两道课外练习题的简证

<正>《中学生数学》2020年2月下(初中版)课外练习初三年级第3题:如图1,半径为R的☉A与半径为r的☉B相外切,以AB为直径作☉M,又半径为θ的☉C与☉A、☉B相外切,与☉M相内切.求证:1/R+1/r=1/(2θ).分析在原解答中,首先要添加辅助线,其次要用到平行四边形的边长和对角线长公式才能证明,其实这些都不必要,只用三角形中线长公式即可证明.     

一类关于三角形不等式的证明方法

文[1]借助两个特殊不等式并应用代数变换证明了一类三角形不等式.本文给出这类不等式的三角证法.为行文方便,约定△ABC的三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、,s,R,r;其中例题的证明要用到下列熟知的三角形恒等式:abc=4Rrs,∑bc=s2 4Rr r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)     

关于三角形半角三角函数的一个不等式链

我们在文［1］～[4]中，曾给出了三角形中半角三角函数的一些不等式，本文又进一步得到了关于三角形中半角三角函数的一个不等式链，从而得到了用外接圆半径、内切圆半径以及半周长表示的三角形牛角三角函数上、下界的线性不等式的最佳表达式．本文约定：△ABC中，三边长为a、b、c，外接圆半径、内切圆半径及半周长分别为R、r及s；用∑表示循环和．文中省去了诸不等式取等号条件的证明，因为它们是很容易得到验证的．定理在△ABC中，有以上（1）～（5）式的取等号条件为△ABC为正三角形，或一角为0°，另外两角为90°的退化三角形，或一…     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

欧拉不等式一个三角形式的类比北大核心

1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和)     

巧用统一代数替换法证明三角形不等式

众所周知,数学奥林匹克中三角形不等式证明试题屡出不穷,三角形不等式,包含三角形的各种元素(三边a、b、c,内角A、B、C及三角式,半周长s,外接圓半径R,内切圆半径r,旁切圆半径a、r_b、r_c,高h_a、h_b、h_c、中线m_a、m_b、m_c,角平分线t_a、t_b、t_c,面积s_△),可谓千姿百态,但往往有其共同特点:条件简单,结论复杂;因而证法灵活多变,颇有难度。     

不等式研究成果集锦(7)

73.ma、mb、mc分别为△ ABC三边 a、b、c的中线 ,则　　　 ∑ maa ≤ ∑bc .∑a22 abc ,当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .(褚小光 .1999,1)74 .△ ABC三边为 a、b、c,ma、mb、mc,R,r,s分别为△ ABC的中线 ,外接圆半径 ,内切圆半径和半周长 .若△ ABC为锐角三角形 ,则∑ambmc≥ s4 ( 4 s2 - 2 1Rr 6r2 ) ,并由此推出以下各式 :( 1) ∑ambmc≥ 23s3;( 2 ) ∑a( mb mc) 2≥ ∑a .∑a2 ;( 3) ∑bcma ≥ 4 39s3. (褚小光 .1999,1)75.设△ ABC各角均小于 12 0°,F为△ ABC的Fermat点 .ta、tb、tc分别为△ ABC的角平分线 ,则34 ( …     

Euler不等式的一个加强

设△ ABC的三边长为 a、b、c,对应的中线长为 ma、mb、mc,高线长为 ha、hb、hc,△、p、R、r分别表示△ ABC的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径 ,以∑ 表示循环和 ,∏ 表示循环积 .众所周知 ,三角形的中线长和高线长有如下关系 :ma ≥ ha,　 mb≥ hb,　 mc≥ hc.本文利用上述关系建立 Euler不等式R≥ 2 r的一种加强形式 .定理 [1]　在△ ABC中 ,有R - 2 r≥ ∑ ma - ha2 (1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明定理 ,先证明下面引理 .引理　在△ ABC中 ,有ma≤ 1 6△ 2 (b3 c3 ) ∑a2 ∏ 2 a2 bc ,(2 )等号当且仅当…     

