An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

---

---

This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

Approximate solution of the propagation of an axisymmetric blast wave generated by a finite spherical charge

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ausbreitung starker Stosswellen in einem idealen Gas ohne innere Reibung und Wärmeleitung. Für den Fall einer axialsymmetrischen Strömung werden Ähnlichkeitstransformationen angegeben, welche die Eulerschen Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren. Die klassischen Lösungen von SirG. I. Taylor sind in den angegebenen Transformationen enthalten.Es wird weiter gezeigt, dass der Ähnlichkeitsansatz keine exakte Lösung für den Fall einer von einer endlichen explodierenden Ladung erzeugten Stosswelle liefert, jedoch eine Näherungslösung gestattet.Numerische Ergebnisse für eine kugelförmige Stosswelle, erzeugt durch die Explosion einer endlichen Ladung, sowie für eine axialsymmetrische Stosswelle, erzeugt durch eine Punktladung endlicher Energie, werden mitgeteilt.     

Heat transfer and Reynolds' analogy in a turbulent flow with heat release

Zusammenfassung Es wird die Wärmeübertragung von und zu einer voll entwickelten, wärmeabgebenden, turbulenten Strömung in einem Rohr analysiert. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird die partielle Randwertaufgabe der Temperaturverteilung in einem Rohr von kreisförmigem Querschnitt auf eine gewöhnliche Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe zurückgeführt. Die entsprechenden Eigenwerte und Eigenfunktionen können nun mittels des Ritzschen Verfahrens für verschiedene Werte der Prandtlschen und Reynoldsschen Zahlen berechnet werden.Die Verteilung der Temperatur und des Wärmeflusses entlang der Wand erhält man in Form einer Reihe, deren Glieder diese Eigenwerte und Eigenfunktionen enthalten. Durch Verallgemeinerung des Prandtlschen Wärmequellen-Satzes wird die Reynoldssche Analogie der Wärmeübertragung und der flüssigen Reibung für eine wärmeabgebende turbulente Strömung erweitert.Die genaue asymptotische Wärmefluss und Temperaturverteilung, die man erhält, gestattet eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Anwendung der Ritzschen Methode und der daraus folgenden Reihenentwicklung erhalten würde. Diese Analyse kann für die wärmeabgebenden turbulenten Strömungen in Atomreaktoren angewendet werden.

---

---

The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Scientific Research of the ARDC, US Air Force under Contract AF 18 (603)-104.     

Steady-state thermal stresses in an elastic cone

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Bestimmung der stationären Wärmespannungen, die in einem elastischen Kreiskegel durch eine unstetige Verteilung der Oberflächentemperatur hervorgerufen werden. Die Temperatur der Mantelfläche wird oberhalb und unterhalb einer festen Entfernung von der Kegelspitze konstant angenommen. Das zugehörige Wärmeleitungsproblem wurde in einer früheren Veröffentlichung unabhängig gelöst. In der vorliegenden Arbeit wird eine strenge Lösung für die gesuchten Wärmespannungen mit Hilfe der Mellin-Transformation hergeleitet. Das hier benutzte Verfahren ist auch anwendbar auf das gewöhnliche Randwertproblem für einen elastischen Kegel, der durch eine entsprechende unstetige Oberflächenbelastung beansprucht wird.

---

---

The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation conducted under Contracts Nonr 562(20) and Nonr 562(25) of Brown University with the Office of Naval Research in Washington, D. C.     

