The effects of non-uniform density and stagnation pressure on the breakdown characteristics of a vortex

Summary This paper is concerned with the extension of the theory of vortex breakdown, that was presented in previous publications by the present author and others, to cases of non-uniform density and non-uniform stagnation pressure outside the vortex core. The effects of radial density and velocity variations play an essential role for the layout of modern low-emission burners for premixed combustion. Furthermore, these effects turn out to be important with respect to an improved understanding of the formation of zones of flow recirculation in tornado-like vortices. With the help of the extension of a variational principle for axisymmetric flow to the case of non-uniform density it is possible to discuss inviscid flows of non-uniform density and stagnation pressure in great generality. A numerical solution method is given for general axisymmetric vortex flows, including flows that undergo vortex breakdown. The influences of density and stagnation pressure variations on vortex breakdown are analyzed in detail, for the special case of a generalized Rankine vortex. It is found that a radially increasing density leads to a reduction of the swirl number at which vortex breakdown occurs, whereas a radially decreasing axial velocity component in the approach flow of a vortex breakdown bubble leads to a substantially enlarged bubble. Finally, a Richardson number criterion is proposed for the scaling of a vortex breakdown bubble in a tornado.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Erweiterung der vom gleichen Autor und anderen entwickelten Theorie für Vortex Breakdown auf den Fall ungleichförmiger Dichte und ungleichförmigen Gesamtdrucks ausserhalb des Wirbelkerns. Diese Effekte spielen eine grundlegende Rolle für die Auslegung moderner emissionsarmer Vormischbrenner. Ausserdem spielen die Effekte ungleichförmiger Dichte- und Gesamtdruckverteilungen eine wichtige Rolle für ein verbessertes Verständnis der Rückströmblasen in tornadoartigen Wirbelströmungen. Mit Hilfe der Erweiterung eines Variationsprinzips für rotationssymmetrische Strömungen auf den Fall ungleichförmiger Dichte wird es möglich, rotationssymmetrische Strömungen ungleichförmiger Dichte in grosser Allgemeinheit zu untersuchen. Im besonderen kann auch das Verhalten von Vortex-Breakdown-Strömungen analysiert werden. Die Einflüsse ungleichförmiger Dichte- und Gesamtdruckverteilungen auf das Vortex-Breakdown-Phaenomen werden im speziellen Fall eines verallgemeinerten Rankine'schen Wirbels eingehend untersucht. Es zeigt sich, dass eine in radialer Richtung zunehmende Dichte zu einer Verkleinerung der Drallzahl führt, bei der Vortex-Breakdown auftritt. Eine in radialer Richtung abnehmende axiale Geschwindigkeitskomponente führt zu einer massiven Vergrösserung der Vortex-Breakdown-Blase. Schliesslich wird ein Richardsonzahl-Kriterium als Skalierungsgesetz für Vortex-Breakdown-Blasen in Tornadoströmungen vorgeschlagen.

     

The stability of time-dependent laminar flow: Parallel flows

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das allgemeine Problem der Stabilität inkompressibler, instationärer, paralleler und laminarer Strömungen zwischen zwei unendlichen Ebenen untersucht. Dabei werden sowohl die klassische linearisierte Theorie für Störungen mit kleiner Amplitude als auch eine Variationsmethode für Störungen endlicher Grösse angewandt. Die grundlegenden Lehrsätze der linearen Theorie werden, soweit dies für das allgemeine Problem möglich ist, erweitert und ihre Konsequenzen aufgezeigt. Unter Anwendung der Variationsmethode werden für mehrere besondere instationäre Strömungen quantitative Ergebnisse gezeigt, aber die hier entwickelten Gleichungen können ebenso auf jedwede parallele Strömung angewendet werden. Das stationäre Problem ist als ein besonderer Grenzfall behandelt.     

Integral properties of flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions

Summary Total momentum flux considerations lead simply to integral properties of five examples of viscous flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions. The integral results may be inferred from the velocity distributions at the slots only. This simplicity of integral properties holds for a wider class of flows subject to mixed conditions: the no-shear slots may be distributed irregularly and may occur in two separate surfaces (parallel plates or concentric tubes). It carries over also to analogous slow flows with arbitrary distributions of no-shear patches in the boundaries. The work yields a number of definite integrals.

