双曲线中点弦存在性问题

在我们高中复习书中有这样一道题：已知双曲线C：x^2-y^2/2=1过点B（1,2）能否作直线m,使得直线m被双曲线C截得的弦Q1Q2以B为中点？     

双曲线定长焦点弦条数问题的探究

一次,老师在练习中布置了如下一道题：如图1,过双曲线C：x2-y2/2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若｜AB｜=5,则这样的直线l有（ ）．     

数学问题解答

473。已知双曲线x~2-y~2=a~2,点B(0,-a)(a>0),作直线BCD交双曲线右支于C、D,过双曲线右焦点F作直线GFH平行于直线BCD,交双曲线于G、H。     

新题征展(11)

A.题组新编1.( 1)过定点 A( 2 ,1)且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 2 )过定点 B( - 2 ,- 2 )且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 3)以双曲线 x2 - y2 =4的两支为间隔把平面划分成左、中、右三个区域 ,其中过中域 (不含边界 )任一     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1:已知椭圆x2a2 y2b2=1的左右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.并对它进行了证明.同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质.对此笔者存有疑异,觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方.显然作者在求双曲线与过左顶点A1的直线的交点,即解方程组x2a2-y2b2=1y=k1(x a)(1)(2)时,将(2)代入(1)得:(b2-a2k12)x2-2a3k12x-a4k12-a2b2=0,便直接利用求根公式得出交点坐标,而没有考虑到…     

过焦点截双曲线的线段长为定值的直线的条数

过焦点截双曲线的线段长为定值的直线的条数周远方（宜昌市夷陵中学４４３０００）有这样一道选择题：过双曲线ｘ２－ｇ＝ｌ的右焦点ｌ作直线ｌ交双曲线于Ａ，Ｂ两点。若ＩＡＢｔ－４，则这样的直线ｌ存在．（Ａ）一条，（Ｂ）二条，（Ｃ）三条，（Ｄ）四条·此题很容易利...     

1981年高考数学第九题分析

今年高考(理工农医类)数学试题第九题是:给定双曲线x~2-y~2/2=1 (1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程;(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q_1及Q_2,且点B是线段Q_1Q_2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程?如果不存在,说明理由。我们在参加批阅高考试卷过程中,尤其是第(1)小题,发现多种解法,现摘选几种解法介绍如下:     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

“扫雷”一例

例题已知双曲线C:y2-4x2=1,求斜率为2的直线l与双曲线C相交的弦AB的中点轨迹．错解设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点P(x, y),     

由一道期末试题说开去

例1 (2014鄞州区期末-16)已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点,且和其中一条渐近线垂直,若(→AF)=4(→FB),则该双曲线的渐近线方程为____.     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1：已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1的左右顶点分别为A1，A2，已知直线l：x=t（｜t｜≠a，t≠0），P为l上一动点（P不在椭圆上），直线PA1与椭圆交于另一点M，直线PA2与椭圆交于另一点N，则MN与x轴交于定点．并对它进行了征明．同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质，对此笔者存有疑异，觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方。     

“姊妹”双曲线辨析

下面的四条双曲线，其方程形式相象：性质又相近，我们称之为“姊妹”双曲线．她们的关系如何呢？让我们辨析一下吧．先看（1）与（2），把方程（1）右边的1换成-1，就可得到（2）．这里，一条双曲线的实轮是另一条双曲线的虚轴，称为共轭双曲线．再看（1）与（3）．把方程（1）中x、y互换，就可得到（3），所以，这两条双曲线关于直线y=x对称．实际上，双曲线（3）可以看作是将双曲线（1）绕着原点旋转90°而得到的，故称为转置双曲线．最后看（1）与（4）．把方程（1）中a、b互换，就可得到（4）．也可以这样进行：把方程（1）中x、y互换…     

如何确定双曲线定长焦点弦的条数

问题过双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点的直线z被曲线截得的弦长为d,则这样的直线l有多少条?设过右焦点F(c,0)的直线z的方程为y=k(x-c)(为便于研究,l⊥x轴时,认为k→∞),将其代入x2/a2=y2/b2=1并化简得:(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0(*),设直线l与双曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达     

对一题的变式探究

题目设直线l经过双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且(?)·(?)=0,e是双曲线的离心率,直线l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),试探究θ与e之间的关系.     

具有推广与引申价值的一道高考题

2007年全国高考重庆卷第（16）题是：经过双曲线x^2/4-y^2/4=1的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P，Q两点，则｜PF｜｜FQ｜=___     

对一题的变式探究

题目 设直线l经过双曲线x2/a2-y2/b2=l（a〉0,b〉0）的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且OA·OB=0,e是双曲线的离心率,直线z的倾斜角为θ（θ∈（0,π））,试探究θ与e之间的关系．     

一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

对点差法的困惑与反思

<正>最近,学校阶段性考试中,对一道圆锥曲线题的解答,在学生中产生了很大的争议,看似十分合理的解法,但结果却不同,而且不知错在哪里?本文展示出来,以期引起重视!2题目已知双曲线方程:x²-(y2-(y²)/2=1.试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于P_1、P_2两点,且点A是线段P_1P_2的中点?这样的直线l存在吗?如果存在,求出直线l方     

从一个双曲线焦半径错题说起

在一份全国重点中学高考调研试卷中有这样一道题：已知双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0），F是其左焦点，过F作直线交双曲线于A。B两点，设｜AF｜—m，｜FB｜=n,则1/m＋1/n的值为——。     

双曲线第二定义教学注记

双曲线第二定义教学注记３２１４００浙江省缙云中学胡挺员现行高中教材《平面解析几何》Ｐ８８页通过Ｐ８７页例４导出了这样一个结论（常称为双曲线第二定义）：点Ｍ到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线．定点是焦点，定直线是双...