Koch曲线的Hausdorff测度上界的研究

研究了 Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计,通过在Koch曲线上构造分形级更高的新覆盖,得到新覆盖与Koch曲线的交集对应的连通弧,并利用相关定理计算出了 Koch曲线的Hausdorff测度,得到了更好的上界估计值Hs(K)≤0.58764947.这是迄今所知的Koch曲线的Hausdorff测度的最好上界.进一步的分析得出:Koch曲线的Hausdorff测度的精确上界在0.58764946至0.58764947之间.     

Koch曲线上的齐次Riemann边值问题

当L为典型的分形曲线一Koch曲线时,提出了Riemann边值问题,但在一般情况下,在Koch曲线上所做的Cauchy型积分无意义.当对已知函数G(z),g(z)增加一定的解析条件,同时利用一列Cauchy型积分的极限函数,对定义在Koch曲线上的齐次Riemann边值问题进行了讨论,并得到与经典解析函数边值问题相类似的结果.     

Koch曲线所围区域内的一类解析函数边值问题

在经典解析函数边值理论中,当L为复平面上逐段光滑封闭曲线时,在L所围的内部和外部,Cauchy型积分解析;通过对Cauchy主值积分的讨论,可得Cauchy型积分在L上的左、右边值,且边值满足Plemelj公式.基于Koch曲线的构造方法,对一系列Cauchy型积分取极限,并附加上一定的Hlder条件,可得在Koch曲线所围的内部和外部区域内都解析的Cauchy型积分函数,进一步得到与经典解析函数边值问题类似的结果.     

Koch曲线及其分数阶微积分

给出了Koch曲线的一个复值表达式,并且估计了该表达式的分数阶微积分的分形维数,同时给出了此表达式的Weyl-Marchaud分数阶导数的图像.进一步讨论了Koch曲线的图像与某类自仿分形函数图像的联系.最后证明了这类自仿分形函数的分形维数与其分数阶微积分的分形维数成立着线性关系,一个特殊例子的图像和数值结果在文中给出.     

两个有趣的数学悖论

本文从实变函数的测度解释了油漆罐的面积无限,而体积有限的悖论.从分形理论解释了Koch雪花曲线的周长无限,而所围的面积有限的悖论.     

自相似集的Hausdorff测度——Koch曲线

讨论满足开集条件的自相似集 .对于这样一个分形 ,用定义估计它的Haus dorff测度只能得到上限 ,因而如何判断某一个上限是否就是它的准确值是一个重要问题.给出了一个否定判据 .作为应用 ,否定了Marion关于Koch曲线的Hausdorff测度的猜测.     

二维黎曼流形上的两个完全公式

本文得到了二维黎曼流形上测地圆盘面积的展开式以及关于曲线的管体积的展开式的通项公式     

Koch曲线的Hausdorff测度的估计

文［１］研究了Ｋｏｃｈ 曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度,得到了一个改进了的上限,本文将进一步改进此上限． 有关的予备知识和结论可在［１］中见到．     

On the Lower Bound of the Hausdorff Measure of the Koch Curve

This paper gives a lower bound of the Hausdorff measure of the Koch curve by means of the mass distribution principle.     

在反思中教学数项级数敛散性的概念

反思是数学活动的核心和动力,学生只有在学习中反思,在反思中学习,才能形成数学思维,才能学会学习;教师只有在行动中反思,在反思中行动,才能成为"研究型的教师",才能学会教学.学生在学习数项级数敛散性概念的过程中,往往因为未能很好地实现与概念扩展相对应的观念更新,而不能深刻地理解数项级数敛散性的概念.为解决此问题可考虑采取以下举措:一是结合Koch雪花的面积和周长问题引起困惑,产生数学反思;二是结合级数敛散性问题乘兴追问,深化数学反思.     

The Hausdorff measure of the self-similar sets

The self-similar sets satisfying the open condition have been studied. An estimation of fractal, by the definition can only give the upper limit of its Hausdorff measure. So to judge if such an upper limit is its exact value or not is important. A negative criterion has been given. As a consequence, the Marion’s conjecture on the Hausdorff measure of the Koch curve has been proved invalid. Project partially supported by the State Scientific Commission and the State Education Commission.     

Twist points of the von Koch snowflake

It is known that the set of twist points in the boundary of the von Koch snowflake domain has full harmonic measure. We provide a new, simple proof, based on the doubling property of the harmonic measure, and on the existence of an equivalent measure, invariant and ergodic with respect to the shift.