探究抛物线阿基米德三角形

大家知道阿基米德对物理的影响,其实在高中数学中也有阿基米德的影子.抛物线阿基米德三角形如下定义:抛物线的弦与弦的端点处的两条切线所围成的三角形被称为抛物线阿基米德三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了有关性质:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的     

圆锥曲线又一统一性质的再推广

文[1]介绍了圆锥曲线的一个统一性质：经过圆锥曲线通径PQ的一个端点作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M、N,则直线MN平行于弦PQ的另一端点处的切线.文[2]放弃了弦PQ过焦点这一限制条件,将之推广为：性质经过圆锥曲线任意一条与对称轴垂     

探究抛物线阿基米德三角形

大家知道阿基米德对物理的影响,其实在高中数学中也有阿基米德的影子．抛物线阿基米德三角形如下定义：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线所围成的三角形被称为抛物线阿基米德三角形．阿基米德最早利用逼近的思想证明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二．     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质，引起了笔者的注意，文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线，那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢？经证明，答案是肯定的。     

也谈抛物线的阿基米德三角形的性质

过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做这三角形的底边，其他两边叫做这三角形的腰，两腰的公共端点叫做这三角形的顶点．文［１］给出了抛物线的阿基米德三角形的三条性质．本文提供另外的两条性质．我们需要下面的引理１自抛物线ｙ２＝２...     

圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质

圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形,这条弦叫做阿基米德三角形的底,两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点.特别地,我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.笔者借用几何画板研究发现圆锥曲线阿基米德焦点三角     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的     

再谈抛物线的阿基米德三角形的性质

过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做这三角形的底边,其他两边叫做这三角形的腰,两腰的公共端点叫做这三角形的顶点．文［１］,［２］给出了阿基米德三角形的三条性质,本文提供另外一些性质．引理［３］　自抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外一点Ｔ（ｘ０,ｙ０）引两切线,切点弦所在直线的方程为ｙ０ｙ－ｐ（ｘ＋ｘ０）＝０．性质１　设抛物线ｆ（ｘ,ｙ）＝ｙ２－２ｐｘ＝０（ｐ＞０）的阿基米德三角形的顶点为Ｔ（ｘ０,ｙ０）（ｘ０≠０）,底边为Ｐ１Ｐ２,两腰为ＴＰ１,ＴＰ２,∠Ｐ１ＴＰ２＝α…     

有心圆锥曲线的一个性质及其应用

大家知道,圆有这样一个简单性质:设 PA 和 PB是⊙O 的切线,A 和 B 是切点,则 OP 平分弦 AB 反之,设 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,过 A 作被 OP 平分的弦 AB,则 PB 切⊙于 B.我们发现有心圆锥曲线(椭圆和双曲线)也有类似的性质,即有     

抛物线的切线性质研究

“弦与切线”是圆锥曲线所研究的主要对象,在新教材中由于导数的引入,给“切线”问题的研究提供了方便.下面笔者针对抛物线的切线性质问题作一番探析,为了研究的需要,笔者采用“特殊→一般”的探求模式进行,供参考.一、由抛物线的一条切线引出的性质特殊问题1:已知抛物线y2=2px(p>0),AB是它的一条通径,过通径的一个端点A作抛物线的切线,交抛物线对称轴于C点,设抛物线的焦点为F.求证:|AF|=|CF|.问题分析:∵A是通径的一个端点,可设点A(2p,p)则过点A的切线方程为:py=p(x+2p),令y=0,即得点C(-2p,0),∴|CF|=p,∵|AF|=p,∴|AF|=|CF|.上面…     

用焦点弦定比解题

例过抛物线的焦点弦的两端点作抛物线的切线,求证:两切线的交点P在其准线上。证明设抛物线方程为y~2=2px,焦点F(p/2,0),焦点弦端点分别为A(x_1·y_1)、B(x_2,     

