Laminar boundary layer on rotating sphere and spheroids in non-Newtonian fluids

Zusammenfassung Die dreidimensionalen Grenzschichtgleichungen für nicht-Newtonsche Flüssigkeiten werden in orthogonalen krummlinigen Koordinaten angegeben. In Kapitel 3 wird die von der Umdrehung einer Kugel in einer sonst ungestörten nicht-Newtonschen Flüssigkeit innerhalb der laminaren Grenzschicht erzeugte Strömung untersucht. Die Kapitel 4 und 5 behandeln in analoger Weise das verlängerte und verkürzte Sphäroid. In allen drei Fällen zeigen die Lösungen einen Zustrom an den Polen, der von einem Abfluss am Äquator ausgeglichen wird.     

Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part I: Pressure distribution

Summary Asymptotic solutions are derived for the pressure distribution in the interaction of a weak normal shock wave with a turbulent boundary layer. The undisturbed boundary layer is characterized by the law of the wall and the law of the wake for compressible flow. In the limiting case considered, for high transonic speeds, the sonic line is very close to the wall. Comparisons with experiment are shown, with corrections included for the effect of longitudinal wall curvature and for the boundary-layer displacement effect in a circular pipe.

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Zusammenfassung Asymptotische Lösungen für den Druckverlauf bei der Wechselwirkung zwischen einem schwachen normalen Stoss und einer turbulente Grenzschicht werden hergeleitet. Das Wandgesetz und Geschwindigkeitsdefekt-Gesetz für kompressible Strömung kennzeichnen die ungestörte Grenzschicht. Der Grenzfall hoher transsonischen Strömung, in dem die Schallinie in der Nähe der Wand liegt, wird untersucht. Die theoretischen Ergebnisse werden mit Experimenten verglichen. Dabei wird die Wandkrümmung und im Fall der Rohrströmung die Verdrängungsdicke berücksichtigt.

     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

Approximate solution of the propagation of an axisymmetric blast wave generated by a finite spherical charge

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ausbreitung starker Stosswellen in einem idealen Gas ohne innere Reibung und Wärmeleitung. Für den Fall einer axialsymmetrischen Strömung werden Ähnlichkeitstransformationen angegeben, welche die Eulerschen Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren. Die klassischen Lösungen von SirG. I. Taylor sind in den angegebenen Transformationen enthalten.Es wird weiter gezeigt, dass der Ähnlichkeitsansatz keine exakte Lösung für den Fall einer von einer endlichen explodierenden Ladung erzeugten Stosswelle liefert, jedoch eine Näherungslösung gestattet.Numerische Ergebnisse für eine kugelförmige Stosswelle, erzeugt durch die Explosion einer endlichen Ladung, sowie für eine axialsymmetrische Stosswelle, erzeugt durch eine Punktladung endlicher Energie, werden mitgeteilt.     

Thermal convection from a horizontal wire

Zusammenfassung Eine exakte Lösung für die natürliche Konvektion von einem langen horizontalen Draht wird gegeben, selbst für den Fall grosser Unterschiede in der Dichte. Wenn die Unterschiede in der Dichte klein sind, dann ist die Strömung eine ähnliche.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part II: Wall shear stress

Summary Asymptotic methods are used to calculate the shear stress at the wall for the interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer on a flat plate. A mixing length model is used for the eddy viscosity. The shock wave is taken to be strong enough that the sonic line is deep in the boundary layer and the upstream influence is thus very small. It is shown that unlike the result found for laminar flow an asymptotic criterion for separation is not found; however, conditions for incipient separation are computed numerically using the derived solution for the shear stress at the wall. Results are compared with available experimental measurements.

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Zusammenfassung Die Schubspannung entlang einer ebenen Platte wird mit asymptotischen Methoden gerechnet für den Fall, dass ein senkrechter Stoss auf die turbulente Grenzschicht einwirkt. Für die Rechnung wird ein Mischweg-Modell benützt. Der Stoss ist von solcher Stärke, dass die Schallinie tief in der Grenzschicht liegt, und so die Wirkung stromaufwärts sehr klein ist. Im Gegensatz zu der laminaren Strömung kann man in diesem Fall eine asymptotische Bedingung für Grenzschicht-Ablösung nicht finden. Aber die Bedingungen für den Beginn der Ablösung kann man von der Lösung für die Schubspannung an der Wand numerisch erhalten. Die Ergebnisse der Theorie werden mit den vorhandenen experimentellen Messresultaten verglichen.

