圆锥曲线定义的几何证明

用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口瞄线，分别是椭圆、双曲线、抛物线，通常把它们统称为圆锥曲线．那么，为什么截口曲线是椭圆、双曲线或抛物线呢？     

利用圆锥模型解一类直线计数问题

若圆锥ＳＯ的母线与轴所成角为α ,则过Ｓ点且与直线ＳＯ所成角为α的直线都在该圆锥曲面上 ,即过Ｓ点与直线ＳＯ所成角为α的直线的集合是圆锥ＳＯ曲面上的所有母线 .例 1　异面直线ａ ,ｂ ,所成角α =50°,过空间一点Ｐ作直线ｌ,使ｌ与ａ ,ｂ所成角 β都为 30° ,问符合条件的直线有几条 .分析　过Ｐ点分别作直线ＡＢ ,ＣＤ ,使ＡＢ∥ａ ,ＣＤ∥ｂ,则根据等角定理 ,过Ｐ点与ＡＢ ,ＣＤ都成 30°角的直线 ,就是符合条件的直线 ,而过Ｐ点与ＡＢ成 30°角的直线的集合是以Ｐ点为顶点 ,ＡＢ为轴 ,母线与轴夹角为 30°的圆锥曲面上的所有母线 ;…     

利用圆锥解决一类直线条数问题

我们知道圆锥的所有母线与圆锥底面所成的角相等，所有母线与圆锥的轴的夹角相等，且圆锥的母线与底面所成的角与母线与圆锥的轴的夹角互余．运用圆锥的以上性质很容易解决以下问题．     

立体几何中圆锥的截口曲线问题

<正>在人教版高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》的章头图和章头文中,给出了用一个不垂直于圆锥轴线的平面去截圆锥,当平面与轴线夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.但具体什么时候截得的是椭圆、双曲线和抛物线,课本中没有详细介绍,而在近几年的高考     

圆锥面截口线是圆锥曲线的又一初等证法

文 [1 ]对高中数学教材中把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线 ,是因为这三种曲线可以看作是不同平面截圆锥面所得到的 ,给出了一种初等证法 .我们为肖铿老师那种精巧的构思和高超的设参 ( a、b、焦点、准线 )技巧深感由衷的敬意 .但觉得美中不足的是设参技巧性太强和运算量太大 .我们经过探索 ,得出一种较为简捷的证法如下 ,供读者参考 .图 1如图 1 ,设圆锥面的半顶角为β,AO为轴 ,截口平面为δ(不过圆锥顶点 ) ,记平面δ与直线 AO所成的角为α( 0≤α <π2 ) ,与圆锥面的交线为曲线 EDG,圆锥面的一内切球 O1与平面δ相切于点 F,球 O…     

圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明

在一次讨论《高中数学课程标准》的会议上有人问如何证明一圆锥被一平面所截 ,得出截线是椭圆、双曲线或抛物线 .在《标准》选修 1系列课程的参考案例 4中画了一张立体图 ,意示可以用立体几何的办法加以证明 .其实这种证法大约最早是由G .Daudeliu在 1 82 2年给出的 .(可参阅[1 ]P .2 47)他给出了一个定理 :“如果两个球面内切于一个圆锥并且都与一个已知平面相切 ,该平面与圆锥交于一条圆锥曲线 ,那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点 ,球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线 .”再根据平面与圆锥轴线的夹角…     

应用均值不等式求圆锥体积的最大值

求满足一定条件时圆锥体积的最大值 ,通常可采用三角法处理 .能否采用均值不等式来求 ,是很多学生和教师很关心的问题 ,经过仔细深入地探讨 ,笔者发现圆锥全面积一定、或圆锥轴截面三角形周长一定、或圆锥侧面积一定时 ,圆锥体积的最大值可采用均值不等式求解 .例 1　已知圆锥的全面积为πa2 (a >0 ) .求圆锥体积的最大值 .解　设圆锥的高为h ,底面圆的半径为r ,体积为V ,则有πr2 +πrr2 +h2 =πa2 ,∴a2 =r2 +rr2 +h2=r2 +r r2 + 18h2 + 18h2 +… + 18h2≥r2 +r 99r2 188(h2 ) 8=r2 + 3· 1243r109h89=r2 + 1243r109h89+ 1243r109h89+124…     

圆锥曲线的焦点弦长是否以通径最短

圆锥曲线的通径:通过圆锥曲线的焦点且垂直于该焦点所在的对称轴的直线与圆锥曲     

有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质

连结有心圆锥曲线上任一点与长轴或实轴端点的三角形叫做有心圆锥曲线顶点三角形,本文介绍有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质.性质1如图1,已知椭圆     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍与切线有关的圆锥曲线的两个性质及推论.定理1若圆锥曲线的任意一条切线与两条定切线分别相交,则两交点与该圆锥曲图1定理1图线的同一个焦点连线的夹角为定角.证不妨设圆锥曲线为椭圆C,如图1,其方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),右焦点F(c,0),两条定切线与C分别切于两定点A(     

抛物线中的定点弦问题

文[1]对圆锥曲线中的定点弦问题进行探讨，本文再给出与抛物线中的定点弦有关的另二个定理．     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有     

圆锥曲线焦点弦长的一个公式及应用

定理设倾斜角为α的直线经过对称轴与坐标轴平行(重合)的圆锥曲线的焦点F,且与圆锥曲线交于A,B两点,记圆锥曲线的离心率为e,焦点F到相应准线的距离为p,则1)当焦点在与x轴平行(重合)的对称轴上时,弦AB的长AB=1-2e2pceos2α;2)当焦点在与y轴平行(重合)的对称轴上时,弦AB的长AB=1-     

有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质

连结有心圆锥曲线上任一点与长轴或实轴端点的三角形叫做有心圆锥曲线顶点三角形,本文介绍有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质.     

圆锥曲线几何性质的应用

圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质．课本中还给出了在历史上人们认识圆锥曲线的一种十分重要的方法——用平面截圆锥．     

有心圆锥曲线的阿基米德定理的统一证法

有心圆锥曲线的阿基米德定理的统一证法孔繁秋（厦门市禾山中学３６１００９）过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形，弦叫做这三角形的底边．文［１］给出了抛物线的阿基米德定理，文［２］给出了圆锥曲线的阿基米德定理的统一表述，即定理圆锥曲...     

由圆锥曲线的焦点探究其准线的两种方法

笔者在讲授高中数学中圆锥曲线这一部分内容时,发现了由圆锥曲线焦点探究其准线的两种方法.方法1以圆锥曲线的焦点弦(斜率不为0)的两个端点为切点作圆锥曲线的两条切线,过这两条切线的交点作长轴(椭圆),实轴(双曲线),轴(抛物线)的垂线,那么这条直线就是这个焦点对应的准线.下面     

一类旋转体容球的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性，归纳如下共同性质：球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比．     

圆锥曲线与轴上定点有关的一个性质

笔者通过对圆锥曲线的探究，发现圆锥曲线与轴上定点有关的一个性质，现介绍如下．     

源于生活，立足课本的一次数学建模

植树节这天,恰是我的生日，望着烛光荧荧的由半径不等圆柱摞起的蛋糕(图1)，忽然想起，这不正是一个数学模型吗!在新课程第三册P92(5)将圆锥的高n等分，作出n-1个内接圆柱。利用这n-1个圆柱的体积之和的极限推出圆锥的体积公式(图2)；而在第二册(下)P71用类似的模型推出球的体