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Zusammenfassung Betrachtung des Gesamt-Impulses gibt Integral-Eigenschaften von zähen Strömungen an fünf Beispielen mit gemischten Randbedingungen (Haften und Gleiten). Die Integrale können von der Geschwindigkeitsverteilung an den Schlitzen allein (Gleiten) abgeleitet werden. Diese einfachen Integral-Eigenschaften gelten für eine weite Klasse von Strömungen mit gemischten Randbedingungen; die Schlitze können beliebig verteilt sein und sich auf verschiedenen Flächen befinden. Resultate können auf langsame Strömungen mit beliebigen Schlitzen der Begrenzung übertragen werden. Die Verallgemeinerung zur Strömung zwischen konzentrischen Rohren mit einem oder mehreren Längs-Schlitzen wird angegeben.

     

Computation of transitions in Taylor vortex flows

The very reliable numerical methods of [15, 18] were used for the investigation of axisymmetric flows between infinitely long rotating cylinders. Solutions consisting of vortices of different sizes were detected. Varying both the wavelength of the vortices and the Reynolds number, we showed that the solutions are intermediate states between solutions with equally sized vortices (transitions from 2 to 4 and from 2 to 6 vortices).

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Zusammenfassung Die sehr zuverlässigen numerischen Methoden von [15, 18] wurden zur Berechnung von axialsymmetrischen Strömungen zwischen unbeschränkt langen, rotierenden Zylindern benutzt. So wurden Lösungen gefunden, die aus Wirbeln unterschiedlicher Größen bestehen. Durch Variation der Wellenlänge der Wirbel und der Reynoldszahl wurde gezeigt, daß diese Lösungen Übergangszustände sind zwischen verschiedenen Lösungen mit Wirbeln einheitlicher Größe (Übergänge von 2 zu 4 und von 2 zu 6 Wirbeln).

     

The stability of time-dependent laminar flow: Flow with curved streamlines

Zusammenfassung Das Problem der Stabilität laminarer, inkompressibler und stationärer Strömungen mit gekrümmten Stromlinien wird hier ausführlich untersucht. Im Gegensatz zur klassischen Behandlung der Stabilität, wo die untersuchten Strömungen stationär sind und wo Stabilität genau definert ist, bedarf dieses System zur Lösung einer neuen Basis. Interpretation und Formulierung dieser neuen Basis werden vorgenommen, und drei Definitionen werden als die wichtigsten herausgestellt. Bei Anwendung dieser Kennzeichen auf neutrale Stabilität und durch Erweiterung der vonOrr für parallele Strömungen entwickelten Analyse, wird für die kritische Reynolds-Zahl ein Mindestwert als eine Funktion der Zeit errechnet. Für den Fall einer Strömung zwischen konzentrischen Kreiszylindern mit einer stationären und einer Schwingungskomponente in der Zeit werden quantitative Ergebnisse geboten. Das stationäre Problem wird in diesem Zusammenhang als ein spezieller Grenzfall behandelt.     

The effects of streamline curvature and spanwise rotation on near-surface,turbulent boundary layers

A second moment closure model is used to study the mean fields and turbulence structure of spanwise rotating flows and flows with streamline curvature. The effects of flow stabilization and destabilization by rotation and/or curvature and their interpretation in terms of a Rayleigh instability mechanism are discussed in the context of the present model. When applied to the constant flux layer adjacent to a bounding surface, the model provides a similarity theory for flows with spanwise rotation and streamline curvature like that of Monin-Obukhov in the case of density stratified flows. In particular, it is shown that Bradshaw's empirical length scale correction can be derived in terms of the basic constants of the model determined in the absence of rotation and curvature. Also, direct comparisons with experimental data confirm the model predictions. The definitions of strong and mild curvature are discussed and a distinguishing criterion derived.

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Zusammenfassung Gemittelte Strömungsfelder und Turbulenzcharakteristiken werden bestimmt mittels eines numerischen Modelles mit Momenten zweiter Ordnung als Ciosure für lateral rotierende Strömungen und mit gekrümmten Stromlinien. Stabilisierungs- und Destabilisierungseffekte infolge Rotation und/oder Krümmung werden als Raleigh-Instabilitäten im Zusammenhang mit dem Modell diskutiert. Wenn angewandt auf die Konstant-Scherspannungszone in Grenzschichten, liefert das Modell eine Ähnlichkeitstheorie für Strömungen mit lateraler Rotation und Stromlinienkrümmung, vergleichbar dem Falle des Monin-Obukhov Modelles für geschichtete Strömungen. Es wird insbesondere gezeigt, dass Bradshaws empirische Längenkorrektur sich aus den Grundkonstanten des Modelles ergibt für den Grenzfall ohne Rotation und Krümmung. Direkter Vergleich mit experimentellen Daten bestätigt die Rechnungen. Die Definitionen von starker und schwacher Krümmung werden diskutiert und ein Unterscheidungskriterium eingeführt.

