Johann Radon und die Grundlagen der Computertomographie

Die Computertomographie zählt heutzutage zu den Standardmethoden der medizinischen Diagnostik und auch des zerstörungsfreien Prüfens von Werkstücken. Für ihre Entwicklung erhielten Allan M. Cormack (1924-1998) und Godfrey N. Hounsfield (*1919) im Jahre 1979 den Nobelpreis für Medizin. Das Verfahren, aus der Abschwächung von Strahlen auf die Struktur des Gegenstandes zurückzuschliesen, den die Strahlen durchdrungen haben, war jedoch schon bekannt, noch bevor die Laureaten geboren waren: Es wurde 1917 publiziert in der Arbeit Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten von Johann Radon (1887-1956). In dem Artikel wird berichtet über Leben und Werk Radons, das von ihm gefundene Verfahren und den Weg, der genommen werden mußte, um aus einem mathematischen Theorem ein Gerät (fast) des täglichen Lebens zu machen.Erweiterte Fassung eines Vortrags am 6.7.2002 auf dem 3. Internationalen Leibniz-Forum Altdorf-Nürnberg Mein Dank gilt Herrn Prof. Dr. Jürgen Elstrodt, Münster, und Herrn Gerhard Tischel, Hamburg, für hilfreiche Hinweise auf Literatur.     

Energy stability of channel flows

Zusammenfassung Die Energiemethode wird zur Untersuchung der Stabilität einer beliebigen Kanalströmung angewandt. Es wird eine auf Eigenwertabschätzungen basierte qualitative Beschreibung der Fläche (, ) gegeben, welche die Schranke für den Instabilitätsbereich in Abhängigkeit von Längs- bzw. Querwellenzahl der Störungen darstellt. Eine allgemeine untere Grenze für die minimalisierende Querwellenzahl und den zugehörigen Eigenwert (0, ) wird angegeben. Das Problem der Energiestabilität wird dann für eine Klasse von Geschwindigkeitsprofilen mit Wendepunkt gelöst. Die durch numerische Integration erhaltenen Ergebnisse werden mit den Ergebnissen der linearen Stabilitätstheorie verglichen.     

On second sound in materials with memory

Zusammenfassung Vor kurzem haben Gurtin und Pipkin eine allgemeine nichtlineare Theorie der Wärmeleitung entwickelt, die vollständig mit den Gesetzen der Thermodynamik vereinbar ist und in welcher Wärmestörungen sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Wir erweitern hier diese Theorie auf verformbare Körper.Zuerst beschreiben wir die Einschränkungen, die die Gesetze der Thermodynamik den stoffgleichungen auferlegen. Dann wenden wir uns dem Studium der Wellenfortpflanzung in diesen Stoffen zu und zeigen, dass zwei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten für Beschleunigungswellen existieren: Die erste Schallgeschwindigkeit hat mechanischen Charakter und liegt in der Nähe der isothermen und isentropen Schallgeschwindigkeit. Die zweite Schallgeschwindigkeit ist mit einer hauptsächlich thermalen Welle verbunden.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Über Anzahl und Verteilung der Scheitel ebener Bogen

Zusammenfassung Seit der Entdeckung des 4-Scheitel-Satzes durch S. Mukhopadhaya (1909) und A. Kneser (1912) hat sich eine umfangreiche Literatur über Scheitel- und verwandte Sätze entwickelt. Unter anderem wurden ebene Bogen auf Scheitel hin untersucht bzgl. Charakteristiken, welche von k 1 Parametern stetig abhängen. Wir legen für die wichtigsten Sätze aus diesem Teil der Theorie überarbeitete Definitionen und Beweise unter vereinfachten Voraussetzungen vor.

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Zur Entscheidungstheorie bei mehrfacher Zielsetzung

Zusammenfassung Der Begriff eines rationalen Lösunxgsprinzips für Entscheidungsprobleme mit mehrfacher Zielsetzung wird definitorisch eingeführt. Anhand der definierenden Bedingungen werden die neueren Lösungsansätze auf Rationalität untersucht. Zusätzlich wird besonderes Gewicht auf die kritische Untersuchung der den einzelnen Verfahren zugrundeliegenden Informationsannahmen gelegt. Dabei zeigt sich, wie auch aus empirischen Untersuchungen abgeleitet wird, daß es bei der Formulierung von Lösungsansätzen auf eine präzise Darstellung des Lösungsprinzips und der damit im Zusammenhang stehenden Informationsannahme ankommt; erst auf dieser Grundlage kann die entscheidungspraktische Relevanz solcher Verfahren überprüft werden.

