例题的别证、推广与应用

新课标人教版《数学》选修4—5“不等式选讲”P21，例1：已知a、b是正数，且a≠b，求证：a3     

巧构图形妙解题

<正>例1已知a,b,m都是正数,且aa/b.(人教版高二数学（上）必修P₁₂例2)     

一道课本习题的变号功能

人教版《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)·数学》第二册(上)第7题如下:已知a,b都是正数,x,y∈R,且a b=1,求证:ax2 by2≥(ax by)2     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

用例题巧解高考题

全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）（人教版）P12例2．已知a,b,m都是正数,并且a〈b,求证：a＋m/b＋m〉a/b．     

一道课本例题的作用

高中新教材(试验修订本)第二册(上)P12例3是一道典型例题: 如果正数a≠b,求证:a3 b3>a2b ab2. 此不等式左右为齐次式,条件简单,结构对称,形式优美,应用非常广泛!该不等式可引申为:对于正数a,b,m,n∈Z ,求证:am n b m n     

对一道课本习题的思考和再认识

人教版高中教材<不等式>章中有这样一道习题: 　　已知a、b都是正数,求证:2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2,当且仅当a=b时,等号成立.……     

一道数学征解题的解后再思考

<数学通报>2009年第8期"数学问题"中的1808号问题为:已知正数a,b满足a+b=1,求证:(1/a3-a2)(1/b3-b2)≥(31/4)2,本文首先给出此不等式的几种证明方法,然后通过对方法的分析,给出不等式的几种推广.     

一道不等式题的多种证法

题目[高中《代数》(试验修订本·必修)第二册(上)P12例2]已知a,b,m都是正数,并且a相似文献   

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

数学问题1885的解后再思考

《数学通报》2010年第12期问题1885为:已知a,b,c为正数,求证: 9a/(b+c)+16b/(c+a)+25c/(a+b)≥22,笔者先给出此不等式的几种证明方法,然后通过对方法的解析,给出不等式的几种推广.     

教材例习题组成的不等式链

人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )中 ,有以下几道例、习题 :1)已知ａ ,ｂ ,ｃ都是正数 ,求证 :(ａ +ｂ) (ｂ +ｃ) (ｃ +ａ)≥ 8ａｂｃ(Ｐ11练习第 1题 )(1)2 )已知ａ ,ｂ ,ｃ是不全相等的正数 .求证 :ａ(ｂ2 +ｃ2 ) +ｂ(ｃ2 +ａ2 ) +ｃ(ａ2 +ｂ2 ) >6ａｂｃ(Ｐ14例 5 )(2 )3)如果ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,那么　　　　ａ3+ｂ3+ｃ3≥ 3ａｂｃ (3)当且仅当ａ =ｂ =ｃ时上式取“ =”号 (Ｐ2 4阅读材料 :ｎ个正数的算术平均数与几何平均数 ) .4 )已知ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,且不全相等 ,求证 :2 (ａ3+ｂ3+…     

一道数学奥林匹克竞赛试题的简证

题 (2007女子数学奥林匹克)已知a,b,c≥0,且a+b+c=1.求证:a+14(b-c)2+b+c≤3.……     

新题征展(97)

A 题组新编 　　1.(侯雪花)若a,b是正数,且a+b=1. 　　(1)求证:(a+1/a-1)(b+1/b-1)≥9/4; 　　(2)求证:(a+1/a-1)2+(b+1/b-1)2≥9/2; 　　(3)求证:(a+1/a-2)(b+1/b-2)≤1/4; 　　(4)求证:(a+1/a-2)2+(b+1/b-2)2≥1/2.……     

一个不等式的再推广——再探《数学通报》2421题北大核心

1引言《数学通报》2018年5问题2421[1]为:已知a,b, c∈R^(+),且a+b+c=3,求证:2 (a1/4+b1/4+c1/4)+3≥3 (ab+bc+ca).作者在《数学通报》2018年第57卷第6期[2]中给了解答.张千乐在《数学通报》2019年第58卷第1期[3]中分别从项数、项数之和以及指数等3个方面作推广,得出下列结论:1)设a1,a2,a3,…,an(n≥3)是非负实数。     

数学问题解答

2013年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2136已知a,b,c是满足abc=1的正数,求证:(λa+1)/(b+c)+(λb+1)/(c+a)+(λc+1)/(a+b)≥3(λ+1)/2(λ≥3) (江西南昌大学附中宋庆330047) 证明 a3+b3+c3+3abc≥a2(b+c) +b2 (c+a)+c2(a+b)(参见本刊1994年10月号问题918的解答)与以下不等式等价.     

数学问题1885的推广与再研究

《数学通报》第1885号数学问题为:设a,b,c为正数,求证:9a/b+c+16b+c+a+25c/a+b≥22.笔者对此问题进行了推广并得到了一些有意义的结果.     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b>0,且a+b=1.求证:(1/a2-a3)(1/b2-b3)≥(31/8)2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a+b=1,     

一个习题的推广及证明

习题已知a,b∈R ,且a≠b,求证: (a2 b2)＞3(a3 b3). 证明原命题等价于(a2 b2)3＞(a3 b3)2,展开很易证明.     

一个不等式“串”的应用

在人教版高二教材中有这样一道习题:已知a,b都是正数,求证:2/1/a 1/b≤ab~(1/2)≤a b/2 ≤a2 b2/2~(1/2)．此不等式“串”说明了关于两个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数和平方平均数的大小关系,证明并不困难,若能记住它对我们会有非常大的帮助．