数学问题解答

(1/2)(a+b+c),内切圆、外接圆半径分别为r、R。试证:△ABC为锐角、直角、钝角三角形的充要条件分别是p>2R+r、p 2R+r、p<2R|r。     

关于双圆四边形的双圆半径的一个性质

文 [1 ]介绍了三角形双圆半径的如下一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 ,b0 ,c0 ,则　　　　 4Rr2 =a0 b0 c0 (1 )文 [2 ]介绍了 (1 )式的一个引申命题 :设 I是△ ABC的内心或旁心 ,r是内切圆半径或对应的旁切圆半径 ,R是外接圆半径 ,则　　 4Rr2 =IA . IB . IC (2 )笔者经研究发现 ,双圆四边形 (既有外接圆 ,又有内切圆的四边形 )也有如下有趣性质 .定理　设双圆四边形 ABCD的外接圆半径、内切圆半径分别为 R、r,内心为 I,则有IA.IB.IC.ID=2 r3 (4 R2 r2 - r) . (3 )图…     

三角形中线的一组不等式

本文提出并证明关于三角形中线的一组不等式,由此再推出关于三角形周长、面积与其外接圆周长、面积的两个有趣的不等式. 我们以A、B、C表示三角形三内角,a、b、c表示三边,s表示半周、m_a、m_b、m_c表示三中线,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,△表示三角形的面积.     

三角形中半角的余切方程和正切方程

本刊1999年第3期《三角形内角的余弦方程及应用》一文建立了下述命题:任意△ABC三个内角的余弦cosA、cosB、cosC满足方程4R2x3-4R(R r)x2 (p2 r2-4R2)x (2R r)2-p2=0,其中,R、r、p依习惯用法分别表示△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长.本文将建立三角形中半角的余切方程和     

三角形面积公式及其应用

设a、b、c表示三角形的三边,A、B、C依次表示a、b、c边的对角,h_a为a边上的高,s为三角形的周长的一半,γ、R分别为三角形的内切圆的半径和外接圆的半径,△为三角形的面积。 平面几何中已导出三角形的面积公式:     

数学问题1746的加强

<数学通报>2008年8月号问题1746是:设I是△ABC的内心,R是△ABC外接圆半径,r、r1、r2、r3分别是△ABC、△IBC、△ICA、△IAB的内切圆半径.求证:r1+r2+r3≥9(√3-1)r2/2R(1).当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.     

应用定点到圆上点的距离特性解题

<正>一个定点到圆上的距离有如下的特性:(1)当定点P在半径为r的⊙O外时,则P到⊙O上点的最近距离为OP-r,最远距离为OP+r;(2)当定点P在半径为r的⊙O内时,则P到⊙O上点的最近距离为r-OP,最远距离为OP+r.应用三角形三边关系不难证明这个结论.     

统一代数替换法证明三角形不等式

多年来,笔者一直在探求三角形不等式的证明技巧及其规律性。这里的三角形不等式,是指包含三角形的边、角、高(h_a、h_b、h_c)、中线(m_a、m_b、m_c)、角平分线长(t_a、t_b、t_c)、半周长(s)、内切圆半径(r)、外接圆半径(R)、旁切圆半径(r_a、r_b、r_c)、或面积(S_A)的不等式。     

三角形中Σ1/a~2的改进形式

文 [1]给出了关于三角形三边的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△ ,则1a2 1b2 1c2 ≤ 3 3R8rΔ ( 1)本文将证明上述不等式的一个改进为 (符号意义同上 ) :1a2 1b2 1c2 ≤ 14r2 ( 2 )1a2 1b2 1c2 ≥ 12Rr ( 3 )证明 :在△ABC中 ,可设a =y z,b =x z,c =x y ,则 1a2 1b2 1c2 =1(y z) 2 1(x z) 2 1(x y) 2 =1(y-z) 2 4yz 1(x-z) 2 4xz 1(x -y) 2 4xy≤ 14 ( 1yz 1xz 1xy) (当且仅当(转封三 )(接 48页 )x =y=z时取“ =”号 ) =14 ·x y zxyz将三角形中的恒等式 :x y z=…     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

切点三角形的一个新不等式链

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接     

利用调和积分核求解二维狄氏问题

本文给出调和积分核的定义,证明它与狄氏问题的几个关系,然後应用於解决具体问题. §1.有调和函数U(r,θ),它的值在半径为R的圆周上已给定为f(θ),在圆内部之值U(r,θ)由柏桑公式给出