关于Hardy-Littlewood一个定理的注记

若圆|z|<1内解析函数f(z)=f(re~(iθ))对所有00,)则称f(z)∈H_p。H_p类解析函数f(z)在|z|=1上几乎处处有角形边界值f(e~(iθ)),且满足‖f(e~(iθ))‖_p<+∞([1]第二章)。这时称函数 为f(e~(iθ))的k阶积分连续模,其中κ为任意自然数。当κ=1时,简记ω_1(δ)_p=ω_p(δ)。 关于H_p(p≥1)类解析函数,Hardy—Littlewood有一个定理([2]定理48):     

Ahlfors第二基本定理中等号成立的不可能性 献给杨乐教授80华诞

Ahlfors第二基本定理断言,对于扩充复平面■上任意q(q≥3)个互异点构成的集合E_q,都存在一个最小正常数H_0(E_q),使得任意单连通曲面Σ=(f, ■)都满足(q-2)A(Σ)-4π#(f~(-1)(E_q)∩U)≤H_0(E_q)L(?Σ),其中A(Σ)是Σ的面积, L(?Σ)是Σ的周长,#表示元素的个数.之前的论文已经证明,上述定理中的等号不可能成立.作为Ahlfors第二基本定理的特殊情形,存在一个最小的正常数h_0(E_q),使得每个内部不取E_q的单连通曲面Σ=(f, ■)(即要求f(U)?■\E_q),都满足(q-2)A(Σ)≤h_0(E_q)L(?Σ).本文证明这个不等式中的等号还是不可能成立(Zhang(2013)已经针对一个特殊情形发现此现象),证明过程又给出了一些其他的结果,回答了我们早先论文未解决的两个问题.     

广义树映射的吸引中心和ω-极限集空间

设D是广义树(即具有有限个分支点的树突(dendrite)),f是D上的连续自映射.用P(f)、R(f)、SA(f)、Γ(f)、UΓ(f)、ω(x,f)和?(f)分别表示f的周期点集、回归点集、特殊α-极限点集、γ-极限点集、单侧γ-极限点集、x的ω-极限集和非游荡集.对任意A?D,记ω(A)=∪_(x∈A)ω(x,f).对任意的自然数n≥2,记ω~n(f)=ω(ω~(n-1)(f)),其中ω(f)=∪_(x∈D)ω(x,f).本文证明:对任意的正整数n,有ω~(n+2)(f)=ω~2(f)=ω(?(f))=ω(SA(f))=ω(Γ(f))=ω(P(f)∪(∪_(n=0)~∞f~n(UΓ(f))))=ω(P(f))=ω(R(f)∪UΓ(f))=P(f)∪(∪_(n=0)~∞f~n(UΓ(f)))?P(f).此外,本文还构造了一个只有一个分支点的广义树D和D上的一个连续自映射f,使得{ω(x,f):x∈D}在Hausdorff度量下不是闭的.     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

de Bruijn图的(1,2)-步竞争图

设D=(V,A)是一个有向图.有向图D的(1,2)-步竞争图是关于V(D)的无向图,表示为C_(1,2)(D).若边{x,y}∈E(C_(1,2)(D)),当且仅当存在一个顶点z≠x,y,使得d_(D-y)(x,z)≤1且d_(D-x)(y,z)≤2或者d_(D-x)(y,z)≤1且d_(D-y)(x,z)≤2.在2000年,Cho等人给出了m-步竞争图的定义.主要研究了deBruijn图的(1,2)-步竞争图,并给出了deBruijn图中的弧为C_(1,2)(D)的边的一个刻画.     

