Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

Bounds on the transport of mass and momentum by turbulent flow between parallel plates

Zusammenfassung Es werden exakte Schranken für den Transport von Impuls in der turbulenten ebenen Couette-Strömung und für den Durchfluss in turbulenter Poiseuille Strömung abgeleitet. Eine der beiden jeweiligen Schranken ist durch den der laminaren Strömung entsprechenden Wert gegeben. Die andere Schranke wird mit Hilfe eines Variationsproblems bestimmt. Ähnliche Schranken lassen sich in anderen turbulenten Transportproblemen gewinnen. Das Variationsproblem enthält als Spezialfall das Reynolds-Orrsche Variationsproblem, durch welches eine untere Grenze für die Reynoldszahl bestimmt wird, unterhalb derer die laminare Strömung absolut stabil ist.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Influence of body forces on turbulent transport near a surface

By examining the asymptotic approach of turbulent flow to a surface, using a simplified second-order closure model of turbulent transport, the law of the wall region is extended to include the influence of body forces in an equilibrium layer. The limit of large Reynolds number is considered so the flow is only a function of surface shear stress, surface roughness, and the nature of the body force. After development of the general formulation, application to two particular flows, a rotating flow adjacent to a stationary surface and the neutral planetary boundary layer, provide examples where the region of validity is an order of magnitude larger than the usual logarithmic wall layer.

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Zusammenfassung Das Wandgesetz für turbulente Strömung wird auf den Fall erweitert, dass auch Körperkräfte auftreten. Dazu wird das asymptotische Verhalten der turbulenten Strömung in Wandnähe untersucht. Zum Schliessen des Gleichungssystemes wird ein vereinfachtes Modell zweiter Ordnung für den turbulenten Transport verwendet. Der Grenzfall sehr grosser Reynoldszahlen wird betrachtet, sodass die Strömung nur von der Wandschubspannung, der Wandrauhigkeit und der Natur der Körperkräfte abhängt. Nach herleitung der allgemeinen Zusammenhänge werden zwei Anwendungen gegeben. Es wird gezeigt, dass für Drehströmung über einer festen Wand und für eine Atmosphärengrezschicht der Geltungsbereich des Wandgesetzes eineGrössenordnung grösser wird als beim bekannten, logarithmischen Wandgesetz.

     

Thin film flowing down a curved surface

The film flow down a curved surface is analysed by an orthogonal curvilinear system and a perturbation in the small ratio of film thickness to minimum radius of curvature. General solutions are obtained to second order. The results are applied to plates with exponential curvature and sinusoidal curvature. Separation is most likely to occur on the upstream sides of a wavy plate.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer dünnen Schicht entlang einer gekrümmten Fläche untersucht, mit Hilfe eines krummlinigen orthogonalen Koordinatensystems und einer Entwicklung, bei dem das Verhältnis von Schichtdicke zu (minimalem) Krümmungsradius als kleiner Parameter dient. Es werden allgemeine Lösungen bis zur zweiten Ordnung angegeben. Die Ergebnisse werden auf Platten mit exponentieller und sinusförmiger Krümmung angewendet. Ablösung wird am wahrscheinlichsten an Stellen stromaufwärts an einer gewellten Platte auftreten.

     

Heat transfer and Reynolds' analogy in a turbulent flow with heat release

Zusammenfassung Es wird die Wärmeübertragung von und zu einer voll entwickelten, wärmeabgebenden, turbulenten Strömung in einem Rohr analysiert. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird die partielle Randwertaufgabe der Temperaturverteilung in einem Rohr von kreisförmigem Querschnitt auf eine gewöhnliche Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe zurückgeführt. Die entsprechenden Eigenwerte und Eigenfunktionen können nun mittels des Ritzschen Verfahrens für verschiedene Werte der Prandtlschen und Reynoldsschen Zahlen berechnet werden.Die Verteilung der Temperatur und des Wärmeflusses entlang der Wand erhält man in Form einer Reihe, deren Glieder diese Eigenwerte und Eigenfunktionen enthalten. Durch Verallgemeinerung des Prandtlschen Wärmequellen-Satzes wird die Reynoldssche Analogie der Wärmeübertragung und der flüssigen Reibung für eine wärmeabgebende turbulente Strömung erweitert.Die genaue asymptotische Wärmefluss und Temperaturverteilung, die man erhält, gestattet eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Anwendung der Ritzschen Methode und der daraus folgenden Reihenentwicklung erhalten würde. Diese Analyse kann für die wärmeabgebenden turbulenten Strömungen in Atomreaktoren angewendet werden.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Scientific Research of the ARDC, US Air Force under Contract AF 18 (603)-104.     