Finite elastic deformations of bodies with irregular shapes

Zusammenfassung In der Theorie endlicher Deformationen elastischer Festkörper sind jene Probleme, für die exakte Lösungen verfügbar sind, beschränkt auf Körper, deren gespannte und entspannte Zustände durch Koordinatenflächen eines der bekannten und allgemein verwendeten Koordinatensysteme begrenzt sind, und die daher symmetrische Eigenschaften in hohem Grade besitzen. Diese Abhandlung entwickelt eine Methode, mit deren Hilfe man Lösungen für endliiche Deformationen erhalten kann, und zwar für Körper, deren nichtdeformierte Form eine Perturbation der nichtdeformierten Form eines anderen Körpers ist, für den eine endliche Deformationslösung schon verfügbar ist. Diese Methode wird verwendet zur Bestimmung einer Lösung zu dem Problem der endlichen Streckung und Torsion eines elliptischen Zylinders, dessen Verhältnis von Hauptachse zu Nebenachse nahezu eins ist. Im Weiteren erleichtert diese Methode eine Analyse des Problems einer endlichen Ausdehnung für zwei Fälle achsensymmetrischer Körper: 1. Der Körper ist ein Kreiszylinder in allen Punkten ausserhalb eines Streifens endlicher Länge, wo seine nichtdeformierte Form eine Perturbation des Kreiszylinders ist. 2. Der Körper wird erhalten durch Rotation einer Sinuskurve um die Symmetrieachse.     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.     

Initial condition solutions of the generalized feller equation

Summary Solutions for given initial conditions are established for the generalized (autonomous parabolic) Feller equation in one positive space variable and one positive time variable. The coefficients of this equation are power functions of the space variable and depend on four parameters. In general, the equation is singular at the origin and at infinity. It contains as special cases the special Feller equation, the Kepinski equation, and the heat equation. Areas of application include biology, superradiant emission processes, heat propagation in solids (with special applications in the area of heat shield and ablation material design), and certain chemical reaction-diffusion processes. It is noteworthy that, for particular values of the parameters, the equation allows an evolution theoretic derivation of the fundamental distribution laws of Wien, Maxwell, Poisson, and Gauss. The general initial condition solution will be derived from a fundamental solution and will be given in terms of an integral transform for locally summable functions (singular integral). It is also shown that, for admissible parameter values, there always exist nontrivial solutions which approach zero as the time variable goes to zero and that, for particular parameter ranges, there exist singular solutions, conservative solutions, and delta function initial condition solutions.

---

Zusammenfassung Es werden Lösungen für gegebene Anfangsbedingungen für die verallgemeinerte (autonome, parabolische) Fellersche Gleichung in einer positiven Raumvariablen und einer positiven Zeitvariablen aufgestellt. Die Koeffizienten dieser Gleichung sind Potenzen der Raumvariablen und hängen von vier Parametern ab. Die Gleichung ist im allgemeinen singulär am Ursprung und im Unendlichen. Sie umfasst als Spezialfälle die spezielle Fellersche Gleichung, die Kepinskische Gleichung und die Wärmegleichung. Anwendung findet sie in der Biologie, in superstrahlenden Emissionsprozessen, in der Theorie der Wärmeausbreitung in Festkörpern (besonders beim Entwurf von Hitzeschilden und Abschmelzmaterialien) und im Gebiet gewisser chemischer Reaktions-Diffusionsprozesse. Est ist bemerkenswert, dass die Gleichung für besondere Parameterwerte eine evolutionstheoretische Herleitung der grundlegenden Verteilungsgesetze von Wien, Maxwell, Poisson und Gauss ermöglicht. Die allgemeine Lösung für gegebene Anfangsbedingung wird aus einer Grundlösung entwickelt und in der Form einer Integraltransformation gegeben für lokal summierbare Funktionen (singuläres Integral). Es wird weiterhin gezeigt, dass für zulässige Parameterwerte stets nichtriviale Lösungen existeren, die nach Null streben, wenn die Zeitvariable nach Null geht, und dass es für besondere Parameterbereiche singuläre und konservative Lösungen gibt und solche, die einer Deltafunktion als Anfangsbedingung entsprechen.

