求解大型非对称线性方程组的不完全广义最小向后扰动法

本文给出了求解大型非对称线性方程组的广义最小向后扰动法(GMBACK)的截断版本——不完全广义最小向后扰动法(IGMBACK).该方法基于Krylov向量的不完全正交化,从而在Krylov子空间上求出一个近似的或者拟最小向后扰动解.本文对新算法IGMBACK做了一些理论研究,包括算法的有限终止、解的存在性和唯一性等方面的研究;且给出了IGMBACK的执行.数值实验表明:IGMBACK通常比GMBACK和广义最小残量法(GMRES)更有效;且IGMBACK和GMBACK经常比GMRES收敛得更好.特殊地,如果系数矩阵是敏感矩阵,且方程组右侧的向量平行于系数矩阵的最小奇异值对应的左奇异向量时,重新开始的GMRES不一定收敛,而IGMBACK和GMBACK一般收敛,且比GMRES收敛得更好.     

Krylov子空间投影法及其在油藏数值模拟中的应用

Krylov子空间投影法是一类非常有效的大型线性代数方程组解法,随着左右空间L_m、K_m的不同选取可以得到许多人们熟知的方法.按矩阵H_m的不同类型,将Krylov子空间方法分成两大类,简要分析了这两类方法的优缺点及其最新进展.将目前最为可靠实用的广义最小余量法(GMRES)应用于油藏数值模拟计算问题,利用矩阵分块技术,采用块拟消去法(PE)对系数阵进行预处理.计算结果表明本文的预处理GMRES方法优于目前使用较多的预处理正交极小化ORTHMIN方法,最后还讨论了投影类方法的局限和今后的可能发展方向.     

几乎各向同性的高维空间分数阶扩散方程的分块快速正则Hermite分裂预处理方法

一类空间分数阶扩散方程经过有限差分离散后所得到的离散线性方程组的系数矩阵是两个对角矩阵与Toeplitz型矩阵的乘积之和.在本文中,对于几乎各向同性的二维或三维空间分数阶扩散方程的离散线性方程组,采用预处理Krylov子空间迭代方法,我们利用其系数矩阵的特殊结构和具体性质构造了一类分块快速正则Hermite分裂预处理子.通过理论分析,我们证明了所对应的预处理矩阵的特征值大部分都聚集于1的附近.数值实验也表明,这类分块快速正则Hermite分裂预处理子可以明显地加快广义极小残量(GMRES)方法和稳定化的双共轭梯度(BiCGSTAB)方法等Krylov子空间迭代方法的收敛速度.     

GMRES方法的收敛率

1 引 言 GMRES方法是目前求解大型稀疏非对称线性方程组 Ax=b,A∈R~(n×n);x,b∈R~n (1)最为流行的方法之一.设x~((0))是(1)解的初始估计,r~((0))=b-Ax~((0))是初始残量,K_k=span{r~((0)),Ar~((0)),…A~(k-1)r~((0))}为由r~((0))和A产生的Krylov子空间.GMRES方法的第k步     

预条件广义极小残余新算法

研究Krylov子空间广义极小残余算法(GMRES(m))的基本理论，给出GMRES(m)算法透代求解所满足的代数方程组．深入探讨算法的收敛性与方程组系数矩阵的密切关系，提出一种改进GMRES(m)算法收敛性的新的预条件方法，并作出相关论证．     

不定最小二乘问题的改进的不完全双曲Gram-Schmidt预处理算法

应用改进的不完全双曲Gram-Schmidt(IHMGS)方法预处理不定最小二乘问题的共轭梯度法(CGILS)、正交分解法(ILSQR)与广义的最小剩余法(GMRES)等迭代算法来求解大型稀疏的不定最小二乘问题.数值实验表明,IHMGS预处理方法可有效提高相应算法的迭代速度,且当矩阵的条件数比较大时,效果更加显著.     

广义鞍点问题的松弛维数分解预条件子

本文将Benzi等提出的松弛维数分解(Relaxed dimensionalfactorization, RDF)预条件子进一步推广到广义鞍点问题上,并称为GRDF(Generalized RDF)预条件子.该预条件子可看做是用维数分裂迭代法求解广义鞍点问题而导出的改进维数分裂(Modified dimensional split, MDS)预条件子的松弛形式, 它相比MDS预条件子更接近于系数矩阵, 因而结合Krylov子空间方法(如GMRES)有更快的收敛速度.文中分析了GRDF预处理矩阵特征值的一些性质,并用数值算例验证了新预条件子的有效性.     

简化全局GMRES算法的扩张及收缩

简化的全局GMRES算法作为求解多右端项线性方程组的方法之一,与标准的全局GMRES算法相比,需要较少的计算量,但对应的重启动方法由于矩阵Krylov子空间维数的限制,收敛会较慢.基于调和Ritz矩阵,提出了简化全局GMRES的扩张及收缩算法.数值实验结果表明,新提出的扩张及收缩算法比标准的全局GMRES算法更为快速高效.     