不等式研究成果集锦(11)

131在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,当max( A,B,C)≤ (π - crccosk)时 ,有　 ∑ a2b2 c2 ≤ 2 k2 5k 52 k 3,( 12 ≤ k <1 )当△ ABC为顶角为 (π - arccosk)的等腰三角形时取等号 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 32　在△ ABC中 ,三边长为 a、b、c,则i) ∑ a3b3 c3<389;ii) ∑ a4b4 c4<1 381 7.猜想 ,当 n≥ 2时 ,有∑ anbn cn <2 n-1 22 n 1 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 33　设△ ABC三边长为 a,b,c,则∑( - a b ca ) λ ≥ 3,其中λ≥ p =log2 3- 1 =0 .584 96 2 5… ,且 p是使不等式成立的最小正数 .猜想　设 0≤ xi <1 (…     

有向图的L(j,k)数的上界

给定正整数j≥k,有向图D的一个L(j,k)-标号是指从V(D)到非负整数集的一个函数f,使得当x在D中邻接到y时|f(x)-f(y)|≥j,当x在D中到y距离为二时|f(x)-f(y)|≥k.f的像元素称为标号.L(j,k)一标号问题就是确定(?)j,k-数(?)j,k(D),这个参数等于(?) max{f(x)|x∈V(D)},这里f取遍D的所有L(j,k)-标号.本文根据有向图的有向着色数及最长有向路的长度来研究(?)j,k-数,证明了:(1)对任何有向着色数为(?)(D)的有向图D,(?)j,k(D)≤((?)(D)-1)j;(2)对任何最长有向路的长度为l的有向图D,如果不含有向圈或者D中最长有向圈长度为l 1,则(?)j,k(D)≤lj.并且这两个界都是可达的.最后我们对l=3的有向图给出了3j-L(j,k)-labelling的一个有效算法.     

共形映射中的边界对应

本文研究区域在边界点处的局部几何构造是如何决定映射函数的分析性质的.我们把区域的边界点分成简单边界点和复杂边界点两类,并证明:(i)W∈?G是G的简单边界点当且仅当A(w,f)=f^-1(w).(ii)当G有界时,G中任何解析单叶函数没有koebe弧的充要条件是G的每个边界点都是简单边界点.(iii)复平面中的紧集A是局部连通集当且仅当它的余集的每个边界点都是简单边界点,并且A有有限个连通分支.     

关于β级α-凸函数的一点注记

荟1.引言 记单位圆D={z:l2!相似文献   

S~O-类函数的积分性质及其在分形中的应用

利用非标准分析的方法,给出了S~0-类实函数的一个积分不等式和一个积分等式:(1)设A是标准的完备度量空间(X,d)中的一个准标准内的子集,μ是X上的一个Borel正则有限的标准外测度.若f是X上的一个非负的S~0-类实函数,则有°(∫_Aμ)≤∫_(°A)°fdμ.特殊情况当f≡1时,有°(μ(A))≤μ(°A);(2)设E是标准的s-紧集,若f是E上的一个S~0-类实函数,则°(∫_E fdH~s)=∫_E°fdH~s,这里°(*)指的是*的影子.并给出了这些结果在分形几何中用以判断一个分形集其内部是否非空的方法及一个分形函数在Hausdorff测度空间上的积分的计算方法,并给出了相应的实例加以验证.     