     

Extension of a perturbation-expansion method to strong-interaction boundary-layer problems,with application to vorticity interaction

Zusammenfassung Eine Methode der Störungs-Entwicklungen wird modifiziert, um die Behandlung einer Klasse von Grenzschichtproblemen mit starker Wechselwirkung zu ermöglichen. Es wird für eine vereinfachte Hyperschallströmung um einen stumpfen Körper die Wirkung der Rotation in der freien Strömung auf die Grenzschicht untersucht. Die Wechselwirkungstheorie von Hayes ergibt sich als erste Näherung in dieser Systematik. Die Theorie von Hayes wird auch mit anderen Resultaten von asymptotischen Entwicklungen in Beziehung gebracht, die in dieser Arbeit dargelegt werden.     

On a singular perturbation problem in magnetohydrodynamics

Zusammenfassung Die Strömung einer zähen, inkompressiblen und elektrisch leitenden Flüssigkeit über einen rotationssymmetrischen Körper wird studiert mit Hilfe einer singulären Methode der Störungsrechnung. Eine asymptotische, im ganzen Strömungsfeld gültige Lösung wird gegeben für grosse Hartmann-ZahlenM.Die Resultate ergeben folgendes Strömungsbild: Zwei Totwasser-Bereiche von der LängeO (M) und der BreiteO (1) werden vor und nach dem Körper geformt. Sie sind begrenzt durch eine zylindrische Schubschicht, die vom grössten Durchmesser des Körpers aus parabolisch stromaufwärts und stromabwärts anwächst. In einer Entfernung der GrössenordnungO (M) geht diese Schubschicht in eine Wirbelstrasse über, die sich parabolisch ins Unendliche erstreckt. Die Einzelheiten des Strömungsbildes werden analytisch aufgezeigt. Die Wirbelstrasse wird mit derjenigen der klassischen Navier-Stokes-Theorie verglichen.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

A note on the estimation of critical Mach numbers for compressible flow

Summary A method for estimating values of critical free stream Mach numbers is devised for flows past aerofoils. It is based on a variational formulation of the boundary value problem for compressible inviscid flow. The method is applied to two-dimensional flow past ellipses, and fairly good agreement with other estimates is obtained for thick ellipses.

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Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Abschätzung der kritischen Anström-Mach-Zahl der freien Umströmung von Tragflügeln entwickelt. Sie beruht auf einer variationstheoretischen Formulierung des Randwertproblemes für die kompressible nicht-zähe Strömung. Die Methode wird auf die zwei-dimensionale Umströmung von Ellipsen angewandt. Die Übereinstimmung der Ergebnisse mit anderen Abschätzungen für den Fall dicker Ellipsen ist befriedigend.

     

Numerical solutions for steady viscous linearized flow between two finite rotating disks

Zusammenfassung Für die stationäre axisymmetrische Strömung einer zähen Flüssigkeit zwischen zwei rotierenden Platten und einem rotierenden Zylinder sind numerische Lösungen erhalten worden. Die Strömung wird durch eine kleine Differenz zwischen den Drehschnellen erzeugt, und die Navier-Stokesschen Gleichungen wurden linearisiert. Lösungen werden für die Reynolds-Zahlen 25, 75 und 200 angegeben.     

Stirring of a viscous fluid

Zusammenfassung Untersucht wird die stationäre strömende Geschwindigkeit, die durch eine kreisförmige rührende Bewegung eines starren Zylinders induziert wird. Die Amplitude dieser kreisförmigen Bewegung wird im Vergleich zum Durchmesser des Zylinders als klein angenommen. Es wird gezeigt, dass bei genügend hohen Frequenzen der nicht-stationäre Wirbeleffekt auf eine dünne Stokes-Scherwellenschicht beschränkt ist, dass aber die induzierte Strömung ausserhalb dieser Region bestehen bleibt. Für den besonderen Fall eines runden Zylinders ergibt sich, dass diese stationäre Strömung von der Reynolds-Zahl unabhängig ist.     

Boundary layer flow on a circular cylinder moving in a fluid at rest

Summary This paper deals with the flow generated by a cylinder issuing from an orifice into a still fluid. The cylinder generates a boundary layer whose thickness increases with increasing distance from the orifice.The properties of the boundary layer are considered (i) very close to the orifice and (ii) at large distances from the orifice. In the former case the boundary layer is very much thinner than the cylinder; in the latter case the reverse holds. Asymptotic series solution are developed in both cases. The results of (ii) are compared with the experimental evidence due to Koldenhof.

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Zusammenfassung Die Arbeit behandelt die Strömung, die von einem Zylinder erzeugt wird, welcher von einer Mündung in eine ruhende Flüssigkeit eintritt. Am Zylinder entsteht eine Grenzschicht, deren Dicke mit zunehmendem Abstand von der Mündung zunimmt.Die Eigenschaften der Grenzschicht werden sehr nahe und im großen Abstand von der Mündung betrachtet. Im ersten Fall ist die Grenzschicht viel dünner als der Zylinder; im zweiten Fall sind die Verhältnisse umgekehrt. Für beide Fälle werden asymptotische Lösungen entwickelt. Ergebnisse im zweiten Fall werden mit experimentellen Ergebnissen von Koldenhof verglichen.

