关于角格点一些猜想的证明

文 [1 ]提出了 4 5个猜想 ,但笔者没有看出其规律 ,因而不能知道被省略的猜想 ,本文将证明文 [1 ]列出的全部猜想 .首先约定 ,本文中的 A,B,C,β,γ分别表示图 1中△ ABC的三个内角及∠ PBC,∠ PCB的度数 .定理 1　在图 1中 ,cot∠ PAB =sin Csin (β γ)sin ( B C) sinγsin ( B -β)- cot( B -β) .证明　在△ ABC,△ PBC中 ,分别运用正弦定理 ,得BCsin ( B C) =ABsin C,BCsin (β γ) =PBsinγ,所以　 AB =BCsin Csin ( B C) ,图 1　 PB =BCsinγsin (β γ) .在△ PAB中 ,再运用正弦定理 ,得ABsin(∠ PA…     

张角定理及其应用

<正>一、张角定理设A、C、B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA、PC、PB上的点,线段AC、CB对点P的张角分别为a、β,且a+β<180°,则A、C、B三点共线的充要条件是:(sin(a+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA).     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

由三弦定理想到的新定理

由文[1]中的三弦定理是：如图1,已知PA、PB、PC是⊙O的三条珐,记∠APB=a,∠BPC=β,则PB·sin（α＋β）=PC·sinα＋PA·sinβ．     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

张角公式的若干应用

张角公式如图1，设点C在线段AB上，AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β，则sin（γ，β）/PC=sinγ/PB＋sinβ/PA。     

切割线定理引出的一个结论

切割线定理的证明是大家所熟悉的 .其过程如下 :如图 1,P为圆O外一点 ,PA切圆O于A ,PBC交圆O于B、C ,求证 :PA2 =PB·PC .证明　∵　PA切⊙O于A ,∴　∠PAB =∠C .∵　∠P =∠P ,∴　△PAB∽△PCA .∴　 PAPC=PBPA.∴　PA2 =PB·PC .在这一过程中 ,由△PAB∽△PCA ,我们还可以得到另一个结论 :PBPA=ABAC.利用这个结论 ,可以快速地解决圆中有关图形的计算、证明问题 .图 2例 1(黑龙江省 ,1999)如图 2 ,P为圆O外一点 ,PA切圆于A ,PA =8,直线PCB交圆于C、B ,PC= 4,AD⊥BC于D ,∠ABC =α ,∠ACB =β ,连结A…     

“直角”三证

<正>贵刊2017年3月下课外练习栏目初三年级的第3题:已知:如图1,PO平分∠AOB,PA⊥PB,PA=PB,∠A≠∠B,求证:∠AOB=90°.参考答案证明设OA=a,OB=b,PA=PB=x,OP=m,S△POA=S_1,S△POB=S_2,且∠POA=∠POB=α,则S_1=1/2OA·OP·sinα=1/2am sinα,S_2=1/2OB·OP·sinα=1/2bm sinα.同时S_1=1/2OA·AP·sin∠A=1/2ax sin∠A,     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

三角形中线上点的一个性质及其推广

性质1如图1,在△PAB中,M是边AB的中点,Q是PM上的任意一点,过点Q的任意一条直线交边PA,PB于A′,B′,若PQ=t PM,PA′=x PA,PB′=y PB,则1x 1y=2t.证因为M是AB的中点,所以PM=12(PA PB).PQ=t2(PA PB)=t2(1xPA′ 1yPB′)=t2xPA′ t2yPB′.因为Q,A′,B′共线,所以t2x t2y=1,即1x 1y=2     

三角形中一个有趣的巧合点

题目P是△ABC所在平面内的任意一点,以PA、PB为边作PAC′B,所以PA、PC为边作PCB′A,以PB、PC为边作PBA′C,则AA′、BB′、CC′、三线共点,且互相平分.分析由题设可分为以下六种情形:(1)P点在△ABC的内部,如图1,(2)P点在△ABC的外部,如图2,(3)P点在△ABC的某条边上,如图3,(4)P点与△ABC的某条边的中点重合,     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

平面上六线三角问题

平面上四个点 A、B、C、P,可构成六条线段 :BC、CA、AB、PA、PB、PC;三个角 :PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB所构成的角 .本文将研究上述六线三角的关系问题 .本文约定 :文中所示△ ABC均为逆时针转向 ,所谓 PA到 PB的角是指以 PA为始边绕 P点沿逆时针方向旋转到 PB位置所得到的最小正角 .很显然 ,此角必在区间 [0 ,2π)内 .另外 ,文中“∑”表示循环和 ,“∏”表示循环积 .定理 1　△ ABC三边长为 BC=a,CA =b,AB=c,面积为△ ,P为△ ABC所在平面上一点 ,设 PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB的角分别为α、β、γ,记 PA =x,…     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

数学问题解答

2005年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)6在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D,E在上,且∠DAE=60°,过A,D,E的圆交AB于P,AC于Q.(1)当BP CQ=EP DQ时,求∠BAD的度;(2)当AP=21CQ时,求∠BAD的度数.(福建厦门九中陈四川361004)解:(1)连结DP,EQ.∠B=∠C=30°,设∠BADα,∠CAE=β,α β=60°;⊙ADE的半径为R.因为∠ADC=∠1,∠C为公共角.所以△CDA△CQE,ACDD=ECQQ,CQ=EQ·ACDD.同理:BP=PD·ABEE.BP CQ=2R·sinα·sin(sαin B60°) 2R·sinβn(β 60°)sinC=4R[sinα·sin(α 60°) sinβ·β 60°)]=2R[cos60…     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题　设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明　如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴　△ABP∽△ADC.图1故　　　ABAD=APAC=BPCD.1又　∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知　△ABD∽△APC,于是　　　　ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理…     

一道平几题的简证、逆命题及一个类似命题

文给出并证明了如下一道几何题:已知C、D是△PAB的AB边上的点,且AC= BD,一直线分别交PA、PC、PD、PB于A′、C′、D′、B′点,求证:     

向量命题的两种推广

文[1]用两种方法证明了向量命题：命题若P是△ABC内部一点,且λ1PA→＋λ2PB→＋λ3PC→=0→（λ1,λ2,λ3〉0）,记S△PBC=SA,S△PAC=SB,S△PAB=SC,则SA∶SB∶SC=λ1∶λ2∶λ3.     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…