ON THE CHARACTERISTIC FUNCTION OF SEMI-HYPONORMAL OPERATOR

本文继[3]之后，研究拟亚正常算子和半亚正常算子的特征函数.设\[A = U|A{|_r}\]是\[H{\kern 1pt} {\kern 1pt} \] 上拟亚正常算子，\[U\]是酉算子，\[B = |A{|_ + } - |A{|_ - }\],作算子\[A\]的特征函数\[W(\lambda ,A) = I - {B^{\frac{1}{2}}}{(\lambda I - {A_ - })^{ - 1}}U{B^{\frac{1}{2}}}\] 定理1 设\[A = U|A{|_r}\]及\[{A^'} = {U^'}|{A^'}{|_r}\]为\[\varphi - \]拟亚正常算子而且都是简单的.又设 \[U\]与\[{U^'}|\]是酉算子.如果有酉算\[T\]将\[H\]映照成\[{H^'}\]而且\[|{A^'}{|_ \pm } = T|A{|_ \pm }{T^{ - 1}}\]，\[{U^'} = TU{T^{ - 1}}\]那末必有\[{\cal B}(A)\]到\[{\cal B}({A^'}){\kern 1pt} \]上的酉算子\[S{\kern 1pt} {\kern 1pt} \]使当\[\lambda \notin \sigma ({A_ - }) = \sigma (A_ - ^')\]时\[W(\lambda ,{A^'}) = SW(\lambda ,A){S^{ - 1}}\]反之亦真. 下面设\[A\]是半亚正常的.又设\[{\cal D}\]为一辅助的希尔伯特空间，\[K\]为\[{\cal D}\]到\[{\kern 1pt} H\]中的线 性算子使\[Q = |A{|_{\rm{r}}} - |A{|_l} = K{K^*}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \]，当\[\lambda \in \rho (A)\]，\[|Z| \ne 1\]时作 \[Y(z,\lambda ) = I - {\kern 1pt} {\kern 1pt} z{K^*}{(I - z{U^*})^{ - 1}}{(A - \lambda I)^{ - 1}}K\] 定理2设\[A = U|A{|_r}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]及\[{A^'} = {U^'}|{A^'}{|_r}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]分别是\[H\]与\[{H^'}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]中的半亚正常算子，\[U\]与 \[{U^'}\]是酉算子而且\[A\]与\[{A^'}\]都是简单的.如果存在\[{\cal D} \to {{\cal D}^'}{\kern 1pt} \]上的酉算子\[S\]使 \[{Y^'}(z,\lambda ) = SY(z,\lambda ){S^{ - 1}}\] 那末必有由\[H\]到\[{H^'}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]上的酉算子\[T\]使(1)成立，反之亦真. 定理3 若\[K\]是希尔伯特-许密特算子则\[Y(z,\lambda )\]的行列式（当\[|Z| \ne 1\]时）存在， 且\[\det (Y(z,\lambda )) = \det ((I - z{U^*})(A - \lambda I){(I - z{U^*})^{ - 1}}{(A - \lambda I)^{ - 1}})\] 下面只考虑奇型积分模型这时\[W(\lambda ,A)\]成为乘法算子，\[(W(\lambda ,A)f)({e^{i\theta }}) = W({e^{i\theta }},\lambda )f({e^{i\theta }})\]其中\[W({e^{i\theta }},\lambda ) = I - \alpha ({e^{i\theta }}){(\lambda {e^{i\theta }}I - \beta ({e^{i\theta }}))^{ - 1}}\alpha ({e^{i\theta }})\] 我们又假设\[A\]是完全非正常的.记\[{Y_ \pm }({e^{i\theta }},\lambda )a = \mathop {\lim }\limits_{r \to 1 \pm 0} Y({e^{i\theta }},\lambda )a\] 定理4设\[\lambda \in \rho (A){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]，\[a \in {\cal D}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]为固定的，那末\[{Y_ \pm }({e^{i\theta }},\lambda )a\]为黎曼-希尔伯特问题 \[{Y_ - }({e^{i\theta }},\lambda )a = W({e^{i\theta }},\lambda ){Y_ + }({e^{i\theta }},\lambda )a\] 的解. 设\[{\cal L}({\cal D}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]为\[{\cal D}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]上线性有界算子全体所成的Banach空间，\[H_ \pm ^p({\cal L}{\kern 1pt} ({\cal D}{\kern 1pt} {\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} \]为单位圆 外，内取值于\[{\cal L}({\cal D}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ){\kern 1pt} \]的某些解析函数所成的Hardy空间.设\[f({e^{i\theta }})\]是单位圆周上的函 数，如果有\[{u_ \pm } \in H_ \pm ^p({\cal L}{\kern 1pt} ({\cal D}{\kern 1pt} {\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} (p > 2)\]使\[u_ - ^{ - 1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \]存在\[{u_ - }{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {({e^{i\theta }})^{ - 1}}{u_ + }{\kern 1pt} ({e^{i\theta }}) = f({e^{i\theta }})\]则称\[f\]是可分解的.     

