HPM视角下“三等分角”习题课教学与思考

一、数学史话将数学史与数学融合在一起共同促进学生的发展是HPM(Historyand Pedagogyof Mathematics)研究的一个主要涵义.我们知道,三等分角是古希腊三大几何问题之一.即在尺规作图(即用没有刻度的直尺和圆规作图)的前提下,无法将一个给定的角三等分.若将条件放宽,却可以引发三等分的作法.比如历史上关于"三等分角"的故事的版本很多,其中有一段是与阿基米德有关.这里简要概述这段故事.     

和你聊聊尺规作图

<正>古希腊人较重视直尺和圆规作图,以在数学中训练人的逻辑思维能力,发展其智力.因此,他们限定:(1)作图时,只能有限次使用直尺和圆规;(2)不能利用直尺上的刻度或其他记号;(3)不能把直尺和圆规合并使用,也不能把几把直尺合并使用.在这种限制下,即便一些简单的几何作图也无法解决.最著名的是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题:     

吸附式卷尺圆规

老师上数学课有时要画圆,有时还要知道圆的半径。我们可制作一个新颖的吸附式带卷尺的圆规,不但上述问题解决了,还可以画比一般两脚圆规更大的圆,甚至可用它量长度,并且使用携带都十分方便。下面我们动手制作吧!     

费马数是复合数的一个充要条件

费马数是复合数的一个充要条件梅义元（武汉市张家湾中学４３００６５）众所周知，形如的数叫做费马敖．当Ｆｎ是素数时，高斯曾证明了正Ｆｎ边形可以仅用圆规与直尺来作图．因此研究费马数是非常有意义的．我们已经知道，若Ｆｎ有质因子Ｐ，则Ｐ的形状为Ｐ＝２ｎ＋１ｋ＋...     

动物世界中的“数学家”

面对奇迹纷呈的自然界 ,我们中的大多数人往往认为数学只是人类的专利 ,其实自然界中也存在许多名不见经传的“数学家” .猫和蜘蛛是“几何专家”.在寒冷的冬天 ,猫睡觉时总要把身体抱成一个球形 ,这样 ,身体露在冷空气中的表面积最小 ,因而散发的热量也最少 .蜘蛛结的“八卦”网 ,既复杂又美丽 ,这种八角形的几何图案 ,即使木工师傅用直尺和圆规也难画得如此匀称 .当我们对这个美丽的结构用数学方法进行分析时 ,其结果竟如此惊人———半径、弦、平行线段、三角形全等形等等 .蚂蚁是“计算专家” .英国一位科学家作过一种有趣的实验 ,他把…     

少用圆规的作图

数学通报1957年6月号“初等作图问题”一文中指出:斯太因证明了初等作图题除首尾要用圆规外,其余只须用直尺就够了.该文接着把这个结果更推进了一步,提出在所述公法子—申的条件下,能用圆规直尺作出的作图题都能作出.本文企图把后一结果再推进一步,让该文所述之公法未、申代以更弱的二公法,证明初等作图题(即能用圆规直尺作出的作图题)在新的公法下仍能作出.     

数学课中有意义的学习与练习

一、数学课的学习目标 我们可以从练习的角度把数学课的目标分为以下四类: 1.技能,例如:1—9的乘法;分数计算;笔算方法程序;式的变形;解二次方程;用圆规、直尺和三角板作基本图形;用公式计算具体的几何体的体积。     

从三等分角谈起

在中学的数学教科书中,明确地写出了:用直尺和圆规将任意角三等分是不可能的.我们这篇文章的目的,是解释这句话的确切含义,并且给出一个例子来说明.即我们严格证明60度角是不可能三等分的.当然文章还包含了另外一些有兴趣的内容.     

趣谈直尺作图

所谓直尺作图,指的是只用直尺不用圆规作图,只用直尺作图不需要高深的知识,但有挑战性,能吸引人去探索,培养数学思维和数学能力,现特举例说明．例1已知矩形ABCD,只用直尺作出BC的中点H。     

圆锥曲线准线的尺规作图法

圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )的一个共同特性是 ,曲线上任意一点到焦点的距离和到相应准线的距离的比等于其离心率 .那么当给定了圆锥曲线的图形 (包括焦点的位置 )后 ,怎样画出该曲线的准线 ?这是教学中经常遇到的问题 .下面介绍一种利用直尺和圆规 (简称尺规 )画圆锥曲线准线的方法 .1　椭圆准线的尺规作图法例 1　试用直尺和圆规 ,作出图 1中椭圆的准线 ,图中点Ｆ、Ｆ′为椭圆的两个焦点 .图 1　椭圆图 2　椭圆及其准线作法　 (1 )连结ＦＦ′,作线段ＦＦ′的中点Ｏ .(2 )作射线ＯＦ交椭圆于点Ａ ,作射线ＯＦ′交椭圆于点Ａ′.(3 )过…     

