141有内切球的几何体的体积

[主持人按数学的一个基本作用,"就是提供自然现象的合理结构.…数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命,使其成了有联系的有机体."(M·克莱因).象本篇那样,虽然讨论的只是一个小课题,却使学生们看到了,数学内容之间的联系是那么紧密,数学事实的生命力是那样的强盛,它会延伸得很远很远.也就是在这样的过程中,数学对象的本质自然地得到了揭示,数学的美,也明白地得到了昭示:你看,球体积与球的表面积之间的关系,竞然也可以纳入到有内切球的几何体的体积公式之中. 可惜的是,流行的总是割裂地孤立地零碎地考题的现实,使这一种生动的发展式的在事物的联系中学的做法,很少能在课堂上见到了.因此,可以顺便问一句:联系,发展,结构,美,…也能进入考题中么?]     

"中学数学与美术"的课例设计

中学数学课程与美术存在着密切的联系 .本文通过在职业中学美术班进行的一些数学教学案例 ,介绍了沟通数学与美术之间联系的一些教学实践活动 .文中的实例也能为普通中学的数学提供一些经验 .数学与美术有关系吗 ?看法各不相同 .有人认为二者没有关系 ,觉得数学是理性的东西 ,对任何东西都要经过周密系统的计算和论证 ,而美术则是艺术性的想象物 ,需要形象思维 .近年来美术中兴起抽象画法 ,大量使用不规则图形 ,讲究不对称美 ,因此和几何没有关系 .另一种看法却认为 :数学和美术相辅相成 ,数学计算和美术绘画可以得到完美的结合 .笔者持这一…     

对数学美育的初步认识与实践

数学家克莱因说 :“数学是人类最高超的智力成就 ,也是人类心灵最独特的创作 .音乐能激发或抚慰情怀 ,绘画使人赏心悦目 ,诗歌能动人心弦 ,哲学使人获得智慧 ,科学可改善物质生活 ,但数学能给予以上的一切 .”的确 ,数学是一门独特的科学 ,数学中包括着许许多多美的因素 ,教师要使数学课堂教学得到预期的良好效果 ,让学生学得津津有味 ,那么 ,充分挖掘数学中的美育因素 ,用春风化雨般的艺术美使学生受到潜移默化 ,甚至使学生热爱数学达到如痴如醉、废寝忘食的程度 ,让学生在轻松愉快的氛围美之中获取知识 ,在精湛艺术般的课堂布局中得到美的…     

构建认知结构 优化定理教学

数学定理的学习主要是让学生掌握数学概念之间的本质联系，使学生把原有数学认知结构中的两个或者多个固定点联系起来，在数学认知结构中形成一个新的固定点．有效的教学方法能使学生在头脑中建立起数学观念之间稳定的联系，从而使学生在头脑中形成关于所学定理的稳定的认...     

高等数学问题推广的几种方式

著名数学家波利亚曾说过 :“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合 .或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集合 .”[1] 数学的一般化或普遍化主要表现在对命题的推广 .由于数学认识的根本目的是揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律 ,所以数学命题的推广是数学创造的基本形式之一 .高等数学中有很多问题都可以进行推广 ,由于这些问题的推广往往需要经过类比、联想、猜想、抽象、归纳等多种发散性思维过程 ,因而 ,如能将这些问题有机地结合到数学实践中去 ,这对培养和加强学生的创新意识和创新能…     

物理方法在数学解题中的运用

王树禾教授在《数学演义》中介绍了阿基米德将球切成碎片,用称"称出"球的体积.是用物理的方法求解数学的光辉典范.俄国数学家切比雪夫曾幽默地说:"使数学脱离实际,就好比把母牛关起来,不让它接触公牛".……     