清华大学·微积分试题(A卷)1999.7.12

一、填空题(每小题4分,共40分)1.幂级数∑∞n=0(-1)n 1xn3n 2(n 4)的收敛半径是;收敛域是.2.函数f(x)在区间[0,1]上的表达式为2-x,f(x)在区间[0,1]上的正弦展开和余弦展开分别是S1(x)=∑∞n=1bnsinnπx和S2(x)=a02 ∑∞n=1ancosnπx,则S1(0)=,S2(0)=.3.设L是抛物线y=x2(-1≤x≤1),x增加方向为正向,则∫Lxdl=;∫Lxdy-ydx=.4.设S为半球面z=1-x2-y2,则S(x y z)dS=.5.设L是平面上一条逐段光滑的简单闭曲线,它包围的区域D的面积等于A,a1,a2,a3,b1,b2,b3是常数.则∮L(a1x a2y a3)dx (b1x b2y b3)dy=.6.设S为平面x y z=1在第一挂限的部分上侧…     

UNBOUNDED SELF-ADJOINT OPERATOR ΠK SPACE

如果A是Πsubsub空间上的自共轭算子，由文[1]可知存在空间昨一个标准分解 \[{\Pi _k} = N \oplus \{ Z + {Z^*}\} \oplus P\] 在此分解下，A有三角模型\[A = \{ S,{A_N},{A_p},F,G,Q\} \].利用三角模型，我们直接证明了 定理1设A是\[{\Pi _k}\]上的-共轭算子，n是任何自然数，那末\[{A^n}\]也是自共轭算子. 定理2设A是\[{A^n}\]上的自共轭算子，那末对所有的\[{A^n}(n = 1,2,...)\]，存在一个公共 的标准分解，在此分解下 \[\begin{gathered} {A^n} = \{ {S^n},A_N^n,A_P^n,\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}} FA_N^{n - 1 - i},\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}GA_P^{n - 1 - i}} , \hfill \ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}} Q{S^{*n - 1 - i}} - \sum\limits_{i + j + k = n - 2} {{S^i}(FA_N^j{F^*} + GA_P^j{G^*}){S^{*k}}} \} \hfill \\ \end{gathered} \] 定理3 设A是瓜空间上的自共轭算子，\[\sigma (A) \subset [0,\infty ),0 \notin {\sigma _P}(A),\]，那末存在唯 一的自共轭算子A1，满足\[A_1^n = A,\sigma ({A_1}) \subset [0,\infty )\] 其次，我们研究了谱系在临界点附近的性状.记临界点全体为\[C(A)\]).对 \[{\lambda _0} \in C(A)\]记S与入0相应的最高阶根向量的阶数为\[r({\lambda _0})\] 定理4设A是\[{\Pi _k}\]空间上的无界自共轭算子，\[C(A) \cap ({\mu _1},{\nu _1}) = \{ {\lambda _0}\} \],那末以下四 个命题等价： (i）\[\mathop {sup}\limits_{\mu ,\nu } \{ \left\| {{E_{\mu \nu }}} \right\||{\lambda _0} \in (\mu ,\nu ) \subset ({\mu _1},{\nu _1})\} < \infty \] (ii）\[{\mu ^{{\text{1}}}}...,{\mu ^{{{\text{k}}_{\text{0}}}}}\]是全有限的测度； （iii）\[s - \lim {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {E_{\mu \nu }}\]存在； （iv)A与\[{\lambda _0}\]相应的根子空间\[{\Phi _{{\lambda _0}}}\]非退化；这里\[{\mu ^{{\text{1}}}}...,{\mu ^{{{\text{k}}_{\text{0}}}}}\]是由\[{A_P}\]与G导出的测度. 定通5 设A是\[{\Pi _k}\]上自共轭算子，\[{\lambda _0} \in C(A),r({\lambda _0}) = n\]，那么 （i）\[{E_{\mu \nu }}\]在\[{{\lambda _0}}\]处的奇性次数不超过2n， （ii）\[s - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{[{M_1},{\lambda _0} - \varepsilon )} {(t - {\lambda _0}} {)^{2n}}d{E_t},s - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{[{\lambda _0} + \varepsilon ,{M_2})} {(t - {\lambda _0}} {)^{2n}}d{E_t},\]存在。