     

An asymptotic approach for shock-wave/transpired turbulent boundary layer interactions

Summary In this work perturbation techniques are used to study the problem of the interaction between a shock wave and a transpired turbulent boundary layer at transonic speeds. In the case considered here, the Mach number is assumed to be high enough for the sonic line to penetrate deep into the boundary layer so that it ends close to the wall. The flow region is divided into a region of strong interaction and regions of weak interaction. For the regions of weak interaction, upstream and downstream of the shock, a classical two-deck structure is assumed to hold for the boundary layer. Solutions chosen for these regions must account for the effects of blowing or suction. The strong interaction region on the other hand is shown to consist of three decks. A detailed analysis of the whole flow field is carried out and solutions valid in the double limit as Reynolds number tends to infinity and Mach number tends to one are proposed. Solutions of adjacent layers are shown to match so providing a smooth solution for the entire flow region. The analysis yields solutions for the pressure and skin-friction profiles.

---

Zusammenfassung In dieser Veröffentlichung wird mit Methoden der Störungsrechnung das Problem der Wechselwirkung zwischen einer Schockwelle und einer turbulenten Grenzschicht mit Blas- und Saugeffekten beim Übergang zu Überschallgeschwindigkeiten untersucht. In dem hier betrachteten Fall ist die Machzahl so hoch, daß die Schockwellenfront tief in die Grenzschicht eindringt und nahe bei der Wand endet. Das Strömungsgebiet wird in ein Gebiet starker Wechselwirkung und in ein Gebiet schwacher Wechselwirkung eingeteilt. Für die Gebiete schwacher Wechselwirkung (vor und hinter der Schockwellenfront) wird angenommen, daß die Grenzschicht eine klassische zwei-Deck Struktur besitzt. Lösungen, die für diese Gebiete gewählt werden, müssen die Blas- oder Saugeffekte erklären. Es wird gezeigt, daß das Gebiet starker Wechselwirkung dagegen aus drei Decks besteht. Eine ausführliche Berechnung des gesamten Strömungsfeldes wird durchgeführt, und es werden Lösungen angegeben, die gültig sind für den doppelten Grenzfall, daß die Reynoldszahl gegen unendlich und die Machzahl gegen eins strebt. Es zeigt sich, daß die Lösungen für benachbarte Schichten aneinander passen, und daß sich damit eine stetige Lösung für das gesamte Strömungsgebiet ergibt. Die Lösungen für die Druck- und Wandreibungsprofile werden bestimmt.

     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Stresses in a long hollow cylinder subjected to a band of uniform pressure on the outer surface

Zusammenfassung Die Arbeit gibt eine Fourier-Integral-Lösung für den Spannungsverlauf in einem Hohlzylinder, der einer axialsymmetrischen Radiallast längs eines Bandes an der Aussenfläche unterworfen wird. Es wird für dünne Wände eine Methode für die Approximation der Integranden entwickelt. Damit wird die Auswertung der Interale mit der Residuenmethode möglich. Numerische Ergebnisse werden für den Fall eines unendlich schmalen Lastbandes für ein Radienverhältnis von 910 und für eine Poissonsche Zahl von 0,3 ausgegeben. Die Ergebnisse werden mit denjenigen zweier Näherungstheorien verglichen sowie mit Ergebnissen früherer numerischer Integrationen.     

Discrete methods for boundary value problems with applications in plate deflection theory

In this report we survey numerical techniques of order 2, 4 and 6 for the solution of a two-point boundary value problem associated with a fourth-order linear ordinary differential equation. A sufficient condition guaranteeing a unique solution of the boundary value problem is also given. Numerical results are tabulated for two typical numerical examples and compared with some known methods including the shooting technique employing the classical fourth-order Runge-Kutta method.

---

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden numerische Methoden der Ordnung 2, 4 und 6 untersucht zur Lösung eines Zwei-Punkt Randwertproblemes für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung vierter Ordnung. Es wird eine hinreichende Bedingung gegeben die die eindeutige Lösung der Randwertaufgaben gewährleistet. Tabellen der numerischen Resultate werden für zwei typische Beispiele angegeben und mit gewissen bekannten Methoden verglichen, einschliesslich der Einschiess-Technik die die klassische Runge-Kutta Methode vierter Ordnung benützt.