     

Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

The role of coordinate systems in boundary-layer theory

Zusammenfassung Die Grenzschichtnäherung zu einem gegebenen Strömungsproblem ist nicht invariant, das heisst, sie hängt von dem Koordinatensystem ab, in dem der Näherungsprozess durchgeführt wird. Zwar ist die von der Flüssigkeit ausgeübte Reibungskraft von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig, aber das Strömungsfeld selbst hängt im allgemeinen vom Koordinatensystem ab. Theorem 1 besagt, dass die Grenzschichtlösung eines Koordinatensystems durch eine einfache Substitution in die Lösung irgendeines anderen Systems übergeführt werden kann. Nur wenn die zwei Koordinatensysteme durch eine ganz spezielle Beziehung verbunden sind, bleibt das entsprechende Strömungsfeld dabei unverändert. Diese Abhängigkeit des Strömungsfeldes von der Wahl des Koordinatensystems wird benutzt, um Theorem 2 zu beweisen, das besagt, dass Koordinatensysteme gefunden werden können, die in dem folgenden Sinne optimal sind: Die entsprechende Grenzschichtlösung ist im ganzen Raum, auch ausserhalb der eigentlichen Grenzschicht, als Näherung gültig. Sie enthält die äussere Potentialströmung und auch die Strömung, die von der Verdrängungswirkung der Grenzschicht herrührt. Durch dieses Theorem wird das Problem hinfällig, wie man die äussere Potentiallösung und die innere Grenzschichtlösung an irgendeinem Rande der Grenzschicht zusammenfügt. Die vorliegende Arbeit beschränkt sich auf Strömungen ohne Ablösung, weil die Grenzschichttheorie im Ablösungsfalle mit prinzipiellen Schwierigkeiten behaftet ist. Es wird ausserdem vorausgesetzt, dass die Strömung zweidimensional, stationär und inkompressibel ist. Die letzteren Beschränkungen sind weniger wesentlich und werden in einer demnächst erscheinenden Arbeit diskutiert.

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Research prepared under Office of Naval Research Contract N 6 ONR-244, Task Order VIII, Project NR 061-036.     

Laminar-film condensation on a flat plate in the absence of a body force

Zusammenfassung Die laminare Strömung von gesättigtem Dampf über eine gekühlte ebene Fläche wird untersucht für den Fall der Kondensation eines Films an der Oberfläche. Es wird angenommen, dass keine Gravitationskraft vorliegt und dass die Bewegung des Kondensats lediglich durch die Reibung am strömenden Dampf hervorgerufen wird. Ergebnisse für die Scherkraft und die Wärmeübertragung an der Oberfläche werden mitgeteilt. Die wesentlichen Rechenergebnisse konnten in zwei Diagrammen zusammengefasst werden: Figur 2 gibt die zu erwartenden Schubspannungen wieder, Figur 3 den Wärmeübergang.     

Flow due to an oscillatory free stream past a rotating disk

Summary In this paper, an exact solution of the Navier-Stokes' equations for the flow due to the harmonic oscillations of a free stream past a rotating disk is presented. The differential equations for this flow, valid for all amplitudes and frequencies of oscillations, are obtained. Analytical-numerical solutions are developed for low and high frequency of oscillations and enough numbers of terms are used in the calculation to give the solution a satisfactory accuracy over the entire flow region.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine exakte Lösung der Navier-Stokes' schen Gleichungen für die durch die harmonischen Schwingungen einer freien Strömung an einer rotierenden Scheibe verursachte Strömung angegeben. Die Differentialgleichungen für die Strömung, gültig für alle Amplituden und Oszillations-frequenzen, werden erhalten. Analytisch-numeriche Lösungen werden für hohe und niedrige Oszillations-frequenzen entwickelt und eine genügende Anzahl von Gliedern wird in der Berechnung gebraucht, um der Lösung eine befriedigende Genauigkeit über den ganzen Strömungsbereich zu geben.

     

Magnetohydrodynamic duct flow under circular and radial magnetic fields

Zusammenfassung Es werden für die Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit in einem ringsektorförmigen Kanal genaue Lösungen gegeben, wobei ein radiales oder tangentielles Magnetfeld angesetzt wird und die Wände vollkommene Leiter oder Isolatoren sind. Eine Grenzschicht-Analyse wird für grosse Hartmann-Zahl durchgeführt. Die bekannten Lösungen für den rechteckigen Kanal unter einem gleichmässigen transversalen Feld folgen als Sonderfälle. Die Resultate werden graphisch dargestellt.