这里\[{M_1},{M_2}\]满足\[[{M_1},{M_2}] \cap C(A) = \{ {\lambda _0}\} \] 定理6 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，临界点集\[C(A) = \{ {\lambda _1},...,{\lambda _l},{\lambda _{l + 1}},{\overline \lambda _{l + 1}},...,{\lambda _{l + p}},{\overline \lambda _{l + p}},\]，这里\[\operatorname{Im} {\lambda _v} = 0(1 \leqslant \nu \leqslant l),r({\lambda _\nu }) = {n_\nu }\]那么有 \[{(\lambda - A)^{ - 1}} = \int_{ - \infty }^\infty {K(\lambda ,t)d{E_t}} + \sum\limits_{\nu = 1}^l {\sum\limits_{i = 1}^{2{n_\nu } + 1} {\frac{{{B_{\nu i}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _\nu })}^i}}}} } + \sum\limits_{\nu = l + 1}^{l + p} {\sum\limits_{i = 1}^{{n_\nu }} {[\frac{{{B_{\nu i}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _\nu })}^i}}}} } + \frac{{B_{\nu i}^ + }}{{{{(\lambda - {{\overline \lambda }_v})}^i}}}]\] 这里 \[K(\lambda ,t) = \frac{1}{{\lambda - t}} - \sum\limits_{v = 1}^l {\delta (t - {\lambda _v}} )\sum\limits_{i = 1}^{2{n_v}} {\frac{{{{(t - {\lambda _v})}^{i - 1}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _v})}^i}}}} ,\delta \lambda {\text{ = }}\left\{ \begin{gathered} {\text{1}}{\text{|}}\lambda {\text{| < }}\delta \hfill \ {\text{0}}{\text{|}}\lambda {\text{|}} \geqslant \delta \hfill \\ \end{gathered} \right.\] \[0 < \delta < \mathop {\min }\limits_\begin{subarray}{l} 1 \leqslant \mu ,v \leqslant l \\ {\lambda _\mu } \ne {\lambda _v} \end{subarray} |{\lambda _\mu } - {\lambda _v}|\].对\[1 \leqslant v \leqslant l\]，\[{B_{vi}}\]是\[{\Pi _k}\]上的有界自共轭算子，而当\[l + 1 \leqslant v \leqslant l + p\]时，\[{B_{vi}} = {({\lambda _\mu } - S)^{i - 1}}{P_{\lambda v}}\]是以与\[{{\lambda _v}}\]相应的根子空间为值域的某些平行投影. 定理7 在定理6的条件下，有 \[\begin{gathered} {\text{f}}(A) = \int_{ - \infty }^\infty {[f(t) - \sum\limits_{v = 1}^l {\delta (t - {\lambda _v}} } )\sum\limits_{i = 0}^{2{n_v} - 1} {\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _v})}}{{i!}}} (t - {\lambda _v})d{E_t} \hfill \ {\text{ + }}\sum\limits_{{\text{v = 1}}}^{\text{l}} {\sum\limits_{i = 0}^{2{n_v}} {\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _0})}}{{i!}}} } {B_v} + \sum\limits_{v = l + 1}^{l + p} {\sum\limits_{i = 0}^{{n_v} - 1} {[\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _v})}}{{i!}}} } {B_{vi}} + \frac{{{f^{(i)}}({{\overline \lambda }_v})}}{{i!}}B_{vi}^ + ] \hfill \\ \end{gathered} \] 这里\[f(\lambda )\]在\[\sigma (A)\]的一个邻域内解析. 