一类“恒成立”问题的又一解法

本刊 2 0 0 1年 18期刊出的《解一类“恒成立”问图 1　解答用图题的五种方法》 ,读后很受启发 ,使我增长不少知识 .认真思考后 ,我又得到一种解法 ,请大家指正 .题目　已知当ｘ∈[0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原式即 ｆ(ｘ) =(ｘ - 1)ａ + (ｘ2 + 3) >0 ,把ｘ看成常数 ,考虑关于ａ的一次函数 :ｔ(ａ) =(ｘ - 1)ａ + (ｘ2 + 3) ,它的图象是直线 ,令斜率ｋ =ｘ - 1,则ｋ∈ [- 1,0 ],又设截距ｂ =ｘ2 +3,有ｂ∈ [3,4 ],作直线系 .ｔ=ｋａ +ｂ ,ｋ∈ [- 1,0 ],ｂ∈ [3,4 ].当ｘ =1,ｋ =0 ,ｂ =4 ,如图 1中…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

一类最值互嵌问题的简捷解法

文 [1 ]探讨了最值互嵌问题 ,其中例 2涉及问题　设函数 ｆ(ｘ ,ｙ)对一切ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｂ有定义 ,求互嵌最值ｍｉｎｙ∈Ｂ ｍａｘｘ∈Ａｆ(ｘ ,ｙ) .通常是先确定Ｍ (ｙ) =ｍａｘｘ∈Ａ ｆ(ｘ ,ｙ)的解析式 ,再据此求最值 .但如文 [1 ]所述 ,确定Ｍ(ｙ)需经繁琐的分类讨论 ;当Ｍ (ｙ)较复杂时 ,求其最值亦非易事 .能否回避Ｍ (ｙ)而由 ｆ(ｘ ,ｙ)直接求解 ?本文提出一种有效方法 ,基于下述定理　设ａ∈Ａ ,ｂ∈Ｂ使一切ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｂ满足ｆ(ｘ ,ｂ)≤ｆ(ａ ,ｂ)≤ｆ(ａ ,ｙ) (1 )则函数 ｆ(ｘ ,ｙ)必有互嵌最值ｍｉｎｙ∈Ｂ ｍａｘｘ∈Ａｆ…     

再解“恒成立”问题

本刊 2 0 0 1年 18期《解一类“恒成立”问题的五种方法》、2 0 0 2年 12期《一类“恒成立”问题的又一解法》等文 ,先后介绍了求解“恒成立”问题的诸多方法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再介绍一种简捷新颖的方法供同学们借鉴、参考 .题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ + 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原不等式变形为ａｘ + 3-ａ >-ｘ2 .设 ｇ(ｘ) =ａｘ + 3-ａ ,ｈ(ｘ) =-ｘ2 .由于ｘ∈[0 ,1]时 ,[ｈ(ｘ) ]ｍａｘ=0 ,所以欲使 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0在ｘ∈ [0 ,1]上恒成立 ,只要 ｇ(ｘ) =ａｘ+ 3-ａ在ｘ∈ [0 ,1]上…     

挖掘隐含条件,巧解综合试题

我们知道 ,综合性命题一般都具有隐含条件 .初看比较困难 ,难以入手 ,若能用心思考 ,认真分析 ,隐含条件一旦发现 ,问题便迎刃而解 ,这里仅举二例 ,供同学们借签 .例 1　 (1992年上海高考试题 )已知二次函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ =ｔ+ 22 处取得最小值- ｔ24 (ｔ>0 ) ,且 ｆ(1) =0 .1)求 ｙ =ｆ(ｘ)的表达式 ;2 )若对任意实数ｘ都有等式 ｆ(ｘ)·ｇ(ｘ) +ａｎｘ +ｂｎ=ｘｎ +1(ｇ(ｘ)为多项式 ,ｎ∈Ｎ) ,试用ｔ表示ａｎ 和ｂｎ.分析与解答 1)由已知条件可知二次函数开口向上 ,故设ｆ(ｘ) =ａ ｘ - ｔ+ 222 - ｔ24 (ａ >0 ) .∵ ｆ(1) =0 ,∴ 0 =…     

双向不等式的一种解法

双向不等式ａ <ｆ(ｘ) <ｂ的求解是解不等式中的常见类型 ,一般解法是转化为不等式组 ｆ(ｘ) >ａｆ(ｘ) <ｂ来解 ,这种解法思路清晰 ,但有时并不简便 ,下面我们介绍一种更为简捷的方法 .解法的理论根据是 :若ａ <ｂ ,则ａ<ｆ(ｘ) <ｂ [ｆ(ｘ) -ａ] [ｆ(ｘ) -ｂ] <0 .例 1　解不等式 -3 <2ｘ -1ｘ + 2 <-2 .析解　原不等式等价于2ｘ -1ｘ + 2 + 3 2ｘ -1ｘ + 2 + 2 <0 ,即　(5ｘ + 5 ) (4ｘ + 3 )(ｘ + 2 ) 2 <0 ,即　 (5ｘ + 5 ) (4ｘ + 3 ) <0 .解之得原不等式的解集为 (-1,-34) .例 2　解不等式ｌｏｇ25ｘ + 2ｘ2 -5 <1.析解　原不等式…     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

n元一次不定方程解法新论

文 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]都研究了ｎ元一次不定方程的通解问题 ,受 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]的启发 ,笔者提出更为简捷有效的解法 .ｎ元一次不定方程ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ ,其中ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,Ａ都是整数 ,当 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ)｜Ａ时 ,ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ必有整数解 .在有整数解的前提下 ,不妨设 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ) =1 (下同 ) .1　二元一次不定方程二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｚ ,(ａ,ｂ) =1下同 )的所有整数解为ｘ=ｘ0 +ｂｔｙ=ｙ0 -ａｔ(ｔ∈Ｚ)其中ｘ0 ,ｙ0 是ａｘ+ｂｙ =ｃ的一个特…     