数学课堂教学过程中的交往问题

数学课堂教学本质上是教师与学生、学生与学生之间以数学知识为介质而进行的一种沟通与交流 .数学作为一种语言 ,其最好的学习方式就是组成一个学习共同体 ,通过共同体内部成员之间数学地交流而促进对数学的理解与掌握 .所以交往可以被认为数学教学中一个最重要的方面 .笔者谨对数学课堂教学交往中存在的一些弊端及其改进办法提出一些看法 .1　课堂教学中加强交往的必要性交往 ,经常与交流、对话、沟通等联系在一起 ,在教育中其实质是指 :教育活动的参与者或交往主体之间以语言为中介所进行的人际往来或沟通、情感交流和为达成认同一致的相…     

由一个高考题联想到的生活应用

<正>数学试题的训练与研究不仅是为了应试能力的提高,更重要的是从中学会一类问题的解决方法,并最终能解决实际问题．学会用数学的眼光观察世界、用数学的语言表达问题、用数学的方法解决问题才会使数学的学习更加有意义．1考题再现(2020年全国新课程3卷15题)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为＿．     

球体体积与表面积在教材中呈现方式的比较

球的体积计算,是古代数学家很感兴趣的问题,而且对其探求程度代表了一个国家、民族数学发展的水平.在西方,正确得到球体积公式并证明的是公元前2世纪的阿基米德,证明方法为逼近法.在中国,球的体积计算由2世纪的刘徽提出,200多年后由祖冲之父子通过解决刘徽的"牟合方盖"问题得到解决.在印度,12世纪数学家婆什迦罗利用在球的表面作网络,各格点与球心相连把球分成以球面为底、球半径为高的棱锥而得到计算公式.那么,作为高中几何内容之一的球体的相关内容,我国又是怎样处理的呢?……     

以退求进

某些探索性问题,有时百思不得其解,但只要我们退一步来观察,就会让人茅塞顿开,使问题迅速获解.例1现有243个小球,从外观上看完全相同,除一个小球略轻外,其余的小球重量均相等.现有能满足各种操作要求的天平和砝码.问最少称几次,可保证将这个较轻的球找出来?解初见此题,颇感为难.但如果我们能回到初始状态,却能使问题迅速得到解决.实际上,若问题减少为两个球时,只需称一次:即把两球分别放在一架天平的左、右两个托盘上,托盘上翘的一边自然就是较轻的球.若问题减少为3个球时,也只需称一次:即在3个球中任取两球分别放在一架天平的两个托盘上,若…     

影视中的数学文化赏析——以《博士热爱的算式》为例

1引言长久以来,普通大众对于数学学科以及数学家的看法都存在一定程度的误解.在一般人眼中,数学往往是跟枯燥乏昧、机械训练以及繁琐困难联系在一起的[1][2].然而,作为文化的数学其实是十分丰富多彩的,在许多数学家心目中,数学也具有一种特殊的美感.英国著名数学家、哲学家罗素(Bertrand Russell,1872-1970)曾这样描述数学的美:它是“一种冷峻严肃的美,就像是一种雕塑.……这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰,它可以纯洁到崇高的程度,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”[3].     

对应关系帮你解题

数学对象之间存在着种种对应关系 ,充分利用这些对应关系解决问题是一个重要的数学方法 .数学竞赛中的许多题目都与对应有关 ,恰当地利用对应关系解题 ,可以使问题化繁为简、化难为易 ,甚至有时还可以出奇制胜 .本文将例谈数学竞赛中利用对应关系解题的思想和方法 .1　利用对应思想计算求值如果两组对象之间 (也可以是同一个对象中 )通过建立适当的对应关系能一对一地配成对 ,而每一对的数值之间有一定的关系或可以计算 ,那么问题就可以解决 .例 1　设集合M ={1,2 ,3… ,10 0 0 },现对M中的任一非空子集X ,令ax 是X中最大数与最小数之和 ,…     

