S~O-类函数的积分性质及其在分形中的应用

利用非标准分析的方法,给出了S~0-类实函数的一个积分不等式和一个积分等式:(1)设A是标准的完备度量空间(X,d)中的一个准标准内的子集,μ是X上的一个Borel正则有限的标准外测度.若f是X上的一个非负的S~0-类实函数,则有°(∫_Aμ)≤∫_(°A)°fdμ.特殊情况当f≡1时,有°(μ(A))≤μ(°A);(2)设E是标准的s-紧集,若f是E上的一个S~0-类实函数,则°(∫_E fdH~s)=∫_E°fdH~s,这里°(*)指的是*的影子.并给出了这些结果在分形几何中用以判断一个分形集其内部是否非空的方法及一个分形函数在Hausdorff测度空间上的积分的计算方法,并给出了相应的实例加以验证.

The Integral Property of S~O-Class Functions and Its Application in Fractal

In this paper,utilizing the method of nonstandard analysis,we prove that:（1） for any near standard interior subset A and a standard Borel regular finite outermeasureμof standard complete metric space（X,d）,if f is a nonnegative real functionin S⁰（X）,then the integral inequality°（∫_A fdμ）≤∫_°A°fdμ,holds,in special case°（μ（A））≤μ（°A） for f= 1;（2） if f∈S⁰（X） and E is a s-compactsubset of X,then°（∫_E fdH^s）=∫_E°fdH^s,where°（*） denote the shadow of *.Moreover,by using these results we give a judgmentmethod of fractal with the interior nonempty and a calculating method for integrationwith respect to a fractal function on the Hausdorff measure space,the efficiency of thetwo methods is shown with examples.