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Summary For multiobjective decision problems a notion of a rational solution principle is introduced by definition. The recently suggested solution approaches are tested for rationality under the defining conditions. Additionally, great importance is attached to the critical analysis of the information requirements underlying the different methods. It turns out, as well as it will be derived from empirical investigations, that a precise presentation of the solution principle and of the corresponding information requirements is indispensable formulating such approaches; first on this basis the practical relevance of solution procedures can be examined.

     

Eine Unableitbarkeitsbeweismethode für den Intuitionistischen Aussagenkalkül

Ohne ZusammenfassungUnser Satz widerlegt Theorem 1 (S. 176) der Arbeit von B. Yu. Pil'ak, über den Aufgabenkalkül, Ukrain. Mat. Z. 4 (1952), 174–194. [Referat von Heyting in den Mathematical Reviews 17 (1956), 932]. Herr A. Ehrenfeucht hat den Fehler im übergang vom Lemma auf S. 176 zürn Theorem 1 lokalisiert; im Lemma heißt es richtig, daß diekleinste Klasse von Formehl des IAK, die (i) abgeschlossen ist in bezug auf Einsetzung und Abtrennung, (ii) alle Theoreme des IAK enthält und (iii) entwederA oderB enthält, wenn sieA B enthält, genau die Klasse der Theoreme des IAK ist; im Theorem l wird die kleinste inkorrekt durch jede ersetzt.     

Problems of network flow

Zussammenfassung Eine umfangreiche Klasse von Strömungsproblemen in Leitungsnetzen wird formuliert, und zwar unter Verwendung extensiver Veränderlicher (Zu-oder Abflüsse in den Knotenpunkten) und intensiver Veränderlicher (Preise in den Knotenpunkten und Preisdifferentiale für die Leitungszweige). Die Stromstärke in einem bestimmten Leitungszweig wird als nichtabnehmende Funktion des zugehörige Preisdifferentials vorausgesetzt. Eindeutigkeits-und Extremaleigenschaften der Lösung werden festgestellt. Die angegebenen Beispiele betonen die praktische Bedeutung gemischter Randbedingungen, die in gewissen Knotenpunkten Zu-oder Abflüsse und in den restlichen Preise vorgeben.     

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat - eine Studie zur Heuristik des Beweisens

Dieser Beitrag hat seinen Ursprung in Veranstaltungen zur Heuristik im Rahmen meiner Tätigkeit in der fachdidaktischen Ausbildung von Gymnasiallehrern an der hiesigen RWTH. Mehr und mehr habe ich dabei die Überzeugung gewonnen, dass es notwendig ist, Lehramtskandidaten historische, heuristische und pädagogische Aspekte wichtiger mathematischer Inhalte erfahren zu lassen, die innerhalb der fachlichen Ausbildung nicht oder nicht genügend Berücksichtigung finden können und die aber im Hinblick auf den späteren Beruf wesentlich sind. Es wird hiermit weniger für eine Behandlung des Zwei-Quadrate-Satzes in der Schule - wenngleich sehr erwünscht - plädiert, wohl aber könnte dieses Thema Bestandteil eines fachdidaktischen Seminars oder Proseminars sein. Die Einschränkung im obigen Zitat von Hardy war natürlich eine zusätzliche didaktische Herausforderung. Den Gutachtern danke ich für ihre Ermutigung sowie für zahlreiche Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Unklarheiten und Fehler. Ebenso danke ich Herrn Artmann sehr, der eine frühere Fassung gelesen und konstruktiv kritisiert hat.Einige Grafiken wurden mit der dynamischen Mathematiksoftware GEONExT erzeugt. GEONExT ist unter der Adresse http: //geonext.de frei erhältlich.     

On the use of Helmholtz resonators as sound attenuators

Summary In the present paper a nonlinear acoustic theory is proposed, to accurately describe the properties of a generalized type of Helmholtz resonators. The theory may be used as a layout tool to design sound attenuators for combustion facilities. The present investigation shows that, in addition to the nonlinear effects, the effects due to thermoacoustic boundary layers and the first frequency correction to the Helmholtz approximation should be taken into account, in order to predict the frequency-dependent attenuation properties of Helmholtz attenuators with the accuracy required by typical technical applications. A series of experiments is presented which is used to validate the theoretical predictions.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Abhandlung wird eine nichtlineare akustische Theorie vorgeschlagen, mit der das Verhalten einer verallgemeinerten Art von Helmholtzresonatoren beschrieben werden kann. Die Theorie kann als Werkzeug zur Auslegung von Schalldämpfern für Verbrennungsanlagen benutzt werden. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass neben den nichtlinearen Effekten auch die Einflüsse der thermoakustischen Grenzschichten und der ersten Frequenzkorrektur zur Helmholtzapproximation berücksichtigt werden müssen, damit die frequenzabhängigen Eigenschaften von Helmholtzdämpfern mit technisch ausreichender Genauigkeit beschrieben werden können. Mit einer Reihe von Experimenten werden die theoretischen Ergebnisse untermauert.