明理得法 水到渠成——以“作一个角的平分线”为例浅析初中尺规作图教学

一、引言尺规作图,指用没有刻度的直尺和圆规作图.与用刻度尺、量角器等工具作图相比,尺规作图显得更加客观、精准.观察尺规作图所得几何图形,我们可以将一些结论由"特殊"引向"一般",并归纳出几何的一般性结论.在初     

只准用直尺的作图题

<正>由于教材中的作图题都是允许使用圆规、直尺,所以学生遇到这种从未见过的题目,就会感到束手无策.其实仅用直尺的作图题,是十分有趣的,而且更有利于考查同学们对基础知识的掌握情况.请看几例.一、作垂线例1如图1是一个半圆,请你仅用一把无刻度的直尺作一直线垂直于半圆的直径.分析利用直径所对的圆周角是直角和三角形三条高所在的直线交于一点即可完成.     

动物世界中的“数学家”

面对奇迹纷呈的自然界 ,大多数人往往认为数学只是人类的专利 ,其实动物界中也存在许多名不见经传的“数学家” .猫和蜘蛛是“几何专家” ,在寒冷的冬天 ,猫睡觉时总要把身体抱成一个球形 ,这样 ,身体露在冷空气中的表面积最小 ,因而散发的热量也最少 .蜘蛛结的“八卦”网 ,既复杂又美丽 ,这种八边形的几何图案 ,即使木工师傅用直尺和圆规也难画得像蜘蛛网那样匀称 .当对这个美丽的结构用数学方法进行分析时 ,出现在蜘蛛网上的概念真惊人———半径、弦、平行线段、三角形、全等形的对应角、对数螺线、悬链线和超越数 .蚂蚁是“计算专家” ,…     

任意角可以m等分的条件

设 p是任意奇素数 ,证明了任意角不能通过圆规直尺作图 p等分 .进而证明了任意角可以 m等分的充要条件是 m是 2的方幂     

试看直尺“闯入”中考

一把普通的直尺(刻度尺),一般有两个功能:(1)画线段、射线或直线;(2)度量线段的长度.当你把它与其他学习用具(如三角板、圆规、量角器)进行"友好合作"时,还可画角的平分线,线段的中垂线,平行线等等,这些都是学生非常熟悉的.如果你善于开动脑筋,积极思     

三次方程一个性质的简单证明

美国著名数学家R·柯朗在讨论用圆规直尺三等分不可能性的时候,曾经给出三次方程的一个一般性定理:“具有有理系数的三次方程如果没有有理根的话,那么从有理数域F_0出发,它的根没有一个是可构成的。”(《数学是什么》,湖     

关于垂线作法的教学

对于新编初中数学课本第三册1、9“垂线”一书的教学,我认为在讲完垂线的基本概念后,可以暂时只介绍用三角板或角尺作垂线的方法,接着讲述垂线的唯一性,垂线长和点到直线的距离等内容。而用直尺和圆规作垂线的方法,可以移到线段的垂直平分线作法之后。教学中我是这样作的。     

执果索因 抓住不变 有序作图

<正>1原题呈现(2023年南京市联合体数学第二次模拟试卷第24题改编)如图1,已知点P为∠ABC内一点,用两种不同的方法过点P作一条直线,分别交AB,BC于点E,F,使得BE=BF．(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)     

抛物线的三种画法

抛物线的焦点到准线的距离为Ｐ ,用直尺圆规画出抛物线 ,画法如下 :图 1画法 1　作线段ＫＦ ,使 |ＫＦ| =Ｐ ,Ｏ为线段ＫＦ的中点 ,过Ｋ作ＫＦ的垂线Ｌ ,在ＫＦ的延长线上取点Ｍ1 ,以Ｆ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画圆⊙Ｆ ,再以Ｋ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画弧交直线ＫＦ于点Ｎ1 ,过Ｎ1 作垂直于ＫＦ的直线交圆⊙Ｆ于点Ｐ1 Ｐ1 ′ ,改变Ｍ1 的位置 ,例如Ｍ2 ,Ｍ3… ,用同样的方法画出点Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,把点Ｏ ,Ｐ1 ,Ｐ1 ′ ,Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,用平滑的曲线连结起来 ,就得到抛物线的图象 (如图 1 ) .画法二　作直线Ｌ ,在…     

趣谈无尺作图

所谓的无尺作图指的是不用直尺、三角板,只用圆规作图．无尺作图不需要很高深的知识,但有挑战性,能吸引人去探索,培养数学思维和数学能力．现举例说明．一、作已知线段的倍数点