数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。     

一个最值问题的探究

问题1已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（b〉a）对于任意实数x都有f（x）≥0,求a＋b＋c/b-a的最小值．     

一道联考试题的思考过程

下题是江苏省淮阴中学、姜堰中学、前黄中学联考的一道填空题： 题目 已知函数f（x）=x｜x-2｜,若存在互不相等的实数a、b、c,使得f（a）=f（b）=f（c）成立,则a＋b＋c的取值范围为____．     

函数问题的通法通解

题目 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a〉0,x∈R）的零点为x1、x2（x1〈x2）,函数f（x）的最小值为y0,且y0∈[x1,x2）,则函数y=f[f（x）]的零点个数是（ ）.     

“V”形图与含多个绝对号的和函数的性质

2004年上海高考理科卷第10题“若函数f（x）=a｜x—b｜＋2在[0,＋∞）上为增函数,则实数a、b的取值范围是__”．学生在解这道题时感到手足无措,主要是因为对函数．f（x）=a｜x-h｜＋k（a,h,k∈R,a≠0）的图像和性质不了解．     

构造二次函数巧用判别式解一类题

判别式△=b^2-4ac是二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a≠0）的一个重要的特征数字，其一条性质：若f（x）=ax^2＋bx＋c且a〉0,则f（x）≥0对x∈R恒成立 △≤0,为我们利用二次函数解决一些数学问题提供了突破IZl．本文将利用这一性质，构造适当二次函数，灵活解决一类问题．     

多视角求解一道高考模拟函数综合题

题目（2011年山东省高考数学模拟第12题）：设函数f（x）的定义域为D,若f（x）满足下面两个条件,则称f（x）为闭函数：①f（x）在D内为单调函数;②存在区间[a,b]∈D,使得f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]．如果f（x）=√2x＋1＋k为闭函数,则实数k的取值范围是     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），其中f^[1]（x）=f（x）．函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实数根）对方程f^[n]（x）=x解的情况有何影响？文[1]、文[2]对此进行了探讨，得到一些颇有价值的结论．其中文[2]证明了下述结果：     

一个定理的进一步推广

文[1]给出了一个定理：若f（x）是[a，b]上的增函数，x＋f（x）=m，x＋f^-1（x）=m的两根分别为a，b，则口a＋b=m．     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

一道高考题的推广的三角证明与其他

张乃贵老师在本刊文[1]中将2008年高考重庆理科卷第4题推广为： 命题1函数f（x）=λ1√x-a＋λ2 √b-x（λ1〉0,λ2〉0,b〉a）的最大值为[f（x）]max=√（λ1^2＋λ2^2（b-a））最小值为[f（x）]max=min{f（a）,f（b）}．     

一类极限问题

这里讨论一类以递推关系x_n=f(x_(n-1))确定的数列{x_n}(n=1,2,…)的极限问题,其中x_0是给定的。我们要利用f(x)的性质来解决这个问题。为此建立如下定理。定理:设f(x)是定义在(a,c)内的单值连续函数,且x=f(x)在(a,c)内有唯一解b,又当x(?)b时,f(x)(?)b,则有结论: 1.若在(a,b)内b>f(x)>x,在(b,c)内x>f(x)>b,则任给x_0∈(a,c),令x_n=f(x_(n-1)(n=1,2,…)恒有x_n收敛于b。若在(a,6)内f(x)x,则x_n=f(x_(n-1))(n=1,2,…)对任给x_0(?)b绝不收敛于b。     

一道习题引发对减元策略的探究

问题提出 已知对任意实数r,二次函数f（x）=ax2＋bx＋c恒非负,若a〈b,则M=a＋b＋c/b-a的最小值等于____．     

构造二次函数巧证一道国际竞赛题

进入初三年级,我们学习了二次方程ax^2＋bx＋c=0根的判别式△=b^2-4ac,学习了二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c与x轴有无交点的判别方法,将二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c化简变形得到f（x）=a[（x＋b/2a）^2-△/4a^2],当a〉0,△=b^2-4ac≤0时,有f（x）≥0．     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为：若方程x＋f（x）=m和x＋f^-1（x）=m的根分别为a，b．则a＋b=m．     

对一道有趣不等式的深入探究

有这样一道吸引大家眼球的有趣不等式试题：问题1设正实数a,b,c满足abc=1,求证：a2＋1（1/2）＋b2＋1（1/2）＋c2＋1（1/2）≤2（1/2）（a＋b＋c）1本刊文[1]通过构造函数f（x）=x2＋1（1/2）-2（1/2）x-2（1/2）2lnx（x〉0）,借助二阶导数和三元均值不等式给出一个证明.是否有更简单、更初等（即不用导数）的证明呢？笔者经过思考发现,借助平方差公式和二元均值不等式,最终可以获得一个简单、     

对一道2009年高考题误区剖析

全国高考2009年上海数学理科卷22题：已知函数y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数，     

三角函数中的一个有用定理

定理 已知f（x）=Acosx＋Bsinx（A,B为常数）,若实数a,b满足f（a）=f（b）=0且a—b≠mπ（m∈Z）,则A=B=0．     

一道美国竞赛题的“歪想正着”

第15届美国数学邀请赛有这样一道试题：已知a,b,c,d均为非负实数,f（x）=ax＋b/cx＋d,x∈R.且f（19）=19,f（97）=97.若当x≠-d/c时,对于任意的x∈R,都有f（f（x））=x,试求f（x）值域外的数.     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,