折纸告诉你直角等分问题的数学原理

一、问题的引入 我们知道,一张正方形的纸（如图1）如果按其对角线AD往上翻折,那么右下角∠D就被平分了,即将一个90°的角分成了两个相等的45°角．因此很容易利用折纸的方法得到直角的角平分线．那么,如何用最直接的方法得到直角的三等分线呢？如图2,先将正方形纸片对折,得到折痕MN,再将右底角向上翻折,使得翻折后的顶点落在折痕MN上,如图3．     

贺芳第一与第二定理在一般长方形中的拓展探究

一、前言 在折纸数理学中,芳贺第一定理是指将一张正方形纸的右下顶点C翻折至上边AB中点C '时,底边CD的翻折线C 'D '与AD的交点G是AD的三等分点(如图1);芳贺第二定理是指将一张正方形纸的右上顶点B以右下顶点C与上边AB中点E的连线段为折痕翻折至B '时,EB'的延长线与AD的交点H是AD的三等分点(如图2).文[1]对芳贺第一定理进行了三个方面的一般化,笔者受其启发,对第二个方面的一般化(正方形→长方形)进行更深入地探究,并将探究扩展到芳贺第二定理上,期望得到关于这两种折法的更一般结论.     

利用折纸来改善数学教学——从芳贺第一定理谈起

1 .前言提起折纸 ,我们往往会想到用一张四方的纸来折自然界的各种动植物或现实世界中人类的各种创造物等 ,在手工课上 ,学生如果拿到一张纸 ,没有老师的指示 ,他们也会情不自禁地折出一些作品来 ,但利用折纸来改善数学教育 ,对许多中小学数学教师来说可能是一件新鲜事 .在我国 ,折纸中的数学问题作为课题学习或研究性学习的材料 ,已引起部分数学教师及数学教育研究人员的关注 ,部分数学教育工作者在自己的教育科研实践中作了一些尝试 .但这些活动大多以折正多边形及立体为主 ,即主要关注怎样折各种几何图形 ,而对折痕线或折纸过程中所得平…     

折纸与尺规作图

1折纸概述折纸是古代中国和日本的一种艺术形式．在折纸创作时，折纸能手是从一张正方形的纸开始的。     

矩形折纸中的风采探究

近几年来,折纸成为中考的热点,难点,它不但考查学生灵活运用数学知识的能力,而且也考查了学生看图、识图、动手操作能力.解决这类问题的关键是:把握折纸实质上是以折痕为对称轴的轴对称,充分利用翻折前后的两个图形全等,问题就容易解决了.下面谈谈矩形折纸中的数学问题. 一、折叠出正方形 矩形最基本的折纸,就是用一张长方形纸片折一个正方形. 如图1,可以折出正方形, 二、折叠出菱形 例1已知:如图2所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.     

用长方形纸折出多种图形

<正>许多同学都喜欢折纸,对于有些折纸问题,要折得出折得好,需要数学知识和数学思考的支撑.对折(折叠)可以得到相等的线段、相等的角,它的本质是轴对称.下面我们一起用长方形纸片折出各种特殊三角形、特殊四边形和几种正多边形,折一折,思一思;思一思,折一折,动手又动脑,享受、体验折纸的快乐,经历其中包含的数学思想.一、折特殊三角形.1.折等腰三角形.     

一节数学课的改进过程

近日,我校的一位老师要参加市级数学优质课比赛,内容为抛物线及标准方程 (第 1课时),在备课中,我们一起经历了 2次设计与方案修改、2次试讲与行为改进的过程,本文将展现这一过程.1. 教学的设计与讨论1.1　设计方案初稿:①折纸游戏;根据图 1演示折纸 (后改为:阅读游戏规则,动手操作折纸)②观察、发现 1:折线的交点是抛物线③几何画板动态演示折纸过程及抛物线④探究、发现 2:抛物线上的点到定点的距离等于到纸边的距离⑤形成定义: (学生概括,教师补充 )平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的…     

移动魔方

准备材料 正方形折纸、彩笔、尺子、铅笔. 第一步 拿出正方形折纸,用尺子将其均匀地分成25个正方形格子,并用铅笔画线标记. 第二步 将正方形折纸沿横线向下折叠4次后展开. 从左往右数,第一排第二个小正方形沿对角线向右下方对折后展开;第三个小正方形沿对角线分别向左下方和右下方各对折1次并展开;第五个小正方形沿对角线向右下...     

“折”学与数学

<正>折纸,是需要在有限的一个单位大的纸上进行科学的、近乎极致地分配,才能呈现出美丽的作品.越是复杂的成品,越需要进行精密的计算,里面蕴含了很多数学的知识.尤其是设计一个作品的时候,甚至还会用到大学微积分的概念.现代折纸与数学的完美结合,为折纸提供了无限可能,也将折纸与数学这两门看似毫不相干的学科联系了起来,使我们感受折纸当中蕴含的数学美与数学文化.     

