和g(x)=b_0x~n b_1x~(n-1) … b_(n-1)x b_n的最大公因式記成矩陣:     

非齐次线性微分方程解的复振荡

在本文中,研究了非齐次线性微分方程f~(k)+a_(k-1)f~(k-1)+…+a_0f=F k≥2(1)的解的复振荡.在下面定理1、定理2中,我们假定 a_(k-1),…,a_0为多项式,F 为具有无穷多零点的整函数,令1+(?)dega_(k-j)/j=M.     

求等差数前列n项和的一个公式

设a_0,a_2,…,a_n,a_(n+1),…为等差数列,其公差为d,则有公式 (?)a_i~3=(a_n·a_(n+1))~2+(a_1a_0)~2/4d 下面给出证明。给定n个等式。 (a_n~2+da_n)~2-(a_n~2-da_n)~3=4da_n~3; (a_(n-1)~2+da_(n-1))-(a_(n-1)~2-da_(n-1))~2=4da_(n-1)~3; (a_(n-2)~2+da_(n-2))~2-(a_(n-2)~3 2-da_(n-2))~2=4da_(n-2)~3,…, (a_3~2+da_3)~2-(a_3~2-da_3)~2=4da_3~3,     

常系数线性齐次递归式的一般解公式

本文给出常系数线性递归式 a_n=α_1a_(n-1)+α_2a_(n-2)+…+α_pa_(n-p),a_0=c_0,a_1=c_1,…,a_(p-1)=c_(p-1)的一般解公式 a_n=sum from k=0 to p-1(sum from i=k to p-1 c_iα_(p-i+k))F_(n-p-k)(n≥p),其中(?)     

限制零点个数的亚纯函数的正规定则

设k,n(≥k+1)是两个正整数,a(≠0),b是两个有穷复数,F为区域D内的一族亚纯函数.如果对于任意的f∈F,f的零点重级大于等于k+1,并且在D内满足f+a[L(f)]~n-b至多有n-k-1个判别的零点,那么F在D内正规·这里L(f)=f~((k))(z)+a_1f~((k-1))(z)+…+a_(k-1)f'(z)+a_kf(z),其中a_1(z),a_2(z),…,a_k(z)是区域D上的全纯函数.     

求幂级数和函数的部分分式法

<正> 设P_m(x)=a_0x~m+a_1x~(m-1)+…+a_(m-1)x+a_m。P_m(k)≠0,(k= 0,1,2,…,m)则有部分分式分解式     

一类递归数列求通项公式的两个基本方法

对一类简单的递归数列,在求其通项时,往往可归结到由递推式a_n±ka_(n-1)=c,(A)(k为非零常数且初始值a已知)求出a_n。怎样求a_n也就是如何消去a_(n-1),a_(n-2),…,a_2呢?下面就递推式(A)分两种情况来讨论。一、在(A)中若c不为零且它是与a_n无关的量,我们使用加法消元法,其具体步骤为 (一)递推:在(A)中令n分别为n,n-1,…,     

多項式值的几何求法

計算多項式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) a_2x~(n-2) … a_(n-1)x a_n的值。如所週知,可以用下面的方法ropnp来完成: P_0=a_0,P_1=P_0x a_1,P_2=P_1x a_2,…, …,P_n=P_(n-1)x a_n=f(x)。这些过渡的值P_1,P_2,…和最終的值可以用下面的方式几何地得到: (1)在与OX軸构成銳角的OY軸上,取(在正的方向)尺标綫段OM,通过点M引垂直于OX軸的直线ν。在OY軸上取线段OS,OS对应于要求算出f(x)的x值,(于是(?))过点S引出平行于OX軸的直线并与直线ν交于点P。直线OP在下面的研究中将起基础的作用, (2)在OY軸上取OO_0=a_0(較准确地說(?)     

2021年北京高考数学第21题的推广和变式北大核心

1试题回顾例1(2021年北京高考数学第21题)设p为实数,若无穷数列{a_(n)}同时满足如下三个性质,则称{a_(n)}为R_(p)数列:①a_(1)+p≥0且a_(2)+p=0;②a_(4n-1)相似文献   