Skin friction and heat transfer on a circular cylinder moving in a fluid at rest

Summary The incompressible laminar stationary flow along a circular cylinder drawn through an orifice with constant velocity is studied. The surrounding fluid is at rest. (Manufacture of fibers.) For skin friction and heat transfer, a solution for high values of Reynolds number is given in the form of an asymptotic expansion. The special second-order effects, entrainment and curvature, are studied. It is shown that the entrainment effect becomes important for skin friction when the distance from the orifice is small, whereas the influence on heat transfer is small. The curvature effect on skin friction and heat transfer is given as a function of Reynolds number and distance from the orifice.

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Zusammenfassung Es wird die inkompressible, laminare und stationäre Strömung entlang eines mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Kreiszylinders untersucht, der aus einer Öffnung hervortritt (Spinnprozeß). Das umgebende Fluid in großer Entfernung vom Zylinder befinde sich dabei in Ruhe. Für die Schubspannung und den Wärmeübergang bei großen Reynoldszahlen wird eine Lösung in Form einer asymptotischen Entwicklung angegeben. Insbesondere werden die Effekte 2. Ordnung, Verdrängung und Krümmung, untersucht. Es wird gezeigt, daß der Verdrängungseffekt für kleine Abstände von der Zylinderaustrittsöffnung für die Schubspannung von Bedeutung wird, wohingegen der Wärmeübergang dadurch nur wenig beeinflußt wird. Der Einfluß der Krümmung auf die Wandschubspannung und den Wärmeübergang wird als Funktion der Reynoldszahl und des Abstandes von der Zylinderaustrittsöffnung angegeben.

     

Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

The stability of time-dependent laminar flow: Flow with curved streamlines

Zusammenfassung Das Problem der Stabilität laminarer, inkompressibler und stationärer Strömungen mit gekrümmten Stromlinien wird hier ausführlich untersucht. Im Gegensatz zur klassischen Behandlung der Stabilität, wo die untersuchten Strömungen stationär sind und wo Stabilität genau definert ist, bedarf dieses System zur Lösung einer neuen Basis. Interpretation und Formulierung dieser neuen Basis werden vorgenommen, und drei Definitionen werden als die wichtigsten herausgestellt. Bei Anwendung dieser Kennzeichen auf neutrale Stabilität und durch Erweiterung der vonOrr für parallele Strömungen entwickelten Analyse, wird für die kritische Reynolds-Zahl ein Mindestwert als eine Funktion der Zeit errechnet. Für den Fall einer Strömung zwischen konzentrischen Kreiszylindern mit einer stationären und einer Schwingungskomponente in der Zeit werden quantitative Ergebnisse geboten. Das stationäre Problem wird in diesem Zusammenhang als ein spezieller Grenzfall behandelt.     

The effects of streamline curvature and spanwise rotation on near-surface,turbulent boundary layers

A second moment closure model is used to study the mean fields and turbulence structure of spanwise rotating flows and flows with streamline curvature. The effects of flow stabilization and destabilization by rotation and/or curvature and their interpretation in terms of a Rayleigh instability mechanism are discussed in the context of the present model. When applied to the constant flux layer adjacent to a bounding surface, the model provides a similarity theory for flows with spanwise rotation and streamline curvature like that of Monin-Obukhov in the case of density stratified flows. In particular, it is shown that Bradshaw's empirical length scale correction can be derived in terms of the basic constants of the model determined in the absence of rotation and curvature. Also, direct comparisons with experimental data confirm the model predictions. The definitions of strong and mild curvature are discussed and a distinguishing criterion derived.