对称——解高考数学题的好方法

对称是普遍的自然现象.对称表现了简单、和谐、匀称,带给人美的享受.对称在数学中也是广泛存在的,如图形的对称性,数学的对称结构,思考问题的对称策略,数学的对称美等.用现代数学语言来讲,对称就是数学对象在某种变换下保持的不变性.于是,我们可以说:对称是人的视觉系统对客体     

“数学与STS”习题分类与解析

随着高考制度的改革 ,高考已不再是单纯考知识 ,相反更注重考能力、考素质 ,考题还反映出了学生如何运用数学视角去观察科学、技术、社会中相关的数学问题 .这意味着高考试题将加强数学与ＳＴＳ的联系 ,要求学生能利用所学的数学知识解决一些实际问题 ,体现学以致用的思想 ,同时也使学生了解数学在社会进步和科技发展中的作用和地位 ,了解数学与其他学科相互交叉的特点 ,从而提高学生的数学素养 .ＳＴＳ试题一般具有综合性强、起点高、落点低的特点 ,由于试题设置了新的情境 ,其中涉及到学生不熟悉的实验方法及数学思维 ,使有些学生感到困惑…     

运用函数的对称性解题

函数是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．本文以实例的形式，从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质，展示函数对称性的应用．     

球的装箱问题

球的装箱问题单（南京师范大学数学系２１００２４）将同样大小的乒乓球装进一个体积为Ｌ的纸箱中，如果每个乒乓球的半径为ｒ，共放Ｎ个，那么球的体积之和为Ｎ×４πｒ３／３．为了使Ｎ尽可能大，可以提起纸箱抖几下，使球与球之间的空隙减小，但球与球之间总有空隙．...     

例说利用对称优化解题

一道优秀的数学题能体现数学知识、信息与思想方法的合理搭配与有机结合 ,成为数学对象及其关系在一定逻辑形式下组成的一个关系结构 ,在教学过程中 ,适时、适度地引导学生去弄清问题的关系结构 ,挖掘数学问题中关系结构的和谐性与对称美 ,能简化运算 ,优化解题思路 .是实现“发展学生智力 ,培养学生能力”的重要手段 .1　熟悉常见的对称关系　抓住问题中连接数学元素之间某些对应关系(如相等、互逆、互否、同解等 )的对称性 ,通过互逆关系合理变更问题的结构 ,使问题的解决明朗化 .例 1　若函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的反函数为 ｇ(ｘ) ,且ｆ(ａｂ) …     

数学课程改革中的向量背景和前景分析

1　向量进入中学数学的背景分析1 1　向量的双重性向量是一个具有几何和代数双重身份的概念 ,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系 ,具有良好的分析方法和完整结构 ,通过向量的运用对传统问题的分析 ,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系 ,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础 .这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何 .1 2　认识向量的另外角度把平面和空间看作是一个向量场 ,可以培养学生对结构数学的认识 ,而结构数学是现代数学发展的主要方向 .利用参数方程的概念 ,可以把曲线看作向…     

课堂教学设美方法初探

爱美之心人皆有之 .我们的实践表明 ,运用美的感染力能有效地激发学生的学习兴趣 ,较好地让学生全身心地投入到学习过程之中 ,充分地提高学生的智力参与程度 ,使课堂教学过程得到优化 ,教学效果得到提高 .为此 ,我们对课堂教学中“设美”的方法进行了一些粗浅的探索 .1　揭示美的内涵数学是一门充满美的科学 ,其内在美、奇异美、对称美等无不充满诱人的魅力 .1.1　美的内在联系即揭示数学知识与所研究对象间的内在关系 ,产生美的感受 .较典型的如柱、锥、台体之间的转换在电脑的动态演示下可得到充分的显示 ,由此可启发学生发现它们的侧面积…     

用对偶式巧解三角竞赛题

所谓对偶式,就是成对出现的对称结构. 在三角函数求值中,根据三角函数式的对称结构,灵活构造对偶式,不但可以简化计算,还能切身体会数学中的对称美.