求解非对称线性方程组的不完全最小联合向后扰动法

正1引言在许多应用科学和工程计算中,经常需要求解大型非对称稀疏线性方程组Ax=b,(1)其中A∈R~(n×n)非奇异,x,b∈R~n.Krylov子空间方法~([1,19,20])是求解(1)的一类很有效的方法.Krylov子空间方法通常用残量范数作为判断算法终止的条件.若近似解是精确的,残量范数是小的,但是反过来残量范数小并不意味着近似解就是精确的,尤其当A是病态矩阵时~([21]).为了克服残量范数作为终止条件的不足,文[2]提出了利用向     

求解PageRank问题的重启GMRES修正的多分裂迭代法

PageRank算法已经成为网络搜索引擎的核心技术。针对PageRank问题导出的线性方程组,首先将Krylov子空间方法中的重启GMRES(generalized minimal residual)方法与多分裂迭代(multi-splitting iteration,MSI)方法相结合,提出了一种重启GMRES修正的多分裂迭代法;然后,给出了该算法的详细计算流程和收敛性分析;最后,通过数值实验验证了该算法的有效性。     

求解大型超定线性代数方程组的块Kaczmarz算法

正1 引言考虑大型超定线性代数方程组Ax=b,(1)其中 A ∈ C~(m×n) (m n),b ∈C~m.当m=n时,线性代数方程组求解的相关理论和算法较为成熟,但在很多实际问题中,系数矩阵A的行数和列数不相等(m≠n),如超定或欠定线性代数方程组.因此,有必要研究此类线性代数方程组的数值解法.在结构分析,计算机辅助几何设计,图像恢复,模型参数估计等众多领域中,经常需要求解大型超定线性代数方程组.Vuik [1]研究了大型超定线性代数方程组最小二乘问题的预处理Krylov迭代方法;Bai [2]提出列分解松弛法;Yin[3]提出了求解大型稀疏最小二乘问题的不完备Givens正交化的预处理GMRES方法;Hayami[4]考虑引入一个新的矩阵将GMRES方法应用到最小二乘问题,求得方程组的最小二乘解;Finta [5]推导了加权超定线性代数方程组的梯度法,并证明该方法是收敛的.     

基于GMRES(m)法的双连通区域数值保角变换的计算法

本文研究了基于模拟电荷法的双连通区域的数值保角变换问题.利用限制Krylov子空间最大维数的算法–GMRES(m)算法,求解基于模拟电荷法的双连通区域数值保角变换中的约束方程,获得了模拟电荷和变换半径,构造了近似保角变换函数.数值实验表明了本文算法的有效性.     

流化床传热特性的混沌研究

应用混沌理论对流化床内壁传热特性进行了研究,提出了通过瞬态传热系数时间序列在嵌入空间的吸引子去寻求流化床相同传热动力特性的观点和理论依据,提出了一种定量比较奇异吸引子的方法——吸引子轨道概率识别法。应用结果表明,该方法对吸引子具有识别能力。     

应用Lagrange乘子法推导一般力学中的广义变分原理 *

应用对合变换建立了两类变量的经典变分原理———Hamilton原理 .灵活应用Lagrange乘子法 ,建立了完整系统和非完整系统的两类变量的广义变分原理和带有附加条件的广义变分原理 .推导了各类变分原理的驻值条件.     

算子与右端都为近似的迭代正则化方法

讨论了解算子与右端都近似给定的第一类算子方程的迭代Tikhonov正则化方法,建立了一种选择正则参数的方法——广义Arcangeli方法,得到正则化逼近解的收敛速度估计。     

求解离散不适定问题的正则化GMERR方法

迭代极小残差方法是求解大型线性方程组的常用方法, 通常用残差范数控制迭代过程.但对于不适定问题, 即使残差范数下降, 误差范数未必下降. 对大型离散不适定问题,组合广义最小误差(GMERR)方法和截断奇异值分解(TSVD)正则化方法, 并利用广义交叉校验准则(GCV)确定正则化参数,提出了求解大型不适定问题的正则化GMERR方法.数值结果表明, 正则化GMERR方法优于正则化GMRES方法.     

任意旋成面叶栅杂交型气动命题的变分原理与广义变分原理

本文建立了任意旋成面叶栅一种杂交型命题——在叶型周线的某段上给定叶型形状,而在其余段上则给定流速分布——的两族气动变分原理与广义变分原理,从而使正命题与反命题的处理完全统一起来,并加以推广.文中充分发挥了“自然边界条件”和“人工分界面”的有力作用,以简化各种复杂边界条件的处理,并提出了一个新的短函数.本文为在叶轮机叶栅的气动问题中引进和推广有限元法、变分-差分解法以及变分直接解法,提供一个更广泛、更完密的理论基础.     

轴对称非协调元收敛理论与方法

基于加权Sobolev空间理论,建立了轴对称非协调元收敛准则。首先给出了轴对称非协调元的广义分片检验和F-E-M条件。又给出了一个既可用于检验单元收敛又可用于指导设计单元的轴对称非协调元收敛准则——强分片检验(SPT)。按此收敛准则建立了构造轴对称非协调元的一般方法。     

彩色图象边缘检测的新算法——广义模糊算子法

给出了广义模糊集合的定义,并提出用一个广义模糊算子将广义模糊集合变换成普通模糊集合,从而为二维图象边缘检测的最新算法——广义模糊算子法奠定了充分的理论依据.实践表明,这是一个简单、快速且定位精度很高的算法;此外,文中还就彩色图象的边缘检测问题,提出了具体的实施步骤.     

简化块GMRES的稳定算法

块GMRES算法是求解多右端项线性方程组的经典算法.基于迭代过程中的迭代残量,提出一种基于残量的简化块GMRES算法,有效避免经典算法中块上Hessenberg阵的QR约化过程,比文献(Liu H,Zhong B.Simpler block GMRES for nonsymmetric systems with multiple right-hand sides.Electronic Transactions on Numerical Analysis,2008,30:1-9)提出的简化算法有更好的收敛精度和稳定性.