上期课外练习解答

高一年级1 .∵　 11 0 1 +1 0 01 0 1 =1 ,又ｆ(11 0 1 ) +ｆ(1 0 01 0 1 ) =1 ,∴　ｆ(11 0 1 ) +ｆ(21 0 1 ) +… +ｆ(1 0 01 0 1 ) =5 0 .2 .任取ｘ1、ｘ2 ∈ (-∞ ,ａ)且ｘ1<ｘ2 ,则 -ｘ1>-ｘ2 >-ａ 2ａ -ｘ1>2ａｘ -ｘ2 >ａ .∵　ｙ =ｆ(ｘ)在 (ａ ,+∞ )上是减函数 ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) <ｆ(2ａ -ｘ2 ) .又∵　ｘ∈Ｒ都有ｆ(ａ +ｘ) =ｆ(ａ -ｘ) ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) =ｆ[ａ +(ａ1-ｘ1) ]=ｆ[ａ -(ａ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) ,同理得ｆ(2ａ -ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｙ=ｆ(ｘ)在 (-∞ ,ａ)上是增函数 .3 .若ｘ∈ [-1 ,1 ]…     

2002年全国高中数学联赛第15题的解法的探讨

20 0 2年全国高中数学联赛试第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ - 4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且 ｆ(ｘ)≥ｘ ;2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ ｘ +122 ;3) ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只需ｘ∈[1,ｍ],就有ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .该题将对二次函数性质和解一元二次不等式的考查相结合 ,题目涉及到两个参变量ｔ与ｍ的讨论 ,因而具有相当的难度 .从整体上来说 ,首先要确定函数 ｆ(ｘ)的表达式 ,然后才好进行ｔ与ｍ的讨论 .根据题设所给的条件 1) ,2 ) ,…     

Prediction of the paper path in a laser printer by finite element analysis

A conventional problem of paper handling in a page-printing printer is to design a reliable paper path. Sometimes, this also affects the printing quality. The nonlinear theory of elastica has often been used to model paper deflection shape and to predict the paper path between some guiding rollers. The present paper proposes another method that can solve this problem more efficiently. Considering a piece of paper as a nonlinear beam, finite element analysis with geometric nonlinearity and manipulating the contact gap element between paper and guiding surfaces can be used to simulate the large-deflection behavior of paper. In this paper, the paper path in the vicinity of an OPC (organic photoconductive) drum is investigated with a general purpose finite element package. The effect of the electrostatic force between the OPC drum and the paper is considered, and the deformed shape of the paper for different forces lengths is obtained. According to those results an appropriate paper guide is added for an exact paper path.     

严格对角占优三对角矩阵逆元素的估计

本文给出了严格对角占优三对角矩阵逆元素的估计式,获得了比文[1]定理更好的结果。即:去掉了文[1]中非负这一限制条件,且使文[1]的定理成为本文定理之特例。     

A report on the introduction of a multiple choice examination for a first year university engineering mathematics course

The paper is an account of the experience of introducing a multiple choice mathematics examination paper for the first year engineering mathematics course at Nottingham University. The form of the paper is described, as is a system for providing the candidates with feedback on their performance without the publication of the examination paper.     

广义Kannan型压缩条件的注记

本文给出了 [4 ]中的广义Kannan型压缩条件下映象的一个不动点定理 ,说明了 [2 5]中广义Kannan型压缩条件下映象与 [1 ]中Kannan型压缩条件下映象具有一致的不动点存在性 .     

试卷质量的灰色综合评判

李文革．试卷质量的灰色综合评判．数理统计与管理，１９９７，１６（４），４２～４５．本文运用灰色综合评判评价了文［１］中的七套试卷，得到了与文［１］不同的结果，但本文的结果更符合客观实际。     

近似良紧空间的相对可乘性

文[2]江守礼、李进金定义了相对乘积空间，使不同的LF空间可以进行乘积运算．本文利用广义Zadeh型函数讨论近似良紧空间的相对可乘性，使得文[5]和[6]的一些结论是本文的推论．     

考虑成本因素的税企博弈模型

本在献[1]的基础上,进一步考虑成本因素在更为一般的条件下建立了新的税企博弈模型,得到国家税务机关最优混合策略及其骗税罚款系数公式,并且指出献[1]的结论是本的一个推论。     

对“关于《亚正定阵理论(Ⅱ)》一文的错误”一文的注记

本文指出文[2]的错误,拓广了Minkowski不等式,同时修正了文[1],[2]的错误．     

Josef Meixner: His life and his orthogonal polynomials

This paper starts with a biographical sketch of the life of Josef Meixner. Then his motivations to work on orthogonal polynomials and special functions are reviewed. Meixner’s 1934 paper introducing the Meixner and Meixner–Pollaczek polynomials is discussed in detail. Truksa’s forgotten 1931 paper, which already contains the Meixner polynomials, is mentioned. The paper ends with a survey of the reception of Meixner’s 1934 paper.     

凸函数和凹函数的幂平均不等式

文 [1 ]获得了当 α≥ 1时的凸函数的幂平均不等式 (3)、(4 ) [1] .本文指出文 [1 ]中的一个错误 ,并且得到了 α≤ 1时的凹函数的幂平均不等式 .修正和充实了文 [1 ]的定理 .同时讨论了当 α取其它值时不等式的情况 .