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Zusammenfassung Gemittelte Strömungsfelder und Turbulenzcharakteristiken werden bestimmt mittels eines numerischen Modelles mit Momenten zweiter Ordnung als Ciosure für lateral rotierende Strömungen und mit gekrümmten Stromlinien. Stabilisierungs- und Destabilisierungseffekte infolge Rotation und/oder Krümmung werden als Raleigh-Instabilitäten im Zusammenhang mit dem Modell diskutiert. Wenn angewandt auf die Konstant-Scherspannungszone in Grenzschichten, liefert das Modell eine Ähnlichkeitstheorie für Strömungen mit lateraler Rotation und Stromlinienkrümmung, vergleichbar dem Falle des Monin-Obukhov Modelles für geschichtete Strömungen. Es wird insbesondere gezeigt, dass Bradshaws empirische Längenkorrektur sich aus den Grundkonstanten des Modelles ergibt für den Grenzfall ohne Rotation und Krümmung. Direkter Vergleich mit experimentellen Daten bestätigt die Rechnungen. Die Definitionen von starker und schwacher Krümmung werden diskutiert und ein Unterscheidungskriterium eingeführt.

     

Critical reynolds number for a spherical particle in plane couette flow

Zusammenfassung Es wird die Bewegung eines kleinen sphärischen Teilchens in einer Couette-Strömung untersucht. Wenn die Reynolds-Zahl grösser ist als ein kritischer Wert, so wird die Teilchen-Bewegung in laminarer Strömung instabil und verursacht Turbulenz; unterhalb des kritischen Wertes bleibt die Strömung laminar. Die kritische Reynolds-Zahl (auf Teilchen-Durchmesser und Geschwindigkeitsgradient basierend) hängt nur vom Dichteverhältnis zwischen der Flüssigkeit und der Kugelab.     

Heat transfer modeling for turbulent shear flows on curved surfaces

This paper examines two models for two-dimensional curved flow heat transfer. Both models are based on the assumption of local-equilibrium turbulence. Yet, one model predicts an increase for the turbulent Prandtl number with convex curvature, while the other gives the opposite behavior. Through examination of the near wall temperature profiles, it is possible to identify the correct behavior for turbulent Prandtl number. It is found that the turbulent Prandtl number for curved flows increases with convex curvature. The discrepancy between the two models is traced to the modeling terms proposed for the pressure-temperature-gradient correlation and for wall corrections. While the introduction of the rapid component and the wall corrections in the modeling of the pressure-strain correlation do not affect the behavior of the resultant shear stress, these modeling terms in the pressure-temperature-gradient correlation cause the turbulent Prandtl number to decrease with convex curvature.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden zwei Modelle für zweidimensionale Wärmeübertragung in gekrümmten Strömungen untersucht. Beide Modelle basieren auf der Annahme von lokalem Gleichgewicht innerhalb der turbulenten Strömung. Trotzdem resultiert das eine Modell in einer Erhöhung der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Krümmungen, während das zweite Modell genau das Gegenteil vorhersagt. Es ist möglich, durch Untersuchung des Temperaturprofiles in Wandnähe das korrekte Verhalten der turbulenten Prandtl-Zahl zu identifizieren. Es stellt sich dabei heraus, daß die turbulente Prandtl-Zahl für gekrümmte Strömungen in konvexen Kurven zunimmt. Der Widerspruch zwischen den beiden Modellen läßt sich auf die Abbildungsausdrücke zurückführen, die für die Wechselbeziehungen zwischen den Druck- und Temperaturgradienten und die für die Wandkorrekturen angesetzt worden sind. Während die Einführung der schnellen Komponente und die Wandkorrekturen in der Darstellung der Wechselbeziehung zwischen Druck und Beanspruchung keinen Einfluß auf das Verhalten des resultierenden Schubdruckes haben, verursachen diese Darstellungsausdrücke für die Wechselbeziehung zwischen Druck- und Temperaturgradienten ein Abnehmen der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Kurven.

