读“过一点切线方程的另一种初等求法“有感

文[1]首先分析了Δ法求圆锥曲线过一点切线方程的不足,然后介绍了借助构造关于给定点对称的曲线求过一点切线方程的方法.受文[1]的启发,笔者对求这一点切线方程这类问     

圆锥曲线中的切点弦及其方程

设点P是圆锥曲线C外一点,过点P作圆锥曲线C的两切线,切点为A,B,我们将圆锥曲线C的弦AB称为与点P对应的圆锥曲线C的切点弦．在近年来的高考和竞赛中,有关切点弦的试题频频出现,而对于求切点弦所在直线的方程,我们若处理不当,往往会引发繁琐的运算．为此本文将介绍求圆锥曲线的切点弦所在直线的方程的一种简便方法,并结合例题说明切点弦方程的应用,供读者参考．     

怎样应用切点弦方程解题

我们知道,如果Ｐ（ｘ０,ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的任一点,则过Ｐ点的该椭圆的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．如果Ｐ点不在椭圆上,那么方程ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１表示什么呢？这正是本文要介绍的切点弦方程．１　切点弦方程的概念在圆锥曲线外一点引圆锥曲线的两条切线,过这两切点的弦称为圆锥曲线的切点弦．在解析几何中,切点弦方程的巧妙推导给解题引进了一种新的方法．图１２　切点弦方程的推导设椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１,过椭圆外一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）作这椭圆的切线,切点为Ａ、Ｂ,求过Ａ…     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

切点弦

一般地说,从圆锥曲线外一点P_0(x_0,y_0),可引两条切线P_0A,P_0B(A,B为切点)。它虽然不象圆那样:具有切线长定理等几何性质,但连结两个切点A、B,所得的方程,却有相同的推导方法。为了叙述上的方便,把这种方程叫做切点弦方程。这种方程的推导简     

点P处的切线不同于过点P的切线

教材第三册 (选修Ⅱ )“导数的概念”一节 ,讲到导数的几何意义时 ,给出了两个例题 (例 3、例 4 ,P114— 115 ) ,都是利用导数求曲线上某一点P处的切线 ,也就是求以P为切点的切线 ,这样的切线只有一条 .如果求过点P的切线 ,就得另当别论 ,点P处的切线当然是过点P的切线 ,但过P点的切线却未必是点P处的切线 ,因为P点可能不是切点 ,从而这样的切线可能不只一条 .为了便于比较 ,我们把教材中例 3(P114)的 (2 )求点P处的切线 ,改为求过点P的切线作为例题 .图 1　例题图例题　如图 1,已知曲线 y =13x3 上一点P 2 ,83,求过点P的切线方程 .解…     

圆锥曲线切线性质的拓展探究

由圆的切线到椭圆、双曲线、抛物线的切线都有诸多性质,这些性质都有着广泛的应用.本文就圆锥曲线切线的性质做进一步的探讨.性质1:过抛物线外一点向抛物线引两条切线,给出三个条件:①互相垂直;②交点在准线上;③切点连线     

过圆锥曲线外任意一点作两条切线的方法

<正>抛物线中的阿基米德三角形的切线,切点弦有很多有趣的性质.在2021年的全国高考数学乙卷中,它再次成为命题素材.因此对我们一线教师来说,会用几何画板动态地展示阿基米德三角形并作出椭圆、双曲线的切线和切点弦就显得非常有必要了.通过查阅文献了解到,[1]-[5]解决了过圆锥曲线上一点作切线的方法,[6]-[10]利用其光学性质等二级结论并借助焦点和准线来作过圆锥曲线外任意一点的两条切线.而笔者基于圆锥曲线的切点弦与曲线的交点即为切点这一事实,     

直线的参数方程的应用(续完)

二、在求轨迹方程(包括直线方程)中的应用例1.从原点向抛物线族y~2=2P(x-a)(a≥0)中的抛物线作切线,求切点的轨迹方程。解:∵a≥0.故抛物线族有过原点的切线,设切线方程     

也谈作圆锥曲线的切线使之平行于已知直线

如何作圆锥曲线与已知直线平行的切线 .文〔1〕给出了一种作法 ,该作法的作图条件是已知圆锥曲线的对称轴及焦点 .本文将探讨在不需任何附加条件的情况下 ,如何作圆锥曲线与已知直线平行的切线 .定理　已知圆锥曲线Ｔ及其上一点Ｐ ,ｌ为Ｔ在点Ｐ的切线 ,则Ｔ共轭于ｌ的直径过点Ｐ .证明　略 (见文〔3〕)作图题　已知圆锥曲线Ｔ及平面内一条直线ｌ(当Ｔ为抛物线时 ,Ｔ与ｌ平行的弦存在 ;当Ｔ为双曲线时 ,Ｔ与ｌ平行的弦存在 ,并且在Ｔ的同支上 ) ,试求作圆锥曲线Ｔ与直线ｌ平行的切线 .作法　 (1 )作Ｔ与ｌ的平行线的两条弦ＡＢ、ＣＤ ,并分…     

源于基础 开拓思维——一道习题的解法与联想

“解析几何是用代数方法来研究几种问题的一门数学学科.”用代数方法解决几何问题确实方便.但是注意到几何本身的性质,加强数与形的结合,将更有利于解析几何的教与学.高中(解析几何课本)甲种本第126页第24题为:过圆外一点P(a,b),引圆x~2+y~2=R~2的两条切线,求经过两切点的直线方程. 解法(1):设过P点圆的切线方程:     

