构造等边三角形解赛题

几何题难,难在作辅助线.在人们的思维定势中,常以作延长线、作高线、作角平分线和作中线为思考的方向,而以某线为一边,作等边三角形这样的辅助线很难想到.若在解题时我们能构造等边三角形解题,就可以简化思考     

例谈平面几何中的“红娘”——三角形问题中的辅助线

三角形这一章内容是几何中最重要的基础知识 .在与三角形有关的证明或计算中 ,常常需要作辅助线 .辅助线是已知和求证的“红娘” ,起“牵线搭桥”之作用 .它不仅能使分散条件集中化 ,隐含条件明显化 ,还能化难为易 ,化繁为简 .从而达到解决问题的目的 .辅助线在处理线段的“和、差、倍、分”时 ,表现尤为突出 ,效果更为“神奇” ,作用富有典型性 .下面例谈作辅助线构造新图形或构造全等三角形、等腰三角形解答典型问题 ,供大家参考 .一、连结两点法例 1　如图 1,在△ABC中 ,∠BAC =12 0° ,AB =AC ,AB的垂直平分线DE分别交BC ,AB于…     

探求几何题简解(证)的辅助线

几何题的证、解,除了比较简单的情形以外,一般都要作辅助线,辅助线的作法,千变万化,作出了不同的辅助线,往往就有了不同思路的解(证)法,这都需要我们不断积累知识认真总结经验.比如总结出"梯形中常用辅助     

确定目标,整体构造——一道平几习题的解法探讨

<正>添加辅助线是解决初中几何问题的基本方法,如截取线段、角相等、作平行、作垂直等等,在遇到较为困难的几何问题,辅助线的添加,是学习的难点.如果考虑到图形之间的联系,追踪结论,确定目标,整体构造,这样高屋建瓴,更容易发现解决问题的关键所在.     

对2023年北京中考几何综合题的思考

<正>今年北京中考过后,同学们反映几何综合的27题比较新、比较难,好多同学第二问没有证出来.究其原因是没有作出合适的辅助线.我们知道平面几何的魅力之一就是添加辅助线,它可以使难题的证明豁然开朗,给人一种美妙的体验;它能极大地激发我们学习数学的热情,使我们更加积极地挑战新问题.但是如何添加辅助线是学习平面几何的一个重点与难点,本文以此题为例,试着给出作辅助线的常用方法.     

立体几何中的辅助平面和辅助直线——兼与几何中的向量法唱点反调

辅助线又被称之为"几何的生命线".在平面几何中,正确地作出辅助线是问题解决的关键;同样地,在立体几何中,正确地作出辅助平面或辅助直线也是问题解决的关键.平面几何中的辅助线一般难于寻找,相比之下,作出或找出立体几何中的辅助平面或辅助直线则容易多了.要作出辅助平面或辅助直线,首先要搞清楚在什么情况情形下需要作辅助平面或辅助直线.     

用翻折法找辅助线位置

在解平面几何问题时,经常要作辅助线,有些问题的辅助线添加在什么位置,往往很难确定.学过了轴对称以后,根据轴对称原理,把图形绕某直线翻折,翻折图形中的某点(或线段)的座落位置,就是添加辅助线的位置,再恰当作出辅助线就容易解题了. (一)用角平分线所在直线为轴翻折找辅助线位置 角是关于它的平分线所在直线为轴的轴对称图形,图中若有角平分线或可证明是角平分线,就可以用角平分线所在直线为轴翻折,从而作出辅助线. 例1 已知如图1,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于     

全等三角形证明中辅助线的作用和作法

在全等三角形的证明中,要求存在两个形状相同、大小相同的三角形;应该如何添加辅助线?且这些辅助线有什么作用?笔者经过研究全等三角形的证明,发现辅助线的作用主要体现在以下三个方面,现与大家共同分享.     

“杠杆平衡定理”与“线段比”

杠杆平衡原理:如图1,设AB为一根轻质杠杆,O为支点.若A、B两点受到的作用力分别为FA、FB,则杠杆平衡时,有OA×FA=OB×FB,且支点O处所承受的力为FA+FB.在求三角形内的有关线段比问题时,常常需要作辅助线.然而,运用杠杆平衡原理来解决此类问题,有时既不要作辅助线又方便快捷,请看:     

直角坐标系下的等腰直角三角形

<正>数学的趣味在于它需要我们推理和创造,引入辅助元素是引人注目的一步.本文将探索等腰直角三角形,在平面直角坐标系下添加辅助线的一般规律.等腰直角△ABC,若直角顶点A在直线l上运动,通过引入辅助线(作双垂直),构造一组全等三角形来解题的思路具有一般性.如图1和图2所示.     