     

Note on wave propagation in linearly viscoelastic media

Zusammenfassung Die analytischen Mittel der Theorie der sich fortpflanzenden Diskontinuitätsflächen werden verwendet, um die vollständige Lösung eines eindimensionalen linearen Problems der Wellenfortpflanzung aufzustellen. Diese Lösung wird erhalten als eine Entwicklung in eine Taylor-Reihe um die Zeit des Antreffens der Wellenfront. Die Entwicklungskoeffizienten sind Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.     

Servo-stabilization of low-frequency oscillations in liquid propellant rocket motors

Zusammenfassung Die Theorie der kleinen Frequenz-Instabilität von Raketenmotoren mit flüssigen Treibmitteln wird überarbeitet, wobei im besonderen die Methode der Satche-Diagramme erörtert wird, welche durchH. S. Tsien für Stabilitätsrechnungen linearer Systeme mit zeitlicher Verzögerung eingeführt worden sind. Das Prinzip der Stabilisierung durch Benutzung einer Gegenkopplungsschleife wird besprochen, und es wird gezeigt, dass schon eine sehr einfache Lösung des Gegenkopplungskreises die Stabilität von flüssigen Einzel- und Doppeltreibmitteln in Raketenmotoren versichern kann, unabhängig von der Grösse der Zeitverzögerung. Auf Grund des beschriebenen speziellen analytischen Beispiels wird gefolgert, dass solche Stabilisierungsmassnahmen für eine viel grössere Klasse von Instabilitäten in Raketenmotoren als die betrachtete empirisch verwirklicht werden können.     

The effect of boundary conditions and mesh size on the accuracy of finite difference solutions of two-point boundary problems

Zusammenfassung Es werden inhomogene Randwertaufgaben bei einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten untersucht. Es gibt dann bekanntlich Ausnahmefälle, wo die Länge des Grundintervalls kritisch ist, das heisst die Randwertaufgabe im allgemeinen keine Lösung besitzt. Auch wenn die Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung approximiert wird, hat letztere kritische Intervalle, und es zeigt sich, dass in der Nähe eines kritischen Falles die Lösungen der Differential- und der Differenzengleichung erheblich voneinander abweichen können. Es wird ferner bewiesen, dass bei Verfeinerung der Maschenlänge die kritischen Intervalle der Differenzengleichung gegen diejenigen der Differentialgleichung streben oder über alle Grenzen wachsen.     

On axisymmetric stokes flow past a torus

A method is presented for determining the exact solution of the Stokes equation for axisymmetric streaming flow past a torus. By solving directly for the velocity and pressure fields rather than introducing a stream function, the problem is reduced to the solution of a second order difference equation for a coefficient sequence. The force acting on the torus is evaluated for a number of values of the parameter defining the torus geometry.

---

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine Methode entwickelt um die exakte Lösung der Stokes' schen Gleichung für einen axisymmetrischen Fluss um einen Torus zu erhalten. Indem man direkt Geschwindgkeits- und Druckverteilung ausrechnet (statt eine Stromfunktion einzuführen) wird das Problem auf die Lösung einer Differenzengleichung zweiter Ordnung für eine Folge von Koeffizienten reduziert. Die am Torus wirksame Kraft wird dann für mehrere Parameterwerte der Torusgeometrie bestimmt.