     

Thermodynamic restrictions on the constitutive equations of electromagnetic theory

Zusammenfassung Die Autoren betrachten allgemeine Stoffe, für die die Energiedichte, die Entropiedichte, die elektrische Induktion, die magnetische Induktion, die elektrische Stromdichte und der Wärmefluss durch den Temperatur-Gradienten und die Geschichten der elektrischen Intensität, der magnetischen Intensität und der Temperatur bestimmt sind. Unter der Annahme, dass die Funktionale, die diese Abhängigkeit von der vergangenen Geschichte beschreiben, Glattheitsbedingungen vom «schwindendem Gedächtnis»-Typ erfüllen, leiten die Autoren die Einschränkungen ab, die der zweite Hauptsatz der Thermodynamik den Funktionalen auferlegt. Es wird darauf hingewiesen, dass die allgemeine Theorie Konsequenzen für die elementare Theoric der isotropen und anisotropen Stoffe ohne Gedächtnis hat. Ausserdem werden die Anwendungen der allgemeinen Theorie auf das Problem diskutiert, wie man die thermodynamischen Einschränkungen für die Kerne findet, die in der Theorie dritter Ordnung für isotrope Dielektrika mit Gedächtnis vom Integral-Typ vorkommen.     

A new approach to the theory of an oscillating cylinder viscometer by dimensional analysis

Zusammenfassung Es wurde ein Verfahren entwickelt, um den Viskositätskoeffizienten einer Newtonschen Flüssigkeit mit Hilfe eines schwingenden Zylinderviskosimeters zu messen. Es wird gezeigt, dass die Ablesungen von (₀/₀) für verschiedene Flüssigkeiten zu einer einzigen Kurve führen, wenn sie als dimensionsloses Produkt der veschiedenen Variablen aufgetragen werden. Diese einfache Kurve hängt nicht von der Viskosität und Dichte der Flüssigkeit ab, hingegen von den Dimensionen der Apparatur.Experimente wurden an Paraffinöl, Glyzerin und Olivenöl ausgeführt. Die Ergebnisse scheinen sowohl die Theorie wie das Verfahren zu stützen.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

Die optimale Tarifstruktur öffentlicher Versorgungsunternehmen

Zusammenfassung In der Literatur der Unternehmensforschung nehmen Fragen der Preisbildung und der Preispolitik industrieller Unternehmen einen breiten Raum ein. Die Untersuchungen bauen im allgemeinen auf drei Voraussetzungen auf: Erstens wird eine mehr oder weniger elastische Nachfragefunktion nach den von den Unternehmen hergestellten Produkten vorausgesetzt. Zweitens wird angenommen, daß die Unternehmen die Nachfrage nach eigenem Ermessen befriedigen können. Drittens wird vorausgesetzt, daß die Unternehmen nach maximalen Gewinnen streben. Bei Versorgungsunternhmen sind diese drei Voraussetzungen im allgemeinen nicht gegeben. Die Nachfrage nach den von den Versorgungsunternehmen angebotenen Leistungen ist in weiten Bereichen unelastisch. Die Monopolstellung, die die Versorgungsunternehmen in den meisten Fällen haben, ist mit der Verpflichtung verbunden, den im Versorgungsgebiet auftretenden Bedarf in vollem Umfange zu befriedigen. Die Versorgungsunternehmen können endlich ihre Preise nicht nach dem Prinzip der Gewinnmaximierung setzen. Sie werden im allgemeinen nach dem Prinzip der Kostendeckung geleitet. Für die Preispolitik in Versorgungsunternehmen ergeben sich aus dieser Situation Probleme, die sich von denen der industriellen Unternehmen grundsätzlich unterscheiden. Während das Streben nach einem möglichst hohen Gewinn die Knappheitspreise der Faktoren und die optimalen Absatzpreise und Absatzmengen eindeutig determiniert, ist das Streben nach Kostendeckung mit einem breiten Bereich möglicher Preissysteme vereinbar. Nur wenn weitere Bedingungen eingeführt werden, denen das Preissystem von Versorgungs-unternehmen genügen soll, läßt sich ein eindeutiges Preissystem ermitteln. Einige Grundprobleme der Preispolitik von Versorgungsunternehmen werden hier herausgearbeitet. Dabei wird die These vertreten, daß die Preispolitik sich weitgehend von der Nachfragefunktion löst. Die langfristige durchschnittliche Nachfrage wird als gegeben angenommen. Mit Hilfe einer sogenannten Lenkungsfunktion, die man auch als bonitäre Grenzkostenfunktion der Kapazitätsauslastung bei Kostendeckung bezeichnen könnte, sollen die saisonalen Ausschläge um die normale Nachfrage im Rahmen des Kostendeckungsprinzips beeinflußt werden. Die Lenkungsfunktion stellt also auch keine kurzfristige Nachfragekurve dar. Es wird gezeigt, daß bei Versorgungsunternehmen der aus der Theorie der linearen Programmierung bekannte Fall der Degeneration nicht die Ausnahme, sondern die Regel bildet. Im einzelnen werden die Preispolitik der Einheitstarife und die Preispolitik der gespaltenen Tarife mit Differenzierung nach Abnehmergruppen und nach zeitlichen Gesichtspunkten unterschieden.