再告企圖用規尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”這一個不成問題的問題,本通報已經登過啟事說明這是一個已經證明“不能”的問題,忠告一些同志不要浪費寶貴的精神企圖“能”了。啓事登了以后,“三等分角”的稿件還是源源而來,我們雖然對於每一稿都作了答覆,但認爲對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間,殊不值得,就來稿的情况看:有些同志是不知道這個問題已經證明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;還有人想了一方法,他自己認爲是對的,但是不會證,讓我們代他證;更有人對於他想的方法並沒有信心,認為是“十不離九”,萬一不對的話,也是近似的;等等。這樣,我們敢大胆地說一句話:這些同志還沒有徹底了解前人對於這個問題的證明,现在我們再一次奉勸企圖用規尺三等分任意角的同誌細讀前人的證明,這樣的證明,數學界公認為是對的已經多年了,如果還有人懷疑,就請先把它駁倒了再研求三等分法,幸勿先想方法,不管前人研究的成果,     

Diamond折纸管状结构轴向冲击性能分析

为了降低薄壁管状结构受轴向冲击时的初始峰值载荷,将diamond刚性折纸模型引入到薄壁管状结构的设计中.利用有限元分析方法,以方形截面为例,分析了diamond折纸管状结构的轴向冲击性能.结果表明:相比于传统方形薄壁管,diamond折纸管状结构具有较低的初始峰值载荷和更加平稳的变形过程.得出了diamond折纸管状结构按折纸预折形式变形的临界条件.分析了diamond折纸管状结构在轴向冲击载荷作用下,底角对初始峰值载荷和平均冲击载荷的影响.     

由矩形“折”出来的中考题

翻翻近年来各地的中考试卷,便不难发现,一类矩形折纸的题型受到了命题老师的广泛关注和青睐,今年江苏省盐城市还将这类矩形折纸问题“折”进了中考压轴题(占12分)．笔者以为,这么做,无非是因为这类问题知识面覆盖广,极具灵活性,解法呈现多样化,就笔者多年参与阅卷情况看,相当多的人着实感到解答起来不够顺手,颇具难度．这     

折纸游戏中的数学

折纸游戏是能带给我们许多美好回忆的童年游戏之一.也许我们当时在游戏时只是记住了一些折法,而对折法中蕴涵的一些数学知识未必知晓.其实,对于不同年龄阶段的学生,我们都可以通过折纸游戏设计出一些相关的数学问题,让学生在玩中学习,这样不但可以提高学生的动手能力,还可以培养学生学习数学的兴趣.     

翻转与折叠变换的应用

<正>数学中平面图形的变换主要包括:平移、旋转、翻转与折叠(以下简称"翻折")等几个方面,它们所蕴含的数学思想、方法丰富,在培养同学们的空间观念、几何直观等方面有很好的作用;特别图形变换中所蕴含的不变原则能指引同学们合理的推理、探索.笔者就图形变换中的翻折问题选取几例,与大家交流.一、翻折变换在生活中的运用例1(2013年青海西宁)在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过折纸得到一些特殊图形.把一张正方形     

再告企图用规尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”这一个不成问题的问题,本通报已经登过几次启事说明这是一个已经证明“不能”的问题,忠告一些同志不要浪费宝贵的精神企图“能”了.启事登了以后,“三等分角”的稿件还是源源而来,我们虽然对每一稿都作了答复,但认为对这样的问题彼此白费了许多精力和时间,殊不值得.就来稿的情况看:有些同志是不知道这个问题已经证明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;还有人想了一个方法,他自己认为是对     

用尺规任意等分圆的面积

用尺规作图三等分任意角号称几何三大难题之一,它已被证明是不可能的.这说明圆弧不可能用尺规作图任意等分.因为三等分任意角与三等分任意圆弧实质上是一回事儿.但这并不能说明圆的面积不可能用尺规作图任意等分.     

解密莫比乌斯带

<正>把一根纸条扭转180°后,两头再粘接起来做成的纸带圈,称作莫比乌斯带.它的性质众所周知:只存在一个面.若从它中间剪开,会得到一个环,而不是两个.那么,它还存在其它玄机吗?如果将其三等分、四等分,会分别出现什么情况呢?并且,纸圈扭转的角度相应有何变化?还有其他类型的纸圈具有莫比乌斯带的性质吗?     

三等分线段的方法及其推广

初中已经学过用平行线方法三等分线段.现在向大家介绍另一种尺规法来三等分线段.这种方法由“垂线法三等分线段”和“尺规作线段垂线”组合而成.一、垂线法三等分线段如图,AD=DE=EC,FE、HD都垂直AC,又AC⊥AB,PF⊥FE,QH⊥DH.不难得出P、Q是AB的三等分点.(平行线等分线段定理)     

折纸中的数学

<正>数学中折纸问题,易于同学们动手操作,具有很强的直观感,趣味性强,是开展研究性学习的好素材.这类探究、拓展题在新课改及高考中就经常出现,因此,在平时学习中就要引起我们足够的重视,下面就一道折纸问题来探讨折纸中有趣的数学.准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起,使圆周过点F(如图1),然后将纸片展开,就得到一条折痕l(为了     

从三等分角谈起

在中学的数学教科书中,明确地写出了:用直尺和圆规将任意角三等分是不可能的.我们这篇文章的目的,是解释这句话的确切含义,并且给出一个例子来说明.即我们严格证明60度角是不可能三等分的.当然文章还包含了另外一些有兴趣的内容.