     

Force- and loss-free transitions between flow states

Summary Force- and loss-free transitions between flow states in channels and vortex tubes are investigated. It is shown that in general a force-free transition appears either as a single transition which produces an entropy increase and connects an upstream supercritical flow state to a downstream subcritical flow state, or it appears as a two-stage transition, in which an isentropic transition leading to a second supercritical flow state is followed by a transition which produces an entropy increase and leads to a subcritical flow state. Depending on the downstream boundary condition either the single or the two-stage transition appears. For a certain regime of downstream boundary conditions both types of transitions are possible. Which of the two appears depends upon the startup of the flow. The result is a hysteresis. It is suggested that a particular kind of vortex breakdown can be understood in terms of the two transition types considered. Moreover, an apparent paradox is resolved which is associated with the fact that a vortex flow in a diffuser approaches the critical state. The analysis is based on an extension of a variational principle proposed by Benjamin [1]. Complete numerical results are presented which show loss-free transitions (including their internal structure) in a Rankine vortex.

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Zusammenfassung Es werden kräfte- und verlustfreie Übergänge zwischen Strömungszuständen betrachtet. Es wird gezeigt, daß ein allgemeiner kräftefreier Übergang entweder als einfacher anisentroper Übergang auftritt, der von einem überkritischen zu einem unterkritischen Strömungszustand führt, oder als zweistufiger Übergang, wobei einem isentropen Übergang, der zu einem zweiten überkritischen Strömungszustand führt, ein anisentroper nachfolgt, der schließlich zu einem unterkritischen Zustand führt. Ob der einfache oder der zweistufige Übergang auftritt, hängt von der stromabwärts aufgeprägten Randbedingung ab. Innerhalb eines bestimmten Bereiches solcher Randbedingungen sind beide Arten von Übergängen möglich. Es hängt in diesem Fall von der Vorgeschichte ab, welche der Übergangsarten auftritt. Die Lösung besitzt also einen Hysteresecharakter. Es wird postuliert, daß eine Art von ortex-Breakdown mit Hilfe dieser beiden Übergangsarten erklärt werden kann. Außerdem wird ein scheinbares Paradoxon geklärt, welches mit der Tatsache zusammenhängt, daß eine Wirbelströmung in einem Diffusor dem kritischen Zustand entgegenstrebt. Die Theorie basiert auf einer Verallgemeinerung eines von Benjamin [1] vorgeschlagenen Variationsprinzips. Es werden vollständige numerische Resultate angegeben, die verlustfreie Übergänge (einschließlich ihrer inneren Struktur) in einem Rankine'schen Wirbel zeigen.

     

Lifting-line theory of swept wings based on the full potential theory

The asymptotic theory of high-aspect-ratio transonic swept wings of Refs. [2–5] is extended to irrotational compressible flows based on equations of the full-potential theory. The formulation allows for imbedded supercritical flows with shocks; the results are applicable to oblique wings, swept-back as well as swept-forward wings, but restricted to planforms with centerlines composed of straight segments. The free-stream velocity is assumed to remain below the sonic speed. For a wing geometry generated from a single airfoil shape, the reduced system of 2-D equations admits solutions with similarity structures, permitting the problem to be solved only once for all span stations. The application of the theory is expected to lead to a substantial improvement over the earlier analysis of transonic swept wings based on the small-disturbance theory, concerning the accurate determination of inviscid drag and lift. The study provides also a basis for examining the influence of the trailing vortex sheet geometry, which are incompletely accounted for in current 3-D computer programs.

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Zusammenfassung Die asymptotische Theorie von transonischen gepfeilten Flügeln mit hohem Seitenverhältnis (Ref. [2]–[5]) wird erweitert auf wirbelfreie kompressible Strömungen mit Verwendung der Gleichungen der vollständigen Potentialtheorie. Die Formulierung gestattet die Behandlung von eingeschlossenen superkritischen Gebieten mit Stößen; die Resultate sind für schiefe, rückwärts- und vorwärtsgepfeilte Flügel verwendbar, sind aber auf Flügelgrundrisse mit streckenweise geraden Mittellinien beschränkt. Die Anströmgeschwindigkeit liegt immer unterhalb der Schallgeschwindigkeit. Für Flügelgeometrien die durch ein einziges Profil erzeugt werden, gestattet ein reduziertes System in zwei Dimensionen Lösungen mit einer Ähnlichkeits-Struktur, die eine Lösung für alle Stationen entlang der Spannweite liefert. Betreffend der genauen Bestimmung von Widerstand und Auftrieb wird von der Theorie eine wesentliche Verbesserung gegenüber der Analyse von Pfeilflügeln erwartet, die auf der Theorie von kleinen Störungen basiert. Die Arbeit gibt auch die Grundlage für eine Untersuchung des Einflusses von abgehenden Wirbeln, die in bisherigen dreidimensionalen Computer-Programmen nur unvollständig berücksichtigt worden sind.