     

Time dependent neutron transport theory in multigroup-P L-approximation

Summary A method is developed for solving the time dependent neutron transport equation in multigroupP _L approximation for one-dimensional geometries. The partial differential equations in time and space are solved by means of a power series expansion in the spatial variable. The resulting ordinary differential equations are solved up to theNth order, and the last spatial coefficients are used to satisfy the boundary conditions. Integration of the purely time dependent differential equations is carried out by means of Lie series.Numerical oscillations, appearing for high ordersN, are avoided by subdividing each zone into smaller subzones. Even and odd spatial moments must be developed in opposite directions in each subzone, and the stationary solution representing the initial condition for the time dependent calculation must be developed in the same manner.Results of two calculations in spherical geometry are presented. One is the start-up of a small experimental reactor usingP ₃ theory, the other is a demonstration of neutron waves inP ₁ theory.

---

Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Lösung der zeitabhängigen Neutronentransportgleichung in der Multigruppen-P _L-Näherung für eindimensionale Geometrien entwickelt. Für die Lösung der partiellen Differentialgleichungen in Ort und Zeit wird eine Potenzreihe im Ort angesetzt. Das sich ergebende gewöhnliche Differentialgleichungssystem wird bis zu einer gewählten OrdnungN erfüllt, und die letzten Koeffizienten der Ortsentwicklungen dienen zur Befriedigung der Randbedingungen. Die Integration in der Zeit erfolgt dann mit der Lie-Reihen-Methode.Zur Vermeidung der Oszillationen, die bei hohen OrdnungenN auftreten, werden die einzelnen Zonen in kleinere Abschnitte unterteilt. Die geraden und ungeraden Momente müssen in den Abschnitten in entgegengesetzter Richtung entwickelt werden. Die stationäre Lösung, die als Anfangsbedingung für die zeitabhängige Rechnung dient, muss mit demselben Entwicklungsschema ermittelt werden.Die Methode wird angewendet zur Lösung derP ₁- undP ₃-Gleichungen in sphärischen Reaktoren. Zwei Beispiele werden damit berechnet: Das Anfahren eines kleinen Versuchsreaktors inP ₃-Näherung und die Nachweisung von Neutronenwellen inP ₁-Theorie.

     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

---

---

This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

On the growth and decay of temperature rate waves of arbitrary form

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit gibt eine Ableitung der Differentialgleichung für das Wachstum und den Zerfall temperaturabhängiger Wellen willkürlicher Gestalt. Ferner werden Lösungen dieser Gleichung für auf die speziellen Fälle von Wellen erhalten, die sich eben, zylindrisch und sphärisch ausbreiten. Die Analyse basiert auf den isotropen linearen Formen der allgemeinen Gurtin-Pipkin-Theorie für starre Wärmeleitung mit endlichen Wellengeschwindigkeiten.     

On a class of non-breaking finite amplitude water waves

Zusammenfassung Dieser Artikel ist eine Fortsetzung früherer Arbeiten, worin die Brechung von Wasserwellen an einer abfallenden Küste betrachtet wurde. Wellenausbreitung in abnehmende oder zunehmende Wassertiefe wird analysiert, und numerische Ergebnisse von allgemeinem Interesse werden vorgeführt. Es wird gezeigt, dass, obwohl Depressionswellen, die sich in tiefer werdendes Wasser fortbewegen, sich niemals an der Wellenfront brechen, in anderen Wellen das Brechen oder Nichtbrechen an der Wellenfront bestimmt wird durch eine einfache Beziehung zwischen dem Produkt aus der Amplitude und der Frequenz der einfallenden Welle und der Neigung des Meeresbodens. Es wird ausserdem gezeigt, dass eine Welle mit einer besonderen endlichen Amplitude sich unendlich ausbreiten kann, ohne dass eine Brechung an der Wellenfront erfolgt.     

Steady viscous flow between two porous disks

Zusammenfassung Die Strömung zwischen zwei porösen Scheiben in der Nähe der Symmetrieachse wird untersucht. Die Navier-Stokes'schen Gleichungen werden auf eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung reduziert, die mit Störungsmethoden für grosse Reynolds-Zahlen gelöst wird. Numerische Lösungen werden auch berechnet.