涉及焦点的圆锥曲线两条切线的统一性质

笔者借助几何画板测算———演示———猜想,而后证明得到一组涉及焦点的圆锥曲线两条切线的性质.图(1)定理1如图(1),设F为圆锥曲线的焦点,MN为焦点弦,A为曲线上任一点(不与M,N重合),直线MA交对应的准线于S,记直线SF与点A处的切线的交点为T,则直线TN是圆锥曲线在点N处的切线.引     

由圆锥曲线的焦点探究其准线的两种方法

笔者在讲授高中数学中圆锥曲线这一部分内容时,发现了由圆锥曲线焦点探究其准线的两种方法.方法1以圆锥曲线的焦点弦(斜率不为0)的两个端点为切点作圆锥曲线的两条切线,过这两条切线的交点作长轴(椭圆),实轴(双曲线),轴(抛物线)的垂线,那么这条直线就是这个焦点对应的准线.下面     

新题征展(112)

A 题组新编 　　1.(邓晓锋)过抛物线x2=2py的焦点F的弦AB的端点A,B的切线分别为AT,BT,求证:……     

过圆锥曲线外任意一点作两条切线的方法

<正>抛物线中的阿基米德三角形的切线,切点弦有很多有趣的性质.在2021年的全国高考数学乙卷中,它再次成为命题素材.因此对我们一线教师来说,会用几何画板动态地展示阿基米德三角形并作出椭圆、双曲线的切线和切点弦就显得非常有必要了.通过查阅文献了解到,[1]-[5]解决了过圆锥曲线上一点作切线的方法,[6]-[10]利用其光学性质等二级结论并借助焦点和准线来作过圆锥曲线外任意一点的两条切线.而笔者基于圆锥曲线的切点弦与曲线的交点即为切点这一事实,     

椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质

椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质，本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两个端点A，B与椭圆（双曲线）的中心O所构成的△OAB为直角三角形的几条性质，同时给出其几点应用．     

椭圆两条平行弦的性质及其应用

椭圆两条平行弦的性质及其应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）椭圆有许多性质，已为大家所熟知．本文仅介绍其中与两条平行拉有关的两个性质，并说明它们的应用．性质１如图１，经过椭圆＞ｂ＞０）长轴端点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心的半弦ＯＰ／／ＡＱ，则｜...     

圆锥曲线的"伴侣点"研究综述

1问题索源(1)早在80年代初,研究抛物线y2=2px(p> 0)焦点弦相关性质时,由高中教材中一道习题,即求证y1y2=-p2(y1,y2为焦点弦两端点纵坐标),当时曾提出近20道相关命题,其中如,已知焦点弦AB,过A、B两点作抛物线切线,则两切线交点必在     

圆的切点弦及其求法

已知圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =Ｒ2 及圆外一点Ｐ(ａ ,ｂ) ,过点Ｐ作圆Ｏ的两条切线ＰＡ ,ＰＢ ,切点分别为Ａ ,Ｂ ,则我们称弦ＡＢ为圆Ｏ的切点弦 .那么直线ＡＢ的方程是什么 ?该怎样求解呢 ?图 1　解法 1图分析 1:利用圆的切线及圆内接四边形几何性质 ,可构造一圆 ,然后借助圆系求解 .解法 1　连结ＯＡ ,ＯＢ ,由圆切线的几何性质可知 ,ＯＡ⊥ＰＡ ,ＯＢ⊥ＰＢ ,所以Ｏ ,Ａ ,Ｐ ,Ｂ四点共圆 ,ＯＰ为该圆的直径 (由解几课本Ｐ6 8第三题结论 :已知一个圆的直径端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则该圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ- ｙ1)…     

圆锥曲线直角顶点三角形顶点切线性质探究

直角三角形的直角顶点是圆锥曲线的顶点,另两顶点在圆锥曲线上的三角形叫直角顶点三角形.现作者通过几何画板发现圆锥曲线直角顶点三角形顶点切线具有如下的性质：性质1如图1,设OA,OB为抛物线y2=2p.x（p〉0）过顶点的两条互相垂直的弦,抛物线在A,B两点处的切线的交点为P,线段AB的中点为Q,则（Ⅰ）点P的轨迹为垂直于x轴的一条定直线;（Ⅱ）kOP·kAB为定值;