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Summary In the literature on Operations Research pricing problems of industrial firms are treated rather frequently. The papers are usually based on three assumptions: Firstly a more or less elastic demand function is assumed to be given. Secondly the firms are free to satisfy all the demand or not. Thirdly profit maximization is the usual assumption of the firms' goal. These three assumptions do in general not hold in the case of utility companies. Demand for the products offered by the utility companies is very frequently inelastic. The monopolistic position that utility companies have in most cases is combined with the obligation to satisfy the total demand of the area supplied. Finally utility companies cannot set their prices in order to maximize profits. On the contrary utility companies are in general run on the basis of cost coverage. Thus pricing problems of utility companies are very different of those of industrial firms. On the basis of profit maximization shadow prices for the factors of production as well as the optimal combination of price and quality for the products sold can be determined. By contrast cost coverage leaves a wide range of possible pricing systems. It is not until further criteria are introduced into the pricing process that a unique price can be derived. Some fundamental problems of pricing policy in utility companies are treated in this paper. The paper maintains the thesis that pricing on the basis of cost coverage is fairly independent of the demand function. The long-run average demand is assumed to be given. A guide function which could also be labelled a monetary marginal cost function of capacity utilization with cost coverage is introduced as a means of influencing seasonal fluctuation around the normal demand. This guide function does not constitute a shortrun demand function. It is shown that degeneration, well-known from the theory of linear programming, is not an exception in optimal pricing of utility companies but constitutes the rule. Optimal prices using the guide function are derived and various specific problems of split tariffs and differentiated prices are discussed.

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Vortrag, gehalten auf der 3. Jahrestagung der DGU in Hamburg am 18. September 1964. Der Vortrag gibt die allgemeinen Grundgedanken eines dem Bundeswirtschaftsministerium erstatteten Gutachtens wieder.     

Reguläre Graphen beliebigen Grades mit vorgegebenen Eigenschaften

Zusammenfassung der Sätze 2, 3, 11 und 16 das Hauptresultat dieser Arbeit formulieren:Satz 17. Wenn eine endliche Gruppe und zwei natürliche Zahlen n und so vorgegeben sind, daß 3n< und 2n ist, dann gibt es stets eine unendliche Menge endlicher und eine nicht abzählbare Menge unendlicher regulärer Graphen X vom Grade n(X)=n mit der Farbenzahl (X)= und einer AutomorphismengruppeG(X). Da die Graphen, von denen wir bei der Konstruktion ausgegangen sind, für frei von Fixpunkten und Fixkanten waren, ist im Lichte der verwendeten Substitutionstechnik leicht einzusehen, daß auch die neu erhaltenen Graphen diese Eigenschaften haben müssen. Denn zu jeder Kante eines neuen Graphen, die aus einer Kante des alten Graphen hervorgegangen ist, gibt es wegen der Fixkantenfreiheit des alten ein Element der Gruppe, das diese Kante verändert. Jene Knotenpunkte und Kanten aber, die aus den Knotenpunkten des alten Graphen hervorgehen, können nicht invariant sein, weil der alte Graph keine Fixpunkte hatte. Zum Schluß sei noch vermerkt, daß die konstruierten Graphen zusammenhängend sind und weder Einecke noch Zweiecke enthalten.     