三角在代数上的一个应用

指明一个实系数多項式P(x)是否有实根常常是一件很重要的事情。我們已經有施斗姆方法能指出P(x)实根的个数,当然也指出了非实复根的个数。下面仅提出一个P(x)有非实复根的充分条件作为三角在代数上的一个应用。定理实系数多項式P(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…++a_n当(a_1-a_3+a_5-…)~2+(1-a_2+a_4--…)~2≤1,a_n(?)0时,一定有非实复根。为了証明这个定理,我們先証明两个公式: sin(α_1+α_2+…+α_n)==cos α_1 cos α_2…cos α_n(T_1-T_3+T_5-…),(1)cos(α_1+α_2+…+α_n)==cos α_1 cos α_2…cos α_n(1-T_2+T_4-…),(2)其中T_k为tg α_1,tg α_2,…,tg α_n中每k个相乘相加k=1,2…n。为了証明公式(1),(2)采用如下的归納法:設有两个命題f(n),g(n)。1) 当f(1),g(1)都是真确的。2) 假設f(n-1),g(n-1)都是真确的,可以推出f(n),g(n)也是真确的。则对所有的自然数n,f(n),g(n)都是真确的。     

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

(二)用排列组合公式求数列的和

已知m,n∈N,且m相似文献   

一个递推公式及其应用

本文介绍一个递推公式及其在解题中的广泛应用。1 递推公式设F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥0,n∈Z),构造以x_1,x_2,…,x_k为根的方程: x~k+m_1x~(k-1)+m_2x~(k-2)+…+m_k=0 我们称这个方程为F(n)的特征方程,则F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥k,x∈Z)满足下列递推公式:     

t-可约二部分竞赛图的得分表偶

设 T_(m,n)是 m×n 二部分竞赛图,(X,T)是 T_(m,n)的顶点集合 V(T_(m,n)的有序分划,其中|X|=m,|Y|=n.设 X={x_1,x_2,…,x_m},Y={y_1,y_2,…,y_n}.顶点x_1,x_2,…,x_m 在 T_(m,n)中的得分依次为 a_1,a_2,…,a_m,a_1≤a_2≤…≤a_m;y_1,y_2,…,y_n 在 T_(m,n)中的得分依次为 b_1,b_2,…,b_n,b_1≤b_2≤…≤b_n.记 A=(a_1,a_2,…,a_m),B=(b_1,b_2,…,b_n).有序向量偶(A,B)称为 T_(m,n)的得分表偶.反之,给定有序非负整向量偶(A,B),其中 A=(a_1,a_2,…,a_m),a_1≤a_2≤…≤a_m,B=(b_1,b_2,…,b_n),b_1≤b_2≤…≤b_n,是否存在 m×n 二部分竞赛图 T_(m,n),使得(A,B)是 T_(m,n)的     

布尼雅可夫斯基不等式的推广

定理:不等式 (sum from i=1 to m(a_(1i) a_(2i)…a_(ni)))~n≤≤sum from i=1 to m(a_(1i))~n sum from i=1 to m(a_(2i))~n…sum from i=1 to m(a_(ni))~n對於任意自然數n都成立,其中a_(ki)為正數(K=1,2,…,n,i=1,2,…,m). 證明: 設 A_K~n=sum from i=1 to m(a_(Ki))~n (K=1,2,…,n), x_(Ki)=a_(Ki)/A_K,(K=1,2,…,n i=1,2,…,m)則從n侗正數的幾何平均值小於或等於其算術平均值這個結果可得 x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤((x_(1i))~n+(x_(2i))~n+…+(x_(ni))~n)/n由此更推得a_(1i)a_(2i)…a_(ni)=A_1A_2…A_n(x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤     

代数基本定理的概率证明及其推广

设C为复数域,P(z)=a_0z~n a_1z~(n-1) … a_n为一多项式,a_0≠0,a_0,a_1,…,a_n,z∈C,n≥1为自然数. 著名的代数基本定理是指: P(z)在C上至少有一个零点,即至少存在一个z∈C使P(z)=0. 该定理在方程论中起着基本的作用,它的函数论证法很多,本文从概率的观点出发,借助     

恆等于零的多項式定理在三角恆等式的証明上的应用

我們介紹关于恆等于零的多項式的定理在三角恆等式的証明上的应用。先証明下面对sin x和cos x的齐次多項式的定理: 定理如果M(sin x,cos x)是对于sin x和cos x的n次齐次多項式,且当自变量x的n+1个两两之差都不是n的倍数的值多項式为零,則M(sin x,cos x)≡0. 证 設已知多項式: 并且当x=α_i(这里i=1,2,3,…,n+1),而且其中任意两个之差不是π的倍数时,多項式为零。将数α_i代入已知多項式,得到: 先研究当α_i不具有π(2k+1)的形式,即α_i≠π/2(2k+1)的情况。用cos~nα_i除等式(1)的两端得到