对三次函数图象的切线的探究

人教社高中数学第三册(选修Ⅱ)第112页例3是:例如图1,已知曲线y=1/3x3上一点P[2,8/3],求(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线的方程.问题展示后,学生大多能迅速找到解题思路,并得到正确结果:(1)4;(2)12x-3y-16=0.接着笔者给出了如下变式,请同学们继续思考.变式已知曲线y=13x3上一点P(2,38),求过点P的切线的方程.经过讨论,我们对“曲线过点P的切线”和“曲线在点P处的切线”进行了区别,并求得变式题的切线有两条(如图2),方程分别为12x-3y-16=0与3x-3y 2=0.图2中,切线3x-3y 2=0与曲线有两个交点,过曲线上一点P可以作两条直线与曲线相切,…     

用导数的几何意义求切线方程的另一"误区"

文[1]举例剖析了用导数的几何意义求切线方程的一个“误区”,指出:“当点P在曲线y=f(x)上,要求过点P的切线时,一定要注意可能存在两种情况:一是点P本身即为切点;二是切线是以曲线y=f(x)上的另一点Q为切点,但该切线恰好过点P.”作为文[1]的补充,本文举例剖析另一“误区”.题目曲     

直线上两点间的距离公式及其应用

1　公式设直线 l的方程为 y =kx m,点P1( x1,y1) ,P2 ( x2 ,y2 )为直线 l上任意两点 ,则有 :| P1P2 | =1 k2 | x1- x2 | ,　或| P1P2 | =1 1k2 | y1- y2 | ( * )这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式 .但从其推导过程 (利用两点间距离公式及直线方程 )容易看出 :这一结果与 P1,P2 是否在圆锥曲线上无关 .求弦长仅仅是它的一种应用 ,因此更名为“直线上两点间距离公式”更符合其本质特征 .本文旨在发掘这一公式在其它方面的重要应用 .2　应用2 .1　用于求曲 (直 )线方程待定系数是求曲线方程的基本方法 ,由此求曲线方程需将给定的几何…     

圆锥曲线的切线和切点弦方程的应用

<正>定理1过圆锥曲线C:Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为0)上一点P(x_0,y_0)的切线方程为:Ax_0x+By_0y+D(x_0+x/2)+E(y_0+y/2)+F=0.证明设切线方程为x=m(y-y_0)+x_0,代入曲线方程C中有:A[m(y-y_0)+x_0]~2+     

过一点切线方程的另一种初等求法

先看一个具体问题:求过椭圆x42 y32=1上一点P(1,23)的切线方程.在中学阶段解决此类问题,一般采用Δ方法,即设切线方程为y-32=k(x-1),代入x24 y32=1,整理得关于x的一元二次方程:(3 4k2)x2 (-8k2 12k)x 4k2-12k-3=0,通过判别式Δ=(-8k2 12k)2-4(3 4k2)(4k2-12k-3)=0,解得k=-21,故所求切线方程为x 2y-4=0.这种方法思路直,用到知识少,学生容易掌握,不足之处是运算量偏大,出错率高.那么能否给出一种求解思路简单,而运算量又较小的方法呢?命题:P(x0,y0)为圆锥曲线C:f(x,y)=0上一点,则曲线C上过P点的切线方程为f(x,y)-f(2x0-x,2y0-y)=0(*)证明:因…     

也谈一条美妙性质

文[1]给出了圆锥曲线的一条美妙性质,本文给出更为一般的情形. 定理过圆锥曲线准线上一点作该曲线的两切线,两切点所在直线过相应的焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).     

一道例题的补正

同济大学编《高等数学》(第四版 )上册第 1 0 3— 1 0 4页有一道例 8“求曲线 y=x32 的通过点 (5,1 1 )的切线方程。”书中的解过程为 :“解 :设节点为 (x0 ,y0 ) ,则切线的斜率为y′| x=x0 =32 x | x=x0 =32 x0于是所求切线方程可设为y -y0 =32 x0 (x -x0 ) (1 )切点 (x0 ,y0 )在曲线 y=x32 上 ,故有y0 =x032 (2 )切线 (1 )通过点 (5,1 1 ) ,故有1 1 -y0 =32 x0 (5-x0 ) (3)　　求解方程 (2 )及 (3)组成的方程组的解为 x0 =4,y0 =8,代入 (1 )式并化简 ,即得所求切线方程为3x -y -4 =0 .”　　该题是过曲线外一点求切线问题。显然 ,过曲线 y…     

圆锥曲线切、法线几何性质的应用

在生产实践和日常生活中,圆锥曲线切、法线的光学性质有着广泛的应用,在解几中圆锥曲线也有许多问题涉及到它的切法线,在解题中若能充分利用它们的几何性质,不但可熟悉这一重要性质的应用,而且常能使问题化繁为易,得到解题的新途径。一、圆锥曲线的切线和法线的性质性质1(如图1)经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这点的焦点半径的夹角。性质2(如图2) 经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。性质3(如图3)过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点     

探究x0x+y0y=r2与x0x+y0y=x02+y02的几何意义

问题背景苏教版教材必修二P105有这样一道习题:已知圆C的方程是x2+y2=r2,求经过圆C上一点M(x0,y0)的切线的方程.同学们在处理该问题时给出以下的解答过程:如图1,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是k=