为了建立更一般的算子演算，我们引入两个特殊的代数： \[{\Omega _n} = \{ (f,\{ {a_i}\} _{i = 0}^{2n})|f\]为Borel可测函数，\[\{ {a_i}\} \]为一常数}。对\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n},G = (g,\{ {b_i}\} ) \in {\Omega _n}\]，定义 \[\begin{gathered} \alpha F + \beta G = (\alpha f + \beta G,\{ \alpha {a_i} + \beta {b_i}\} ) \hfill \ F \cdot G = (f \cdot g,\{ \sum\limits_{j = 0}^i {{a_j}} {b_{i - j}}\} ),\overline F = (\overline f ,\{ {\overline a _i}\} ) \hfill \\ \end{gathered} \] 显然\[{\Omega _n}\]是一个交换代数，它的子代数\[{\omega _n}\]定义为 \[{\omega _n} = \{ F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}|\]在0点的一个与F有关的邻域中，成立\[{\text{|f(t) - }}\sum\limits_{i = 0}^{2n} {a{t^i}} | \leqslant {M_F}|t{|^{2n + 1}},{M_F}\]与F有关} 定义 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，C（A）={0}，r(0)=n,对\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\omega _n}\]，定义 \[\begin{gathered} FA{\text{ = }}\int_{{\text{ - }}\infty }^\infty {|f(t) - \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} } {t^i}{|^2}d{E_t} + \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} {A^i} \hfill \ DF(A)) = D({A^{2n}}) \cap \{ x \in {\Pi _k}\int_{{\text{ - }}\infty }^\infty {|f(t) - \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} } {t^i}{|^2}d{\left\| {{E_t}x} \right\|^2} < \infty \hfill \\ \end{gathered} \] 如果f解析，\[F = (f,\{ \frac{{{f^{(i)}}(0)}}{{i!}}\} )\]，那么可得F（A）=f（A）。 定理8 设A是有界自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，\[G \in {\omega _n}\]，那么 \[\begin{gathered} \overline F (A) = {[F(A)]^ + },(\alpha F + \beta G)(A) = \alpha F(A) + \beta G(A) \hfill \ (FG)(A) = F(A)G(A). \hfill \\ \end{gathered} \] 定理9 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，\[{F_1} = ({f_1},\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}\]，\[{F_2} = ({f_2},\{ {a_i}\} ) \in {\omega _n},{f_1},{f_2}\]在\[( - \infty ,\infty )\]连续，在\[\sigma (A)\]上恒等，那么\[{F_1}(A) = {F_2}(A)\]。 定理10 设A是\[{\Pi _k}\]上自共轭算子C（A）={0}，r（0）=n，\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}\]f是连续函数，那么\[\sigma (F(A)) = \{ f(t)|t \in \sigma (A)\} \]。 在定理11中，我们建立了F（A）的三角模型并由此证明当\[F = \overline F \]时，\[C(F(A)) = \{ f(t)|t \in C(A)\} \] 定理12 设A施可析\[{\Pi _k}\]空间上的自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，与0相应的根子空间非退化，T是稠定闭算子，那么\[T \in {\{ A\} ^{'}}\]的充要条件是存在\[F \in {\Omega _n}\]，使T=F（A）。这里\[{\{ A\} ^{'}} = \{ T|\]对满足\[BA \subset AB\]的有界算子B，均有\[BT \subset TB\]}     