The influence of finite electrical conductivity on the development of magnetically driven shock in MGD-(β≪1)-approximation1)

Zusammenfassung Zur Lösung der infolge von Dissipationstermen parabolisch entarteten, ein-dimensionalen, instationären MGD Grundgleichungen wird eine numerische Lösungsmethode angegeben, die in engem Zusammenhang mit der Charakteristikentheorie entwickelt wurde und speziell im Falle schwacher Dissipation günstige Stabilitätseigenschaften hat. Mit dieser Methode wird die instationäre Ausbreitung eines magnetisch getriebenen Stosses und sein strukturelle Entwicklung numerisch untersucht. Als Grundlage für die Rechnung dienen die auf endliche magnetische Reynolds-Zahl erweiterten MGD Grundgleichungen in (1)-Approximation.

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The research described in this document was made possible by a research grant from the US government.     

Das zweistufige Problem der stochastischen linearen Programmierung

Zusammenfassung Es wird das aus der Literatur ([1], [4], [7], [9]) bekannte zweistufige Problem behandelt, wobei allerdings nicht nur die rechten Seiten bzw. die Koeffizienten der Zielfunktion stochastische Variable sind. ZunÄchst wird das Problem neu formuliert wie in [1], was sich für den Beweis der in [7] und [4] eher umstÄndlich bewiesenen Ungleichungen als nützlich erweist. Schlie\lich wird ein Verfahren der zulÄssigen Richtungen zur Lösung des Problems angegeben und seine Konvergenz bewiesen.     

Unsteady Falkner-Skan flow

Zusammenfassung Mittels des Differenzenverfahrens wurden instationäre, laminare Grenzschichten längs eines Keiles (von verschiedenen Keilwinkeln ) gerechnet, der plötzlich aus der Ruhe herausbewegt wird. Es ist bemerkenswert, daß im Fall >0.6 die Grenzschicht an der betreffenden Stelle der Keilwand bereits vor der Ankunft der an der Vorderkante entstehenden Störungen fast stationär wird, und daß, wenn die -Zahl sich dem Wert –0.1988 nähert, es doch eine beträchtliche Zeit braucht vom Vorüberziehen dieser Störungen bis zum Erreichen des stationären Zustandes der Grenzschicht.     

Verallgemeinerungen der „klassischen“ Näherungsformel für den Effektivzins

Zusammenfassung Die klassische Näherungsformel für den Effektivzins von Festdarlehen oder gesamtfälligen Anleihen wird auf unterjährige Zahlung der Nominalzinsen erweitert; berücksichtigt wird dabei vor- bzw. nachschüssige Zahlungsweise der Zinsen und ebenfalls die jährliche bzw. exponentielle Effektivzinsverrechnung. Anschließend wird die Näherungsformel übertragen auf Tilgungs- und Annuitätendarlehen und auf Darlehen mit beliebigem Tilgungsverlauf; die resultierende Formel dient z. Zt. vor allem dazu, den Ertrag aus dem Damnum entsprechend dem jeweiligen Nominalkapitaleinsatz auf die Laufzeit des Darlehens bzw. auf die Festbindungszeit des Zinssatzes zu verteilen.

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The classical approximation formula for the effective interest rate of loans, which are repaid in one amortization rate at the end of the credit period, is extended to more than one nominal interest payment a year; the dates of the payments (at the end or at the beginning of the payment period) will be included and annual or exponential capitalizing of the yields of the effective interest rate, too. Then the approximation formula is carried over to redemption and annuity loans and to credits with more general schemes of redemption; for the time being the resulting formula is used first of all to split up the yield of the disagio onto the individual years of the credit's period.

     

V-positivity,poverses and the economic global unicity theorems of Gale and Nikaido

Summary Strong theorems concerning globally unique solutions to nonlinear inequalities have been obtained byGale andNikaido via P-matrix characterizations of theJacobians of the mappings involved. We introduce two new concepts here: v-positivity and the poverse. These permit us to state and prove significant generalizations of the theorems just mentioned and, equally important, provide access to preliminary results concerning linear inequalities by the powerful direct techniques of linear programming theory.

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Zusammenfassung Gale undNikaido haben starke Sätze über globale, eindeutige Lösungen nichtlinearer Ungleichungen erhalten für den Fall, daß dieJacobi- Matrix der auftretenden Abbildung eineP-Matrix ist. Darauf aufbauend werden zwei neue Konzepte vorgestellt: v-positivity und die poverse. Diese erlauben es, Verallgemeinerungen der erwähnten Sätze aufzustellen und zu beweisen und, was von gleicher Bedeutung ist, die Verbindung zu früheren Ergebnissen über lineare Ungleichungen durch die wirkungsvollen direkten Verfahren der Theorie der Linearen Optimierung herzustellen.

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This Research was partly supported by Project No. NR 047-021, ONR Contracts NO 0014-67-A-0126-0008 and NO 0014-67-A-0126-0009 with the Center for Cybernetic Studies, The University of Texas.