探究二元不等式链的间距问题

利用基本不等式√ab≤(a>0,b>0),容易证明如下二元不等式链:若x,y∈R⁺,则x²+y²/2√xy≥x²+y²/x+y≥√x²+y²/2≥x+y/2≥√xy≥√2xy/x+y≥√2xy/√x²+y².     

取值范围问题的解法探究

<正>在一次数学测试中,有这样一道题目:已知实数x>0,y>0,且x²+y2+y²-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x2-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x²+y2+y²-xy=3,整理得7y2-xy=3,整理得7y²-5ty+t2-5ty+t²-3=0.因为方程有解,     

求方程整数解的六种方法

<正>方程在中学数学中占有重要地位,而求方程的整数解又是其重要的一种问题类型.本文就这类方程的解法进行探索,找到了六种解法.1解法介绍(1)建立不等式(组)法(1)主元法偽例1 已知x²+xy+2y2+xy+2y²=29,x,y为整数,求x,y.分析方程中含有两个未知数,不妨把x当成主元,y看成常数,则利用一元二次方程的判别式大于等于零,可求得y的取值范围,就可以求整数y的值.     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

二元条件下求最值的解题策略

<正>题目设x,y为实数,若4x²+y2+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_____.本题是一个在二元条件下求最值的问题.题目短小但内涵丰富.对于这类二元条件下的最值问题,常常出现于近年模拟卷、高考卷或竞赛卷中.下面,笔者从不同的视角切入,给出这一典型试题的多种解法,供广大高中生学习参考.     

一道2021年中国科技大学少年创新班考试数学试题解法与思考

<正>题目(2021年中国科技大学少年创新班考试数学试题)若x²+y2+y²=x2=x²+z2+z²+■xz=z2+■xz=z²+y2+y²+yz=16,则2xy+xz+■yz=_.1解法分析本题已知条件是三元二次方程组,若按照常规思路去解方程组求未知数,然后再求值,是很难办到的,需要寻找其它解法.分析已知等式的结构特点,发现三个表达式酷似余弦定理(含勾股定理),于是有了构造三角形求解的方向,并看出涉及的三个角分别是90°,120°,     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

一道多元函数高考题的解答策略与方法

<正>多元函数的最值问题是近几年高考、强基、竞赛考查的热点,该问题寓运算、思辨、论证于一体,其形式复杂,方法灵活多变,能有效考察同学们思维的灵活性和创造性.笔者总结多元函数求解常用的几种解法,以期为同学们学习有所帮助.例题(2020江苏高考卷第12题)已知5x²y2y²+y2+y⁴=1(x,y∈R),则x4=1(x,y∈R),则x²+y2+y²的最小值是__.     

数形结合巧解题

<正>题目已知椭圆3x²+2y2+2y²-6x=0(1)与x2-6x=0(1)与x²+y2+y²-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x2-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x²-6x+2m=0,即Δ=b2-6x+2m=0,即Δ=b²-4ac>0,∴0相似文献   

求圆的方程问题的四种解法

<正>在数学的学习过程中,如果对一题有多种解法,则说明对知识有更多的理解;对知识的应用也更加熟练.下面就以一道求圆的方程为例:已知圆C_1:x²+y2+y²+2x+2y-8=0与C_2:x2+2x+2y-8=0与C_2:x²+y2+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点,求圆心在直线y=-x,且过A、B两点的圆的方程.方法一(待定系数法)     

椭圆最值与范围问题的探讨

<正>椭圆是我们高中解析几何的重要组成部分,椭圆中的最值与范围的求解有异曲同工之处,方法也往往众多.如何掌握并迅速锁定方法是我们要解决的一个重要问题.现在我们结合例题梳理一下方法吧.例1求椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x2=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1结合基本不等式可知     

二次函数中的非常规题举例

<正>在现行教材中,只讲到二次函数的常规问题,但非常规问题还很多,往往又有一定难度,现举几例供同学们参考.例1已知x,y是实数,当x²+2y2+2y²=1,求2x+3y2=1,求2x+3y²的最值.分析这是在x2的最值.分析这是在x²+2y2+2y²=1(x,y为实数)的条件下,求S=2x+3y2=1(x,y为实数)的条件下,求S=2x+3y²的最值问题,叫做条     

关于丢番图方程X~3±1=1267y~2的整数解

关于丢番图方程x³±1=1267y3±1=1267y²的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x2的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x³-1=1267y3-1=1267y²有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x2有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x³+1=1267y3+1=1267y²仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

错解辨析

<正>圆是高中数学的重要组成部分,同时也是高考的高频考点,但在学习本部分内容时,倘若对基础知识和基本技能掌握的不好就很可能会导致解题的失误,现举例加以辨析,以期能对大家解题能力的提升有所帮助.1.忽视必备前提例1若圆C_1:x²+y2+y²=1和圆C_2:x2=1和圆C_2:x²+y2+y²-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值范围是().     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

一道经典不等式赛题的多种证法

<正>题目已知p>0,q>0,且p³+q3+q³=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x3=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x³+y3+y³=2,求x+y的取值范围.此题文字简洁,结构优美,设计精巧,内涵丰富,解法多样,赏心悦目.是一道很值得探究的好题.以下几种证法,在此与读者共享.     

幂函数不等式的错解剖析

<正>例若(a+1)^(-(1/3))<(3-2a)(-(1/3))<(3-2a)^(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x^(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x^(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x^(-(1/3))的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).故不等式可化为     

斜率关系问题的推广与应用

<正>笔者在辅导学生时,学生提出下面问题"AB是抛物线y²=4x的焦点弦,P是准线上一点,求证:kPA,kPF,kPB成等差数列."经探究得出其一般性.定理1 AB是抛物线y2=4x的焦点弦,P是准线上一点,求证:kPA,kPF,kPB成等差数列."经探究得出其一般性.定理1 AB是抛物线y²=2px,(p≠0)或椭圆x2=2px,(p≠0)或椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,(a>b>0)或双曲线     

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=