第16卷(2001年)B辑(英文版)第2期目次和提要

完全二部图的K1,pk-因子分解 　　杜北樑 (苏州大学数学系) 　　给出了完全二部图Km,n的K1,pk-因子分解的一个充分条件,其中k取素数幂pk.这个充分条件是：(1) m≤pkn,(2) n≤pkm,(3) pkn-m≡pkm-n≡0(mod (p2k-1),(4)(pkn-m)(pkm-n)≡0(mod(pk-1)pk(p2k-1)(m+n)). 　　 　　 　　极大平面图在不可定向曲面上强嵌入的一个注记 　　刘同印　刘彦佩 (北方交通大学数学系) 　　证明了每个极大平面图G=(V,E)在亏格最多为(|V|-2)/2的不可定向曲面上存在一个强嵌入,使得其曲面对偶仍为平面图.作为推论,得到G在不可定向曲面上强嵌入的一个插值定理. 　　 　　 　　图的循环带宽和 　　郝建修(郑州大学数学系) 　　设G是一个简单图.循环带宽和问题是：寻找图G在圈上的一个标号,使得边的长度总和尽可能小.文中给出了循环带宽和的上下界. 　　 　　 　　具强迫力的奇数阶中立型微分方程的振动性 　　陶有山　高国柱 (东华大学应用数学系) 　　考虑具强迫力的奇数阶中立型微分方程 　　(dn)/(dtn)[x(t)-R(t)x(t-τ)]+P(t)x(t-σ)=f(t),t≥t0 　　的振动性.给出了上述方程所有解都振动的一个充分条件. 　　 　　 　　中立型二阶非线性微分方程振动性的判据 　　盖明久　时　宝　张德存(烟台海军航空工程学院基础部) 　　给出了如下形式的中立型二阶非线性微分方程： 　　[x(t)+p(t)x(σ(t))]″+q(t)f(x(τ(t)))g(x′(t))=0 　　及 　　 　　［x(t)+p(t)x(σ(t))］″+q(t)f(x(t),x(τ(t)))g(x′(t))=0 　　振动的充分性判据. 　　 　　 　　具有一个细焦点和一个粗焦点的二次系统的极限环的个数 　　张平光　赵申琪(浙江大学数学系) 　　证明了具有一个细焦点和一个粗焦点的二次微分系统粗焦点外围至多有一个极限环,且当细焦点的阶数是2(或3)时,这种系统至多有2(或1)个极限环呈(1,1)分布(或(0,1)分布). 　　 　　 　　奇异椭圆方程组径向正解的存在性 　　万阿英 (呼伦贝尔学院数学系)　蒋达清 (东北师范大学数学系) 　　研究圆环中半线性椭圆方程 　　Δu+p(r)f(u)=0　0相似文献   