     

A boundary integral method for the numerical computation of the forces exerted on a sphere in viscous incompressible flows near a plane wall

Slow uniform flows of a viscous, incompressible fluid past a rigid sphere near a plane wall are considered. The drag and lateral forces exerted on the sphere by the fluid are computed. The numerical results are compared with existing theoretical and experimental data for these and related fluid flows. They are based on a boundary element method for various linearized boundary value problems.

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Zusammenfassung Es werden langsame, gleichförmige Strömungen einer zähen, inkompressiblen Flüssigkeit um eine starre Kugel in der Nähe einer ebenen Wand betrachtet. Die von der Flüssigkeit auf die Kugel ausgeübten Widerstands- und Querkräfte werden berechnet. Die numerischen Ergebnisse werden mit bestehenden, theoretischen und experimentellen Daten für diese und verwandte Strömungen verglichen. Sie basieren auf einer Randelementmethode für verschiedene, linearisierte Randwertprobleme.

     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

Comments on extended pressure-strain correlation models

The importance of including additional terms for rapid distortion and return to isotropy in the modeling of the pressure-strain correlation in turbulent shear flows under the influence of external body forces is examined. Simplications of the Reynolds-stress equations are made by invoking the two-dimensional boundary layer approximations and assuming that production of turbulence energy balances viscous dissipation. Results indicate that for small external body forces a Monin-Oboukhov formula for the mixing-length is again obtained. However, the effects of the additional rapid distortion and return to isotropy terms on the formula are negligible when compared with the use of the simple return to isotropy term proposed by Rotta. In view of this, significant improvement on mixing-length closure models could not be obtained by refining the simple Rotta model for the pressure-strain correlation.

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Zusammenfassung Die Wichtigkeit des Einschlusses zusätzlicher Ausdrücke zur Berücksichtigung schneller Formänderung und Rückkehr in den isotropischen Zustand beim Aufstellen des mathematischen Druck-Formänderungskorrelationsmodelles in turbulenten Strömungen mit Scherspannung unter Einfluß äußerer Körperkräfte wird untersucht. Vereinfachungen der Reynolds-Spannung unter werden durch die Anwendung der zweidimensionalen Grenzschichtnäherungen und auch durch die Annahme, daß die Erzeugung turbulenter Energie die viskose Dissipation ausgleicht, erreicht. Ergebnisse haben gezeigt, daß man für kleine äußere Körperkräfte wieder eine Monin-Oboukhov-Gleichung für die Mischstreckenlänge erhält. Der Einfluß der zusätzlichen schnellen Formänderung und der Rückkehr in den isotropen Zustand auf die Gleichung ist jedoch vernachlässigbar, wenn man ihn mit dem von Rotta vorgeschlagenen Ausdruck zur Berücksichtigung der Rückkehr in den isotropen Zustand vergleicht. Aus diesem Grunde war es nicht möglich, eine bedeutende Verbesserung von Modellen für Mischstreckenlängen durch Verfeinerung des einfachen Rotta-Modelles für die Druck-Formänderungskorrelation zu erreichen.

     

Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I

Zusammenfassung Der in der Ergodentheorie der Strömungen fundamentale Satz vonAmbrose [2] über die Darstellung meßbarer Strömungen durch Strömungen unter einer Funktion wird in verschiedener Hinsicht verallgemeinert. Im vorliegenden Teil I der Arbeit betrachten wir konservative und dissipative Strömungen in -endlichen Maßräumen. Für dissipative Strömungen wird durch unseren Satz das Isomorphieproblem auf ein unter schwachen Regularitätsbedingungen gelöstes Problem zurückgeführt.Der Darstellungssatz für konservative Strömmungen gestattet analog zu [1] die Beantwortung von Fragen über die Entropie konservativer Strömungen [8]. Darauf gehen wir in einem folgenden Teil II der Arbeit näher ein, in dem wir allgemeiner Halbströmungen betrachten. Die Darstellungssätze für Halbströmungen (und ihre Beweise) sind jedoch soviel komplizierter, daß es zweckmäßig erschien, die hier behandelten Sätze gesondert zu veröffentlichen, zumal der Spezialfall von Strömungen weitergehende Aussagen (Satz 3.2) gestattet.     

Flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions

Summary Solutions are presented which describe eight viscous flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions: 1. shear flow over a plate with a longitudinal no-shear slot; 2, shear flow over a plate with a regular array of such stots; 3. flow in a circular tube with one or more such slots; 4. flows between two parallel plates with a longitudinal no-shear slot in one of them; 5. flows between two parallel plates with a regular array of such slots in one of them; 6. shear Stokes flow over a plate with a transverse no-shear slot; 7, shear Stokes flow over a plate with a regular array of such slots; 8. Stokes flow due to a two-belt stirer. The solutions carry over to appropriate applications in diffusion, heat conduction, electricity, and elasticity.

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Zusammenfassung Acht Beispiele für Strömungen einer zähen, unzusammendrükbaren Flüssigkeit, die gemischte Randbedingungen erfüllen (Haften und Gleiten) werden gegeben: 1. Scherströmung über eine Platte mit einem längsgerichteten Schlitz ohne Schubspannung; 2. Scherströmung über eine Platte mit senkrecht angeordneten Schlitzen; 3. Strömung in einem zylindrischen Rohr, mit einem oder mehreren Schlitzen; 4. Strömungen zwischen zwei parallelen Platten mit einem längsgerichteten nichtscherenden Schlitz in einer Platte; 5. Strömungen zwischen zwei parallelen Platten mit einer senkrechten Anordnung solcher Schlitze in einer Platte; 6. Stokes Scherströmung über einer Platte mit einer senkrechten Anordnung finden auch Anwendungen auf Probleme der Diffusion, Wärmeleitung, Elektrizität und Elastizität.

     

Boundary effects on granular shear flows of smooth disks

Summary We obtain boundary conditions for two-dimensional flows of identical, nearly elastic, circular disks that interact with a flat wall to which identical, evenly spaced half-disks have been attached. Expressions for the transfer of momentum and energy from the boundary to the flow are obtained by statistical averaging over all possible wall-flow disk collisions. We improve upon the expressions derived by Jenkins and Richman [1986] by employing in the averaging process a more elaborate velocity distribution function obtained through the method of moments. In addition we expand the distribution function about a point near the flat wall that guarantees positive slip velocities. With these boundary conditions, we analyze a two-dimensional shear flow driven by parallel bumpy boundaries. The constitutive theory employed includes both the effects of particle collisions and particle transport on the transfer of momentum and energy throughout the flow. We demonstrate how the resulting profiles of velocity, granular temperature, and solid fraction are affected by changes in the geometry of the boundary. We also predict how the induced stresses vary with the geometry of the boundary and the average solid fraction within the flow.

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Zusammenfassung Wir erhalten die Randbedingungen für die zweidimensionale Strömung identischer, beinahe elastischer, runder Scheiben, die sich in Wechselwirkung mit einer geraden Wand befinden, an der in gleichmäßigen Abständen Halbscheiben angebracht sind. Es werden Ausdrücke für die Übertragung von Impuls und Energie vom Rand auf den Strom aufgestellt, die durch den statisch errechneten Durchschnitt aller möglichen Scheibenkollisionen Wand-Strom erhalten werden. Wir verbessern die von Jenkins und Richman (1986) entwickelten Ausdrücke dadurch, daß bei der Berechnung der Mittelwerte eine erweiterte Geschwindigkeitsverteilung, die auf der Momentmethode beruht, einbezogen wurde. Außerdem entwickeln wir die Verteilungsfunktion an einem Punkt so nahe an der Wand, daß positive Gleitgeschwindigkeiten garantiert sind. Wir untersuchen eine zweidimensionale Scherströmung mit diesen Randbedingungen, die durch die parallelen unebenen Ränder getrieben wird. Die konstitutive Theorie, die wir anwenden, beinhaltet sowohl den Einfluß der Teilchenkollisionen als auch den des Teilchentransports auf die Übertragung von Impuls und Energie innerhalb der Strömung. Wir zeigen, wie die Profile der Geschwindigkeit, der Granu-lartemperatur und des Festkörperanteils, die sich ergeben, durch Veränderungen der Randgeometrie beeinflußt werden. Weiterhin können wir voraussagen, wie die erzeugten Spannungen sich mit der Randgeometrie und dem im Strom enthaltenen Festkörperanteil verändern.