垂径定理在解竞赛题中的应用

众所周知,圆是轴对称图形.垂径定理及其逆定理正是体现了圆的轴对称性,很多与圆有关的问题都需要使用垂径定理或逆定理来解决,只不过是很多的时候需要先作辅助线补全基本图形.下面以数学竞赛题为例,加以说明.一、作弦的弦心距遇到圆中弦的问题,作该弦的弦心距为常用的辅助线,该弦心距所在的直线就是圆的     

添加辅助圆解题

<正>在几何问题的求解中,经常会添加辅助线,辅助线多是一些直线、线段或者射线,有时也会添加曲线,比如圆.哪些情况下会添加辅助圆呢?举例分析如下.1.添加三角形的外接圆作已知三角形的外接圆最具有灵活性,对其添加需要用心去体会,并多尝试.     

遇到困难想“开”点

几何题难 ,难在作辅助线 .在许多人的常规思维中 ,辅助线只会在图形的内部作 ,“锅里打 ,碗里斗” ,而“延”着图形想开去———在图形的外部作辅助线 ,是一个极易忽视或很难想到的问题 .本文谈谈我在这方面的看法 .一、向外作延长线例 1△ABC内 ,∠BAC =60° ,∠ACB =40° ,P、Q分别在BC、CA上 ,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线 .求证 :BQ +AQ =AB +BP . (2 0 0 2年全国竞赛 )分析　延长AB至D ,使BD =BP ,则AB +BP =AD .由∠QBC =∠C =40° ,得BQ =QC ,于是BQ +AQ =AC .易知△ADP≌△ACP ,所以AC =AD …     

从结论的特征入手 联想作辅助线

<正>学习数学离不开解题,通过解题培养分析问题、解决问题的能力.然而,不少同学遇到复杂问题需要作辅助线时,常不知从何入手,找不到解题途径,本文将举例说明线段a=b+c,射影定理、相交弦定理、割线定理结构及2倍线段关系联想作辅助线的方法,供同学们参考.例1如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,求证:BC+CD=AC.     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间     

辅助线在平面几何解题中的应用

<正>在几何解题中,添加辅助线的方法很重要,本文将从如何添加辅助线入手,向大家介绍一些添加辅助线的方法,来开拓应用辅助线解决几何题目的思路.一般来说,辅助线决定着解答几何题目的方法,添加的辅助线不一样,证明的办法也基本不一样.平面几何中添加辅助线的情况,主要是按照定义添加辅助线,或者是按照基本图形来添加^([1]).下面我们按照初中几何学习的基本图形,即三角形、四边形、圆形,来看看相关的几何问题如何解决.     

一道奧数题的简证

<正>题目[1]如图1,在Rt△ABC中,已知CD为斜边AB上的高,I、I1、I2分别为△ABC、△ADC、△BDC的内心,IE⊥AB于点E,直线AI与BC、BI与AC、MN与CD分别交于点N、M、Q.证明QE∥=CI.在文[1]的证明中,作了很多辅助线,使证明过程比较迂回而繁琐.经笔者研究发现,证明此题不须作辅助线,其证明过程简洁而明快.     

辅助线是几何证明的“点睛”之笔

对于几何证明题,总有一些学生幻想能够一眼看出,即从已知出发只需一步推理直接得出结论。学习中哪有这样的"好事",所以常常碰壁。几何证明要耐心细致,冷静分析,谨防急躁心理。要善于作辅助线,搭建已知与结论之间的"桥梁"。作几何辅助线好比画龙点睛。巧妙的辅助线往往使解题起死回生,从条件到结论,水到渠成。     

辅助线不会“蹦”出来

自习课上,我正在拼命地思考一道题的多种解法,老师来了一句:“你为什么要这样作辅助线?”奇怪了,作辅助线还问“为什么”?脑子里一蹦就蹦出来了呗!后来仔细想想,似乎还真有个“为什么”的问题．今天写这个题目,似乎大了些,毕竟我不可能概括全面,但还是想总结三小点． 1．陌化熟通过作条辅助线,将题目变成我们所熟悉     

剖析一道几何题

本文根据"平行线"的特点,利用同底等高的两个三角形面积相等的性质,巧作辅助线,方法巧妙,供欣赏.