DMk OPERATORS AND SPECTRAL OPERATORS

1谱位于平面上的有界\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子 记号与[1,2]相同，不再一一赘述.设序列 {Mk}满足（M.1)，(M.2)，(M.3)即.对数凸性、非拟解析性、可微性[1]. 由{M（k）}我们可以 定义二元相关函数\[M({t_1},{t_2})\](详见[7])以及二元\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]空间 \[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }} = \{ \varphi |\varphi \in \mathcal{D};\exists \nu ,st{\left\| \varphi \right\|_\nu } = \mathop {\sup }\limits_\begin{subarray}{l} s \in {R^2} \\ {k_i} \geqslant 0 \\ (i = 1,2) \end{subarray} |\frac{{{\partial ^{{k_1} + {k_2}}}}}{{{\partial ^{{k_1}}}{s_1}\partial _{{s_2}}^{{k_2}}}}\varphi (s)|/{\nu ^k}{M_k} < + \infty \} \] 其中\[s = ({s_1},{s_2})k = {k_1} + {k_2}\].关于谱位于复平面上的有界\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子的定义及性质可 参看[3,4].设X为Banach空间，B(X)为X上有界线性算子的全体组成的环.当 \[T \in B(X)\]为\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子时，有\[T = {T_1} + i{T_2};{T_1} = {U_{Ret}}{T_2}{\text{ = }}{U_{\operatorname{Im} {\kern 1pt} t}}\] ,此处U为T的谱超广义函数，t为复变量.由于supp(U)为紧集，故可将U延拓到\[{\varepsilon _{ < {M_k} > }}\]上且保持连续性. 经过简单的计算，若\[T \in B(X)\]为谱位于平面上的一个\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子，则T的一个谱 超广义函数（1）U可表成 \[{U_\varphi } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i({t_1}{T_1} + {t_2}{T_2})}}\hat \varphi } } ({t_1},{t_2})d{t_1}d{t_2}\] 设\[T \in B(X)\]为谱算子，S、N、E（.)分别为T的标量部分、根部、谱测度.下面的定理给出了谱算子成为\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子的一个充分条件： 定理1设T为谱算子适合下面的条件 \[\mathop {\sup }\limits_{k > 0} \mathop {\sup }\limits_\begin{subarray}{l} |{\mu _j}| < 1 \\ {\delta _j} \in \mathcal{B} \\ j = 1,2,...,k \end{subarray} {(\left\| {\frac{{{N^n}}}{{n!}}\sum\limits_{j = 1}^k {{\mu _j}E({\delta _j})} } \right\|{M_n})^{\frac{1}{n}}} \to 0(n \to \infty )\] 其中\[\mathcal{B}\]为平面本的Borel集类.则T为\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子且它的一个谱广义函数可表为 \[{U_\varphi } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{N^n}}}{{n!}}} \int {{\partial ^n}} \varphi (s)dE(s)\] 推论1设E（?），N满足 \[{(\frac{{{M_n}}}{{n!}} \vee ({N^n}E))^{\frac{1}{n}}} \to 0\] 则T为\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子. 推论2设N为广义幂零算子，则对于任何与N可换的标量算子S,S+N为\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子的充分必要条件是 \[{(\frac{{\left\| {{N^n}} \right\|}}{{n!}}{M_n})^{\frac{1}{n}}} \to 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (n \to \infty )\] 在[4]中称满足上式的算子为\[\{ {M_k}\} \]广义幂零算子.显然\[\{ {M_k}\} \]广义幂零算子必为通 常的广义幂零算子.下面的命题给出了\[\{ {M_k}\} \] 广义幂零算子的一些性质. 命题 设N为广义幂零算子，则下列事实等价： (i ) N为\[\{ {M_k}\} \]广义幂零算子； (ii)对于任给的\[\lambda > 0\],存在\[{B_\lambda } > 0\]使(1) \[\left\| {R(\xi ,N)} \right\| \leqslant {B_\lambda }{e^{{M^*}(\frac{\lambda }{{|\xi |}})}}\](\[{|\xi |}\]充分小)； (iii)对于任给的\[\mu > 0\],存在\[{A_\mu } > 0\]使 \[\left\| {{e^{izN}}} \right\| \leqslant {A_\mu }{e^{M(\mu |z|)}}\] 2谱位于实轴上的有界\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子本节讨论有界\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子T成为谱算子 的条件，这里假定\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]中的函数是一元的，于是Т的谱位于实轴上.X^*表示X的共轭 空间. 设\[f \in {\mathcal{D}^'}_{ < {M_k} > }\]，由[8, 9]，存在测度\[{\mu _n}(n \geqslant 0)\]使得对任何h>0,存在A>0适合 \[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{h^n}}}{{n!}}} {M_n}\int {|d{\mu _n}| \leqslant A} \]且 \[ < f,\varphi > = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}} \int {{\varphi ^{(n)}}} (t)d{\mu _n}(t)\] 一般说，上述\[{\mu _n}(n \geqslant 0)\]不是唯一的，为此我们引入 定义设\[{n_0}\]为正整，如果对一切\[n \geqslant {n_0}\]，存在测度\[{{\mu _n}}\]，它们的支集均包含在某一L 零测度闭集内，则称f是\[{n_0}\]奇异的，若\[{n_0}\] = 1，则称f是奇异的.设\[T \in B(X)\]为\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型 算子，U为其谱超广义函数，如果对于任何\[x \in X{x^*} \in {X^*},{x^*}U\].x是\[{n_0}\]奇异的（奇异 的)，则称T是\[{n_0}\]奇异的(奇异的）\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子. 经过若干准备，可以证明下面的 定理2 设X为自反的Banach空间，则\[T \in B(X)\]为奇异\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子的充分必要 条件是T为满足下列条件的谱算子： (i)对每个\[x \in X\]及\[{x^*} \in X\]，\[\sup p({x^*}{N^n}E()x)\]包含在一个与\[n \geqslant 1\]无关的L零测 度闭集F内(F可以依赖于\[x{x^*}\])，此处E(?)、N分别是T的谱测度与根部； (ii)算子N是\[\{ {M_k}\} \]广义幂零算子. 推论 设X为自反的banach空间，\[T \in B(X)\]为奇异\[{\mathcal{D}_{ < {M_k} > }}\]型算子且\[\sigma (T)\]的测度 为零的充分必要条件是T为满足下列条件的谱算子： (i) E(?）的支集为L零测度集； (ii) 算子N是\[\{ {M_k}\} \]广义幂零算子.；