     

Nonideal magnetogasdynamic flows in boundary layer approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden schwach konvergierende und schwach divergierende MGD-Strömungen in der Grenzschichtnäherung untersucht. Das Verhalten dieser magnetischen Grenzschicht, charakterisiert durch alleinige Berücksichtigung der magnetischen Viskosität und Vernachlässigung der dynamischen Viskosität, wird durch die starke Kopplung zwischen Magnetfeld und Strömungsfeld bestimmt. Es werden im allgemeinen durch diese Kopplung die MGD-Grenzschichtgleichungen komplizierter, so dass deren analytische Lösung nur mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen möglich ist. Nur im GrenzfallR _M (magnetische Reynoldszahl sehr gross) erhält man eine analytische Lösung. Mit Hilfe bestimmter Symmetriebedingungen werden die Lösungen auf symmetrische Strömungen eingeschränkt (freier Strahl oder Kanalströmungen). Schliesslich wird noch gezeigt, dass die endliche elektrische Leitfähigkeit die Ursache der freien Turbulenz gewisser Jet-Konfigurationen ist.

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This research has been sponsored in part by the United States Government under Contract No. F61052-67-C-0014.     

A second moment closure model for MHD turbulence

A second moment turbulence closure model of the type used before for flows with density stratification, frame rotation and streamline curvature is augmented to describe MHD flows with small magnetic Reynolds number. It is shown that all three configurations of the constant unidirectional magnetic field (longitudinal, transverse and azimuthal) suppress the components of the Reynolds stress tensor as well as turbulence energy. Criterions are derived for the extinction of 3-D turbulence based on magnetic Richardson numbers. Monin-Obukhov type similarity theory is developed for MHD turbulent flows. The combined effect of longitudinal magnetic field and spanwise rotation is considered. A discussion is presented on the extra strains exerted by the electromagnetic force compared to the effects of buoyancy, frame rotation and streamline curvature.

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Zusammenfassung Ein Turbulenzmodell mit Schlieung zweiter Ordnung, das bisher für Strömungen mit Dichteschichtung, rotierenden Bezugssystem und gekrümmten Stromlinien benutzt wurde, wird hier zur Beschreibung von MHD-Strömungen mit kleiner magnetischer Reynoldszahl erweitert. Es wird gezeigt, da alle drei Anordnungen eines konstanten, in einer Richtung verlaufenden Magnetfeldes (longitudinal, transversal und azimuthal) sowohl die Komponenten des Reynoldsschen Schubspannungstensors als auch die turbulente Energie reduzieren. Es werden Kriterien für die Auslöschung der 3D-Turbulenz abgeleitet, die auf der magnetischen Richardsonzahl beruhen, Für turbulente MHD-Strömungen wird eine Ähnlichkeitstheorie vom Monin-Obukhov Typ entwickelt. Der kombinierte Effekt von longitudinalen Magnetfeld und Rotation senkrecht zur Strömungsrichtung wird betrachtet. Die durch die elektromagnetische Kraft bewirkte zusätzliche Deformation wird im Vergleich zu den Effekten von Auftrieb, Rotation des Bezugssystems und Krümmung der Stromlinien diskutiert.

     

Combinations of parallel and sink flows at low reynolds number: Models for duct-bifurcation

Explicit solutions and corresponding wall vorticities are calculated for Stokes flows in which a fraction of the flux of a plane or axisymmetric duct flow is forced to leave the duct via a wall sink.

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Zusammenfassung Explizite Lösungen und die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes an den Wandoberflächen für Stokes-Strömungen durch ebene und axisymmetrische Kanäle werden angegeben. Der Einfluß einer Senke, — die einen Anteil der Durchströmmenge absorbiert —, in der Kanalwand wird berechnet.

     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.     

A criterion for the stability of heterogeneous swirling flows

Zusammenfassung Ein hinreichendes Stabilitätskriterium für reibungsfreie, schraubenförmige Strömungen, mit radialabhängiger Dichte, zwischen zwei koaxialen Zylindern wird abgeleitet. Es zeigt sich, dass solche Strömungen gegen willkürliche, kleine Störungen stabil sind, wenn die Zirkulation und die Dichte monoton zunehmende Funktionen der Radialrichtung sind, aber gleichzeitig die Radialableitungen der Geschwindigkeitskomponente klein bleiben.