     

The stability of time-dependent laminar flow: Parallel flows

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das allgemeine Problem der Stabilität inkompressibler, instationärer, paralleler und laminarer Strömungen zwischen zwei unendlichen Ebenen untersucht. Dabei werden sowohl die klassische linearisierte Theorie für Störungen mit kleiner Amplitude als auch eine Variationsmethode für Störungen endlicher Grösse angewandt. Die grundlegenden Lehrsätze der linearen Theorie werden, soweit dies für das allgemeine Problem möglich ist, erweitert und ihre Konsequenzen aufgezeigt. Unter Anwendung der Variationsmethode werden für mehrere besondere instationäre Strömungen quantitative Ergebnisse gezeigt, aber die hier entwickelten Gleichungen können ebenso auf jedwede parallele Strömung angewendet werden. Das stationäre Problem ist als ein besonderer Grenzfall behandelt.     

Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part I: Pressure distribution

Summary Asymptotic solutions are derived for the pressure distribution in the interaction of a weak normal shock wave with a turbulent boundary layer. The undisturbed boundary layer is characterized by the law of the wall and the law of the wake for compressible flow. In the limiting case considered, for high transonic speeds, the sonic line is very close to the wall. Comparisons with experiment are shown, with corrections included for the effect of longitudinal wall curvature and for the boundary-layer displacement effect in a circular pipe.

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Zusammenfassung Asymptotische Lösungen für den Druckverlauf bei der Wechselwirkung zwischen einem schwachen normalen Stoss und einer turbulente Grenzschicht werden hergeleitet. Das Wandgesetz und Geschwindigkeitsdefekt-Gesetz für kompressible Strömung kennzeichnen die ungestörte Grenzschicht. Der Grenzfall hoher transsonischen Strömung, in dem die Schallinie in der Nähe der Wand liegt, wird untersucht. Die theoretischen Ergebnisse werden mit Experimenten verglichen. Dabei wird die Wandkrümmung und im Fall der Rohrströmung die Verdrängungsdicke berücksichtigt.

     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

Flow between torsionally oscillating disks rotating about different axes at different speeds

The flow of an incompressible viscous fluid confined between two parallel infinite disks performing torsional oscillations with the same frequency, but rotating about different axes with different speeds has been studied. The solutions are presented for the symmetric and asymmetric first harmonic and steady streaming. The interesting features of the symmetric and asymmetric flow are discussed for the cases of small and large Womersley parameter at different ratios of the rotation speeds. The forces acting on one of the disks are also calculated.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Strömung einer zwischen zwei parallelen, unendlichen Scheiben begrenzten, inkompressiblen, viskosen Flüssigkeit untersucht; die zwei Scheiben führen Torsionsschwingungen gleicher Frequenz aus, drehen sich aber um verschiedene Achsen mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Lösungen werden gegeben für die symmetrische und asymmetrische, erste harmonische Oberschwingung und die stationäre Strömung. Die interessanten Eigenschaften der symmetrischen und asymmetrischen Strömung werden diskutiert für die Fälle von kleinem und großem Womersley-Parameter bei verschiedenen Verhältnissen der Drehgeschwindigkeiten. Außerdem werden die Kräfte berechnet, die auf eine der Scheiben einwirken.

     

A note on disturbances in a semi-infinite piezoelectric medium excited by an impulsive,polarized, tangential electric field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und unter dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes werden in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grundgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle mitenthalten.     

The flow of a non-Newtonian liquid due to the symmetric rotation of a body of revolution,using a natural coordinate system

Summary This paper looks at the non-Newtonian flow between symmetric rotating bodies and it establishes the condition for a coordinate surface to coincide with a surface of constant angular velocity in the primary flow. Then using a natural coordinate system based on the primary flow the equation for the stream function, for the secondary flow, is given in a neat and compact form which is suitable for further analysis and also for numerical work.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der nicht-Newtonischen Strömung zwischen symmetrischen sich drehenden Körpern; es wird die Bedingung aufgestellt dafür, dass eine Koordinaten-Oberfläche mit einer Oberfläche konstanter Winkelgeschwindigkeit in der primären Strömung zusammenfallen soll. Wenn ein natürliches, auf der primären Strömung beruhendes Koordinaten-System verwendet wird, dann ergibt sich die Gleichung für die Stromfunktion und für die sekundäre Strömung in einer geschlossenen Form, welche für weitere Analysen und auch für numerische Methoden geeignet ist.

     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.